Euler of Excel?

1. Euler of Excel? • Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden • door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht

2. Rekenen door de eeuwen… • hoofdrekenen… (algoritmen) • met rekenhulpmiddelen… (abacus, rekenliniaal) • met tabellen; met logaritmen… • met mechanische rekenmachines… (Pascal; Leibniz; Babbage) • met electronische rekenmachines… • met supercomputers… • met pc’s… (symbolisch, bewijsverificatie)

3. Op school kan het ondertussen met gratis software op pc’s.

4. Computers en getaltheorie • beroemde voorbeelden

5. Computers en getaltheorie Testen van vermoeden,bijv. Riemann hypothese Hoe ver moet je gaan om het te geloven? Prijzengeld 1M$

6. Riemannhypothese in de klas? • Jan van de Craats en Roland van der Veen, De Riemannhypothese - een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgeverij • GC + Sjoerd Andringa, “Werken met wiskunde”, Junior College Utrecht, vwo5 • Bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn met de productformule van Euler • Priemtelfunctie berekenen en schatten • Elementaire herformuleringen van de Riemannhypothese, bijv. criterium van Lagarias dat de som van de delers van n kleiner of gelijk is aan metvoor alle natuurlijke getallen n.

7. Opstellen van vermoeden,bijv. Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden Computers en getaltheorie EDSAC • 1960 berekende Peter Swinnerton-Dyer het aantal oplossingen Npvan y2=x3+ax+b modulo priemgetallen p≤x en plotte ∏ Np/p. • (zwak) Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden: • r is de rang van de vergelijking; “r=0” betekent dat er maar eindig veel oplossingen zijn in rationale getallen. • Prijzengeld 1M$ Plot: ln(∏ p≤x Np/p) vsln(ln(x)) voor y2=x3-5x

8. Computers en getaltheorie Testen van vermoeden,bijv. vermoeden van Beal • 1993 stelde bankier Andy Beal volgende vermoeden op: Als A,B,C natuurlijke getallen zijn, en x,y,z natuurlijke getallen, allemaal >2, dan geldt voor iedere oplossing van Ax+By=Cz dat A, B en C een gemeenschappelijke deler hebben. • Hij checkte het eerst voor alle variabelen <100 op 15 computers. • Prijzengeld is nu 1M$.

9. Rekenen en getaltheorie • Een voorbeeld in detail: de priemgetalstelling

10. Een beroemd resultaat, “ontdekt” door berekening:De Priemgetalstelling • StellingAls het aantal priemgetallen is kleiner dan dan is Hadamard en de la Vallée-Poussin (1896) Hoe werd zoiets ontdekt? Zouden leerlingen het zelf kunnen ontdekken?

11. Bronnen • Anton Felkel (1771): Tafel aller Einfachen Factoren der durch 2, 3, 5 nicht theilbaren Zahlen von 1 bis 10 000 000; 1. Theil Enthaltend die Factoren von 1 bis 144 000. • Jurij Vega (1794): Thesaurus Logarithmorum Completus

12. Formulering • Adrien-Marie LegendreEssai sur la Théorie des Nombres (1797-8 p. 19; 2nd ed. 1808) • Carl-Friedrich GaußTafel der Frequenz der Primzahlen (1792?), Nachlass, Werke II, Brief aan Encke (1849)

13. Conclusie • Heel veel getaltheoretische ontdekkingen baseren op (grootschalig) rekenen… • Yerkes Observatory, 1921

14. Oppassen geblazen… • Wat er mis kan gaan door “enkel” rekenen

15. De Stelling van Littlewood • Berekeningen suggereren datKotnik (2008) bewees dit voor • Littlewood bewees in 1914 dat oneindig vaak • Skewes bewees in 1955 dat dit gebeurt voor • Zegowitz (2010) bewees dat het gebeurt voor Aantal atomen in het universum ca. 1080

16. Het correcte, foute computerprogramma • Hiernaast een C-programma dat een binair natuurlijk getal omzet in een decimaal getal.Het is fout. • Het algoritme is correct. • Op iedere hardware is het fout, want die rekent modulo 264 (bijv.). • Correctheid is niet te verifiëren door “typische” inputs te testen (>100 jaar?). Robert P. Kurshan, Program Verification, Notices AMS 47 (5), 2000

17. Ariane 5 vlucht 501, 4 juni 1996 • Het omzetten van een 64-bit vlottende kommagetal naar een 16-bit geheel getal […] veroorzaakte een computer crash omdat de waarde te groot was.

18. Euler of Excel? • De kleinste positieve oplossing van de Pell-vergelijkingis gegeven in de tabel van Leonard Euler uit 1738 De solutione problematum diophanteorum per numeros integros. • Verifieer dat Hoe doen leerlingen het?

19. Controleer het laatste cijfer… Philip van Egmond (JCU)

20. Computeralgebrafouten • Derive (1996) berekende • Mathematica 7 gaf twee oplossingen voor • Sage 5.10 bewees Aanleren dat dit kan gebeuren?

21. Principiele onmogelijkheid Onbeslisbaarheidsresultaten (Stelling van Gödel, Hilbert’s 10e probleem) stellen grenzen aan wat bewijsbaar is. • Er bestaat een diophantische vergelijking afhankelijk van een parameter t, zodat er geen computerprogramma bestaat dat voor iedere waarde van t in eindige tijd kan beslissen of de vergelijking een oplossing in gehele getallen heeft of niet. GC, Diophantische vergelijkingen mogelijkheden en onmogelijkheden wiskunde-D module

22. Foute vermoedens opstellen op basis van te weinig informatie • Foute programma’s/algoritmen gebruiken, met (soms) catastrofale gevolgen • Rekenprogramma’s gebruiken die fouten maken • Grenzen aan het mogelijk berekenbare

23. 1986 2014

24. Filosofisch-onderwijskundig Coda

25. toolbox wiskundige methoden • afbeeldingen - meetkundig • structuren - algebraïsch • formules - rekentechnisch • algoritmisch - combinatorisch • taalkundig - modellerend? stijlen? denkwijzen? algemene vaardigheden? wiskundige vaardigheden leren door “cijferen”

26. In de klas kunnen dankzij de computer berekeningen worden uitgevoerd die vroeger “hogere wiskunde” waren. Dit geeft kansen: • historische motivatie • leren “rekenen” als attitude • Is het mogelijk tegelijkertijd “rekenen” als attitude/(onderzoeks-)methode en een kritische/sceptische houding aan te leren?

27. Samenvatting • Rekenen in de getaltheorie: testen en opstellen van vermoedens; bijv. priemtelfunctie • “Riemannhypothese” in de klas: het kan • Ook scepsis bij rekenen “aanleren”