L’activité économique de l’assurance et la théorie économique de l’assurance

1. L’activité économique de l’assurance et la théorie économique de l’assurance la théorie, comme souvent, apparaît bien après la pratique Dans un premier temps on va effectuer un tour d’horizon de l’activité assurance, puis nous aborderons les questions théoriques proprement dites : l’économie de l’assurance.

2. L'assurance répond à une demande de protection qui s'est manifestée dès la plus haute antiquité. Des associations de secours mutuel chez les Grecs, ainsi que chez les Romains, particulière chez les légionnaires. En France, l'assurance est née du commerce maritime au Moyen Âge, dans le monde méditerranéen. A l’origine elle est un mélange entre financement, assurance et spéculation, cet aspect est toujours présent en assurance (cf. CDS) : Pour armer leurs bateaux, les marchands avaient besoin de beaucoup d'argent ; ils s'adressaient à des banquiers qui leur prêtaient les capitaux nécessaires. Si le bateau faisait naufrage, le prêteur n'avait droit à aucun remboursement ; il s'agissait bien d'une fonction d'assurance. Par contre, si le bateau revenait avec sa cargaison de marchandises rares et donc précieuse, le prêteur était remboursé et touchait une participation très élevée en compensation du risque encouru ; c'était l'aspect spéculatif.

3. L'assurance vie n’apparaît véritablement qu’à la fin du XVIe siècle, l'assurance incendie également au XVIIe, et les différentes assurances contre les accidents divers, au XIXe siècle. L'incendie de Londres en 1666, qui détruisit 13 000 maisons, fut à l'origine de la création de la première compagnie d'assurance incendie en Grande-Bretagne C'est en 1786 qu'est créée, en France, la première société d'assurance, la Compagnie Royale d'assurance. Le secteur de l'assurance s’adapte aux demandes changeantes de protection De nouveaux produits apparaissent en réponse aux nouveaux besoins du marché. L'Assistance et la Protection juridique, la garantie des accidents de la vie, la garantie dépendance, les garanties de loyers, sont des formules récentes qui ne se développent que depuis quelques années.

4. L’assurance est une activité particulière car elle génère des externalitésS’assurer individuellement, permet d’assurer la société dans son ensemble car c’est l’ensemble des cotisations qui permettent par mutualisation des risques de faire face à la réalisation de risques individuels. C’est également pour cette raison, la présence d’externalité qu’une partie de l’assurance relève de la protection sociale et de l’Etat, car le gain individuel à la protection et inférieur à la somme des protections individuelles. Externalité : activité d’un agent économique qui produit des conséquences positives ou négatives non désirées sur l’activité d’un autre individu.

5. Le besoin de protection se situe à deux niveaux: la protection des biens et des personnes • Protection des patrimoines, des biens • L'assurance nous permet de garantir nos biens lorsque surviennent certains événements susceptibles de les détériorer, de les détruire ou de les faire disparaître. • Exemples de risques menaçant nos biens : l'incendie, le vol, les catastrophes naturelles, la tempête, le dégât des eaux, etc. • Les indemnités versées par l'assureur sont destinées à compenser les pertes subies par l'assuré, victime d'un accident.

6. Les dommages que l’on peut causer à autrui doivent donner lieu à réparation. Celles-ci définit dans le Code civil Les assurances de responsabilité évitent que l'indemnisation des victimes du dommage donnent lieu à un remboursement directement prélever sur la patrimoine du fautif.. C'est ainsi que dans le but de protéger les locataires, la loi QUILLOT a rendu obligatoire la garantie du risque locatif. En effet, en cas d'incendie, le locataire est présumé responsable du dommage causé à son propriétaire. En assurance automobile, la garantie responsabilité civile est obligatoire pour protéger les tiers victimes contre l'insolvabilité des auteurs de dommages. Les assurances de biens, ainsi que les assurances de responsabilités concourent toutes à la conservation du patrimoine de l'assuré.

7. Rappel de base sur le fonctionnement de l’assurance le contrat d’ assurance est défini par 3 éléments : l’Aléa, la prime et l’indemnité EN FONCTION DE LA NATURE DE L’ALÉAON SE TROUVE DANS LE CADRE DE L’ASSURANCE DOMMAGE OU DE L’ASSURANCE VIE

8. Principe indemnitaire : l’assurance ne permet pas l’enrichissement de l’assuré mais uniquement la compensation d’une perte. Ce principe s’applique particulièrement à l’assurance dommage. Principe forfaitaire: l’indemnité est fixée de manière forfaitaire. Ce principe s’applique particulièrement à l’assurance de personne.

