PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ESTUDO DE PRISMAS E PIRÂMIDES: O COMPUTADOR COMO UMA FERRAMENTA DE APOIO

1. PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA ÁREA DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLÓGICAS Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ESTUDO DE PRISMAS E PIRÂMIDES: O COMPUTADOR COMO UMA FERRAMENTA DE APOIO Aluna – Angélica Menegassi da Silveira Orientadora – Profª. Drª Eleni Bisognin Co-Orientadora – Profª. Drª Silvia Maria de Aguiar Isaia

2. APRESENTAÇÃO • Neste CD são apresentadas atividades desenvolvidas com uma turma do terceiro ano do Ensino Médio de uma escola pública. • O conteúdo abordado refere-se à Geometria Espacial destacando o estudo de Prismas e Pirâmides. • Para o desenvolvimento das atividades utilizou-se o software Cabri3D.

3. A importância do uso de Softwares Educacionais • Ambiente rico de imagens, sons e animações, fornecendo dessa maneira, um estudo mais dinâmico; • Permite que o aluno experimente, construa, interprete, visualize situações relativas ao conteúdo de sala de aula; • Diante do computador os alunos procuram as soluções para os problemas e dessa maneira constroem o próprio conhecimento.

4. As atividades foram desenvolvidas • Com 14 alunos da 3ª série do Ensino Médio; • Alunos que possuem dificuldades na compreensão de conteúdos matemáticos, principalmente nos conteúdos de sólidos geométricos; • No Laboratório de informática da escola equipado com 15 computadores; • No turno inverso ao da aula normal.

5. SEQUÊNCIA DAS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS

6. ATIVIDADE 1.1 O objetivo dessa atividade é que o aluno reconheça visualmente os seguintes elementos dos paralelepípedos: forma geométrica das bases, arestas, vértices, ângulos, faces laterais, diagonais e diagonais das faces. SESSÃO 1 Introdução aos Estudo de Prismas: Cubo e Paralelepípedo Retângulo

7. 1.1 Analise os sólidos S1 e S2 e responda as seguintes questões: • (a) Qual é a forma geométrica da base de S1 e S2? • (b) Como se classificam esses sólidos quanto a forma geométrica da base? • (c) Qual é a forma geométrica das faces laterais de cada um dos sólidos? • (d) Quantas faces cada um dos sólidos S1 e S2 possuem? • (e) Identifique os vértices de S1 e S2 e determine quantos são. • (f) Identifique as arestas laterais e as arestas da base de S1 e S2 e determine quantas são. • (g) Quantas arestas cada vértice tem em comum? Comentário Clique Aqui para Acessar a Atividade no Cabri3D

8. Verifique nas figuras abaixo se: • (h) As arestas laterais de S1 e S2 possuem a mesma medida. • (i) As medidas dos ângulos formados pelas arestas laterais de cada face de S1 e S2 com o plano da base são iguais. Comentário

9. Comentário • (j) Desenhe as diagonais de S1 e S2 e determine quantas são. • (k) Verifique a medidas das diagonais. Todas possuem a mesma medida? • (l) Desenhe as diagonais das faces de S1 e S2. • (m) Verifique se as diagonais possuem a mesma medida. • (n) Construa os pontos médios das arestas AB, BC, CG, HG, EH, AE. Qual é o polígono formado pela união dos pontos dessas arestas? Os polígonos formados são regulares? Justifique. Comentário Comentário

10. ATIVIDADE 1.2 O propósito dessa atividade é que o aluno utilize as noções de paralelismo e perpendicularismo para identificar as arestas e as faces paralelas e perpendiculares do cubo e do paralelepípedo.

11. 1.2 Observe o cubo S1 e o paralelepípedo retângulo S2 e responda as seguintes questões: • Identifique as faces de S1 e S2 que são paralelas entre si. Justifique. • (b) Identifique as arestas de S1 e S2 que são paralelas à aresta AD. Justifique. Comentário Comentário Clique Aqui para Abrir a Atividade no Cabri3D

12. Comentário • (c) Identifique as faces de S1 e S2 que são perpendiculares entre si. Justifique. • (d) Identifique as arestas de S1 e S2 que são perpendiculares à aresta BC. Justifique. • (e) As diagonais de cada face de S1 e S2 são perpendiculares entre si? Justifique. Comentário Comentário

13. (f) Construa os segmentos unindo os vértices: A, C, H e A de S1 e S2 e responda: (i) Qual a medida dos ângulos EÂC, HÂC e EÂH ? (ii) A afirmação EÂC+ HÂC= EÂH é verdadeira? (iii) Os segmentos construídos anteriormente são diagonais da face? (iv) Qual é a forma geométrica da figura formada pela união destes segmentos? • (g) Construa os segmentos unindo os vértices B, G, H e B de S1 e S2 e responda: (i) Qual dos segmentos construídos é a diagonal do sólido? (ii) Qual é a classificação do triângulo BHG em relação aos seus ângulos? (iii) Qual é a classificação do triângulo BHG em relação aos seus lados? Comentário

14. ATIVIDADE 1.3 O propósito da Atividade 1.3 é trabalhar o conceito de área de superfície do cubo e do paralelepípedo retângulo.