9. Responsabilité civile vs. pénale • Pénale : • Elle est engagée lorsqu’une règle de droit est enfreinte. • Cette situation n’est pas assurable puisqu’elle relève d’un acte volontaire. • Civile: Elle est engagée lorsque des préjudices sont causés à un tiers. Causé par sa faute mais de manière in-intentionnelle, par imprudence ou négligence. Par les personnes dont on est en responsabilité, descendants et ascendants, nos proposés, les objets possédés ou loués.

10. La responsabilité pénale n’est pas couverte par une assurance, mais peut entrer dans le cadre d’analyse de l’économie de l’assuranceLorsqu’un agent économique se livre à une activité délictueuse. Il effectue un calcul en terme de gains et de pertes. La perte correspond au risque d’être pris. Celui-ci n’est pas certain. L’agent cherche à maximiser son gain net. D’un point de vue économique, l’acte délictuel peut être rationnel.

11. L’assurance dans le cadre de la responsabilité civile implique la présence de trois éléments: • Un préjudice, un dommage • Une faute • Un lien de causalité entre la faute et le préjudice. • Le dommage peut être corporel, matériel et/ou moral. • L’analyse économique par l’intermédiaire de la fonction d’utilité peut englober ces trois aspects du dommage et transformer la perte d’utilité en une compensation financière. • Ceci conduit à des calculs parfois sordides mais nécessaires du type combien vaut une vie, un bras… • Pour effectuer cette quantification des simplifications sont nécessaires sur l’appréciation de l’utilité des agents. Celle-ci est supposée indépendante du temps et de l’ensemble des choix de l’agent.

12. En fonction de la position sociale de l’agent la fonction d’utilité pourra varier. Les préférences sont différentes suivant que l’on se trouve sans emploi, que l’on se trouve plus ou moins avancé dans le cycle de la vie. C’est la problème de la contingence que l’on ne fait qu’évoquer. Cette prise en compte de complexité de la réalité ne trouve pas actuellement de solution générale et constitue l’objet de recherches non stabilisées. La responsabilité civile délictuelle ou quasi délictuelle, et la responsabilité civile contractuelle. La responsabilité civile contractuelle est engagée lors de la non ou la mauvaise exécution d’un contrat. Pour les autres cas, c’est du ressort de la responsabilité civile. Elle recouvre la responsabilité personnelle du fait d’autrui, du fait des choses, du fait des animaux, des propriétaires de bâtiments.

13. Responsabilité civile, contractuelle: responsabilité de moyens ou de résultats? Dans le cadre de service de maintenance ou de livraison. La garantie de résultat est engagée. La responsabilité de la poste se trouve engagée si un colis n’arrive pas à son destinataire en bon état. Idem pour un contrat de maintenance, les équipements pris en charge doivent être réparer dans les délais prévus par le contrat. Dans le cadre de services juridique, de médecine, seule la responsabilité de moyen est engagée. Pour pouvoir recevoir un dédommageant en cas de problème de santé suite à une intervention chirurgicale, il faudra être en mesure d’établir une faute avérée du médecin ou de l’équipe soignante.

14. On a établi précédemment que l’agent risquophobe va choisir une assurance complète dès lors que la prime correspond à la prime pure, c’est-à-dire celle permettant juste de faire face à la survenue de sinistre. Ce cadre théorique satisfaisant pour une première approche ne permet pas de comprendre le fonctionnement réel de l’assurance En effet, en tant qu’entreprise celle-ci doit faire face à ses coûts de fonctionnement et dégager un bénéfice. Aussi, la prime effectivement payée devra tenir compte des frais de fonctionnement de l’assurance, ainsi que d’une marge bénéficiaire. Dans ce cas nous verrons que l’assurance complète n’est plus la situation optimale pour l’agent. Pour retrouver une situation optimale l’agent pourra arbitrer entre un contrat qui prévoit une indemnisation partielle ou la prise en charge d’une franchise. On passe dans le monde « réel » de la coassurance.

15. L’économie de l’assurance est issue de deux domaines qui étaient restés séparés jusqu’au début des années 1960, les statistiques et l’économie de l’incertain. L’économie de l’incertain ou de la prise de décision en univers incertain tente de comprendre comment les agents prennent leurs décisions lorsqu’ils se trouvent dans une configuration où ils ne possèdent pas toute l’information nécessaire à une prise de décision. Soit qu’ils ne connaissent pas à l’avance les conséquences de leurs décisions car ils se trouvent en interaction avec d’autres agents soit en raison d’un environnement économique changeant (phénomène de contingence). Dans ce type d’environnement de nombreuses questions se posent sans qu’il soit malheureusement possible d’y répondre de manière complète. C’est pour cette raison que va être développée une axiomatique, c'est-à-dire un ensemble d’hypothèses raisonnables mais restrictives visant à limiter le champ des possibles pour pouvoir modéliser les comportements raisonnables des agents économiques.

16. On peut parler de noyau dur au sens de Lakatos. Si on n’accepte pas cet ensemble d’hypothèses, on ne peut pas traiter de l’économie de l’assurance, ou bien il faut développer un autre noyau dur, une nouvelle approche. Le premier élément qui vient délimiter l’axiomatique de Von Neumann Morgenstern est qu’il existe deux notions différentes : la notion de risque et la notion d’incertitude. Cette distinction est réalisée par F. Knight dans son ouvrage de 1921 Risk, Uncertainty and Profit et Keynes A Treatise on Probability 1921

17. Le risque correspond au contraire à des systèmes fermés où il est possible de déterminés précisément les probabilités d’occurrences des événements ainsi que de quantifier leurs conséquences. Les loteries sont des systèmes fermés. On verra qu’elles sont utilisées fréquemment afin de représenter les comportements des agents en univers incertain, probabilisable. • L’incertitude correspond à des systèmes ouverts au sens de Faber et Proops. C'est-à-dire que l’ensemble des événements possibles n’est pas défini ex ante. Autrement dit, on ne peut uniquement connaître tous les Etats de la nature possibles avec leurs conséquences qu’après qu’ils se soient réalisés. Limite de l’inférence statistique, le signe noir, le soleil.

18. On parle également d’incertitude radicale et d’incertitude probabilisable. Pour résumer en simplifiant, il y a les risques quantifiables et non quantifiables. L’assurance s’intéresse aux premiers, les seconds ne pouvant être tarifés dans le cadre d’un contrat d’assurance. L’économie de l’incertain va donc abandonner une partie des événements possibles car on pourra les traiter dans ce cadre. Un autre élément de complexité entre dans les questions touchant aux décisions prises en univers incertain. Chaque agent économique en fonction de son éducation, de son milieu sociale, de son niveau de patrimoine et de richesse va aborder la notion de risque avec des aprioris différents.

19. Certains, très riches pourront prendre des risques importants du fait qu’ils détiennent un coussin de sécurité important. D’autres aussi riches mais plus prudents auront peur de s’engager dans telles aventures. Réciproquement, des gens pauvres n’ayant rien à perdre pourraient être tentés de se lancer dans des activités fortement risquées. Au contraire, sans le sou, et ne souhaitant pas perdre le peu qu’ils possèdent, ils adopteront une attitude prudente. Le propos ici est de souligner la divergence de l’appréciation du risque en fonction des individus. Ainsi trois types de comportement vont être identifiés, les individus adverses au risque, les prudents, les individus indifférents au risque, et enfin les individus qui apprécient le sel du risque. Ces notions seront définies formellement dans le cadre de l’utilité espérée.

20. On peut également ajouter qu’un individu peut voir ses probabilités subjectives évoluer au cours du temps. Les personnes âgées sont plus attachées à leur sécurité, les adolescents au contraire sont disposés à prendre des risques. Par ailleurs en fonction de la structure des risques, des gains et des pertes des positions différentes pourraient être adoptées qui ne seraient pas congruentes vis-à-vis de l’axiomatique VNM. On verra ainsi le paradoxe de Allais. L’axiomatique VNM sans pouvoir répondre à l’ensemble de ces limites va néanmoins constituer le bloc à partir duquel l’économie de l’assurance est construite. Il faut avoir conscience de ces limites, mais par définition le risque et la subjectivité des agents ne peuvent entièrement entrer dans un cadre formel quantifiable. Néanmoins cette approche permet d’aborder de manière cohérente et systématique les problématiques assurantielles, c’est le cadre à travers lequel on peut essayer de modéliser le comportement des agents face au risque. Dans cette partie on va tenter d’appréhender les notions théoriques de base qui régissent le fonctionnement des assurances. Ces notions sont l’aversion au risque, la prime de risque, l’équivalent certain, l’espérance d’utilité et surtout les hypothèses qui composent l’axiomatique Von Neumann Morgenstern.

21. La théorie de la décision en univers incertain : Habituellement, la microéconomie décrit le comportement des agents en fonction d’alternatives qui sont certaines. Un consommateur va chercher à maximiser son utilité en fonction de ses préférences qui sont connues, de sa contrainte budgétaire ainsi que des prix des biens et des services auxquels il peut accéder eux-mêmes connus. Dans la réalité les choses sont un peu plus complexes. Un agent s’il décide de produire un certain type de produit ne connait pas à l’avance le montant de la demande pour ce type de bien, il doit donc choisir. Ce choix constitue une prise de risque.