15. 1.3 Construa a planificação do cubo e do paralelepípedo retângulo para responder as seguintes questões: (a) Qual é a forma geométrica das faces? Justifique sua resposta. (b) Qual é a medida da área de cada uma das faces? (c) Qual é a medida da superfície do cubo? E do paralelepípedo retângulo? (d) O que acontece com a área da superfície do cubo quando a medida da aresta é duplicada? (e) O que acontece com a área da superfície do cubo quando a medida da aresta é triplicada? (f) Há uma proporcionalidade entre a medida da área da superfície do cubo e a medida da aresta? Clique Aqui para Abrir a Planificação do Cubo no Cabri3D Comentário Comentário

16. ATIVIDADE 1.4 O propósito dessa atividade é explorar a noção de volume de um cubo e de um paralelepípedo retângulo e estabelecer algumas relações entre a medida do volume e a medida das arestas.

17. 1.4 Determinação do volume do cubo e do paralelepípedo retângulo. • (a) Analise a construção do sólido formado pelos cubinhos medindo 1cm cúbico e responda: (i) Quantos cubinhos unitários há no sólido? Qual é o volume de cada cubinho? (ii) Qual é o volume do sólido formado pelos cubinhos? Justifique. (iii) Se as arestas do cubinho medem 2 cm, qual é o volume do cubo?

18. (b) Analise a construção do sólido formado pelos cubinhos de 1 cm de aresta e responda: (i) Quantos cubos unitários há no sólido? (ii) Qual é o volume do sólido formado pelos cubinhos? Justifique

19. (c) Analise a construção do paralelepípedo e responda: (i) Qual o volume do paralelepípedo? (ii) Se a medida da aresta da base do paralelepípedo for duplicada e a medida da altura permanecer a mesma, qual é o volume do paralelepípedo? (iii) Se a medida da aresta da base for triplicada e a medida da altura permanecer a mesma, o que acontece com o volume? (iv) Se a medida de todas as arestas duplicar o que acontece com o volume do paralelepípedo? (v) Se a medida de todas as arestas triplicar o que acontece com o volume do paralelepípedo?

20. SESSÃO 2 Demais Prismas ATIVIDADE 2.1 Pretende-se nesta atividade verificar se o aluno ao visualizar e identificar os elementos de um sólido é capaz de classificá-lo, verificar a forma geométrica das faces laterais e da base e concluir se é válido o teorema de Euler, simplesmente identificando a validade de seu resultado.

21. (a) Considere os sólidos geométricos: • (i)Identifique com a cor amarela os vértices dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. • (ii) Identifique com a cor vermelha as arestas laterais dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. • (iii) Identifique com a cor verde as arestas das bases dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. • (iv) Identifique com a cor rosa as faces laterais dos sólidos S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. Comentário Clique Aqui para Abrir a Construção Apresentada no Cabri3D

22. (b) Preencha as lacunas abaixo:

23. SESSÃO 2- Demais Prismas ATIVIDADE 2.2 O propósito dessa atividade é calcular a área da superfície lateral e da superfície total dos prismas efetuando as planificações.

24. (a) Considere os prismas: • (i) Utilizando a cor rosa identifique as forma geométrica das faces laterais de S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. Justifique sua resposta.

25. b) Utilizando a cor verde identifique a forma geométrica da base de S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7 e preencha as lacunas abaixo: • c) Classifique os sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7 de acordo com a forma geométrica da base. Comentário

26. d) Verifique se é verdadeira a igualdade V-A+F=2 para os sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7. Conjectura: Esta relação é válida para todos os sólidos? e) Qual é a medida do ângulo formado pelas arestas laterais com as arestas da base de cada um dos sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7? Justifique sua resposta. f) Um prisma é regular se suas bases são polígonos regulares e suas faces laterais são perpendiculares às bases. Quais dos prismas analisados são regulares? Comentário

27. ATIVIDADE 2.3 O propósito dessa atividade é calcular a área da superfície lateral e total dos prismas S1, S2, S3 e S4 efetuando as planificações.