22. Cette prise de risque peut être présentée en fonction de 3 critères : le critère d’action qui relève du choix de l’acteur, le critère lié à l’état de la nature, dans cet exemple le niveau de la demande, et enfin la probabilité de réalisation des différents états de la nature. L’idée principale est que les gains réalisés sont conditionnés par des événements qui ne sont pas sous le contrôle de l’agent individuel. Ces situations peuvent être représentées sous la forme de distribution de probabilité ou de loterie. Mais au final, ces représentations vont servir à établir les niveaux de primes qui pourront être exigées par les assureurs pour se couvrir de divers risques. Ce qui va guider l’agent c’est l’espérance d’utilité de sa richesse. Son critère de décision consiste à choisir la distribution de la richesse finale qui lui permettra de maximiser son espérance d’utilité.

23. L’axiomatique Von Neumann Morgerstern, le critère d’utilité espérée pour dépasser les limites de l’approche statistique Dans ces situations, les statistiques seules ne peuvent répondre de manière satisfaite à l’établissement de critères de décision. Si on considère les deux loteries suivante on verra que les statisques ne permettent pas de rendre compte des comportement dans l’incertain.

24. Soit un agent joue à la loterie suivante, il peut gagner le montant Z ou – Z avec les probabilité ½, ½. L’espérance de gain de la loterie s’ecrit donc : E(l0) = ½*Z+1/2*(-Z) = 0 La seconde loterie le gain vs. la perte est nulle E(l1) =0 A partir de la seule espérance de gain, il n’est pas possible de faire un choix entre ces deux loteries car leur espérance est la même. Pourtant dans la réalité, les agents vont effectuer des choix que le seul critère d’espérance mathématique ne peut résoudre. Il faut donc trouver autrechose. Avant d’aller plus loin nous revenons sur les notions de base permettant de caractériser les prises de décision dans l’incertain.

25. États de la nature Actions

26. États du temps Choix de la culture

27. États du temps Choix de la culture Les probabilities de survenu des differents états de nature peuvent être établis en fonction de relevés passés de la météo dans la région.

28. A partir de l’ensemble de ces combinaisons Rb,h; Rb,m; Rb,s; Rm,h; Rm,m; Rm,s un ordre de préférence va pouvoir être établi Cet ensemble de résultats forme un cardinal C’est à dire un nombre fini de résultats que l’on peut ordonné

29. P(a1)={ 0.00;0.15; 0.35;0.40;0.50}=1 P(a2)={ 0.00;0.15; 0.35;0.40;0.50}=1 Le choix entre produire du blé ou du maïs peut être assimilé au choix entre 2 loteries. Ces loteries ne diffèrent pas par leurs résultats (les éléments de C) mais diffèrent par les distributions de probabilité p(aj).

30. Quelle que soit l’action ménée appartenant à l’ensemble des actions possibles, il existe une probabilité associée à cette action telle que, cette probabilité soit supérieure ou égale à zéro et que la somme de probabilité formée par cette loterie soit égale à 1.

31. Probabilité que l’action aj conduise au l ième résultat de C* Une action aj peut être caractérisée de la façon suivante : Ou encore :

32. Chaque décision (loterie) peut alors être comparée par sa distribution de probabilité sur l’ensemble des conséquences C • Par conséquent, si on prend le cardinal des conséquences des toutes les loteries, chaque loterie ne diffère que par sa distribution de probabilités, • Si on suppose que l’agent dispose d’un pré-ordre complet sur les conséquences (relation de préférence et d’indifférence sur les conséquences), alors la définition d’une relation de préférence sur les loteries suffit à caractériser le comportement vis-à-vis du risque d’un agent, Cette relation de préférence doit respecter les axiomes suivants pour que la fonction d’utilité VNM existe :

33. Nous allons définir une relation de préférence dans l’ensemble P et demander à cette relation de vérifier l’axiomatique de Von Neumann et Morgenstern Soit l’utilité espérée définit en 1947 par VNM Von Neumann Oskar Morgenstern (Görlitz 1902 - Princeton 1977) (1903-1957)

34. Intérêt de l’approche VNM en terme d’utilité espérée (1947) Séparation entre les croyances sur les sources de l’incertitudes représentées par des probabilités sur des évenements incertains, de l’utilité pour les gains certains La séparation entre des situations de risque où les probabilités sont données (jeu de roullette) et des situations où ces probabilités ne sont pas connue (course de cheveaux) est levée. C’est le modèle d’espérance subjective d’utilité de Savage (1954) qui permet le passage de situation d’incertitude à des situation de risque probabilisable. Mais les probabilités ne sont plus objectives, mais subjectives.