28. (a) Considere os prismas abaixo: Em cada um dos prismas una os vértices da base ao centro da base: (i) Qual é a forma geométrica de cada figura obtida? (ii) Quantas figuras foram obtidas em cada sólido? (iii) Qual é a medida dos lados da figura obtida em cada sólido? (iv) Os lados da figura obtida têm a mesma medida da aresta da base do prisma? (v) Determine a área da figura obtida de cada prisma. Comentário

29. Comentário b) Faça as planificações dos prismas S1,S2, S3 e S4 c) Determine a área das faces laterais dos prismas. d) Determine a área da superfície total de cada um dos prismas. Comentário

30. ATIVIDADE 2.4 O propósito dessa atividade é calcular o volume de um prisma.

31. β α (a) Observe os prismas S1 e S2 • O prisma S1 possui uma altura de 3,5 cm e área da base 9 cm2 e, o prisma S2 (paralelepípedo retângulo), possui uma altura de 3,5 cm e área da base 9 cm2. As bases de S1 e S2 são construídas num mesmo plano.

32. Como a área da base e a altura dos dois prisma são congruentes, podemos afirmar que os dois sólidos possuem o mesmo volume? • Como podemos calcular o volume do prisma pentagonal e do prisma hexagonal? Comentário Comentário Comentário

33. SESSÃO 3 Pirâmides ATIVIDADE 3.1 O objetivo dessa atividade é identificar os elementos: arestas, ângulos, faces e apótemas de uma pirâmide bem como deduzir as propriedades desses elementos.

34. Na figura abaixo encontram-se as pirâmides P1, P2, P3 e P4: a) Identifique em cada uma das pirâmides: (i) Vértice da pirâmide com cor amarela; (ii) Vértices da base com cor azul; (iii) Arestas laterais com cor vermelha; (iv) Arestas da base com cor verde. Comentário

35. b) Preencha as lacunas abaixo:

36. c) (i) Meça o comprimento das arestas da base das pirâmides P1, P2, P3 e P4 e preencha as lacunas abaixo: (ii) Os polígonos formados pelas arestas da base são regulares?

37. (d)Meça o comprimento das arestas laterais de P1, P2, P3 e P4 e preencha as lacunas abaixo: As medidas das arestas laterais de cada pirâmide são iguais?

38. Em toda pirâmide regular o segmento VO, em destaque na figura abaixo, é a distância do vértice da pirâmide ao centro da base e determina a altura da pirâmide:

39. Na figura abaixo encontram-se as pirâmides P1, P2, P3 e P4: (i) Construa o segmento que une o vértice “V” ao centro da base “O” de cada uma das pirâmides.

40. e) Construa o polígono que une o vértice da pirâmide ao centro da base e ao vértice B de cada uma das pirâmides e classifique o triângulo VOB formado em cada uma das pirâmides. f) Construa o ponto médio das arestas da base das pirâmides e meça o ângulo formado pelos segmentos que unem o vértice da pirâmide, o centro da base e o ponto médio da aresta da base. Comentário Comentário

41. g) Em toda pirâmide, chama-se apótema ao segmento VM, em destaque na figura abaixo, cujos extremos são o vértice da pirâmide e o ponto médio de uma das arestas da base:

42. (i) Represente um apótema em cada uma das pirâmides: (ii) Qual é a forma geométrica das faces laterais das pirâmides? (iii) O que o apótema representa para o triângulo que forma a face lateral da pirâmide? .

43. (h) Em toda pirâmide regular, chama-se apótema da base o segmento OM, em destaque na figura abaixo, cujos extremos são o centro da base e o ponto médio de uma das arestas da base: • Construa o apótema da base de cada uma das pirâmides.

44. ATIVIDADE 3.2 O objetivo dessa atividade é classificar as pirâmides considerando a forma geométrica da base e determinar a área da superfície total de cada pirâmide.

45. Na figura abaixo encontram-se as pirâmides P1, P2, P3 e P4:

46. a) Identifique a forma geométrica da base de cada uma das pirâmides. Justifique a sua resposta.

47. b) Determine a área da base de cada uma das pirâmides. c) Faça a planificação das pirâmides d) Determine a área lateral e a área total das pirâmides

48. Para o cálculo da área lateral e da área total é necessário efetuar as planificações.

49. Atividade 3.3 O propósito desta atividade é calcular o volume de uma pirâmide a partir do volume de um prisma.

50. Na figura abaixo encontra-se um prisma triangular decomposto em três pirâmides de diferentes cores. (a) Verifique se a área das bases do prisma triangular é igual a área das bases das pirâmides de mesma cor. O que você observou? (b) Como você relaciona o volume das pirâmides com o volume do prisma? Comentário