35. L’axiomatique de VNM A-1- L’axiome de comparabilité, réflexivité Il faut supposer que deux distributions de probabilités pourront toujours être comparées. A-2- L’axiome de transitivité Cet axiome traduit une rationalité pure qui induit la cohérence entre les classements Les axiomes A1 et A2 forment un préordre, ie une relation une relation binaire réflexive et transitive. Elle est dite totale si elle est complete. Paradoxe de Condorcet, Paradoxe de Allais

36. A-3- L’axiome d’indépendance forte ou de substitution Cet axiome peut s’interpréter de la façon suivante : L’attitude d’un individu face aux deux loteries ne devra dépendre que de son attitude face à p et q et non pas de la façon d’obtenir p et q.

37. A-4- L’axiome de continuité ou d’Archimède L’analogie avec le principe d’Archimède vient du fait que : quelque soit un couple (z , z’) de deux entiers naturels, il existe toujours un entier naturel k tel que : kz > z’

38. Comment mesurer l’utilité, voire même l’utilité était-elle mesurable ? Utilité ordinale Vs. Utilité cardinale Les fonctions d’utilité définies par vNM sont qualifiées de cardinales. Elles permettent d’attribuer une valeur caractérisant le niveau de satisfaction associe a la consommation d’un ≪ bien ≫. Elles se différencient des fonctions d’utilité ordinales qui permettent seulement de classer les ≪ biens ≫ les uns par rapport aux autres. Avec la cardinalité il est possible de dire cette loterie est préférée 4 fois plus que celle autre loterie. C’est la cardinalité qui permet la maximisation. Une hypothèse importante sous jacente à la théorie de l’utilité espérée est l’indépendance : la valeur donnée à un résultat est indépendante de la manière dont il est arrivé ou de son contexte (axiome 3).

39. Ordinale vs. cardinale La fonction d’utilité cardinale joue un rôle centrale dans l’étude des préférences des individus car elle permet de quantifier l’utilité associée à chaque bien et ainsi de réaliser des arbitrages visant à maximiser l’utilité individuelle. On peut dire qu’un bien apporte 4 fois plus d’utilité qu’un autre bien. L’utilité ici est mesurable. Pourtant Paréto et d’autres économistes rejettent la fonction d’utilité pour représenter les comportements individuelles, car ils ne croient pas que l’on puisse établir une fonction d’utilité objective. Dans ce cas, il se contente de la définition d’un préordre complet. La connaissance sur l’ordre des préférence suffit. Toutefois, ordonner les préférences ne permet pas de mesurer l’utilité. http://stockage.univ-brest.fr/~fdupont/deug_mass/cours2annee/files/annexeD.pdf

40. Supposons que les préférences d’un individu soient telles que On représente ces préférences par une fonction d’utilité U(.) qui vérifie U(a) = 20; U(b) = 10; U(c) = 5 De ces trois chiffres, on peut également tirer les renseignements suivants : l’utilité de a, b et c vaut exactement 20, 10 et 5 ; a est deux fois plus utile que b et quatre fois plus que c ; On obtient 15 degrés d’utilité en plus en ayant a plutôt que c ; et 5 degrés en plus en ayant b plutôt que c ; La différence d’utilité entre a et c est trois fois plus grande que la différence d’utilité entre b et c. Supposons que nous prenions la racine carrée de la fonction U. On appelle V cette nouvelle fonction d’utilité V =pU

41. Il vient évidemment, V (a) = p20 = 4,472135955 V (b) = p10 = 3,16227766017 V (c) =p5 = 2,2360679775 On constate que des 4 renseignements précédents, seul le fait que continue à être vérifié. En effet, les « valeurs d’utilité » ont changé et il est désormais faux que a soit deux fois plus utile que b. De plus, les variations d’utilité et les rapports de différences ont également changé. Si on admet qu’une fonction d’utilité n’est définie qu’à une fonction croissante près, alors on reconnaît ipso facto que le seul renseignement qu’on veut préserver en passant d’une fonction d’utilité à une autre est l’ordre. Par exemple, toute transformation croissante de la fonction U donnera toujours. Abordons maintenant le problème de l’utilité cardinale. Reprenons l’exemple précédent, où on avait U(a) = 20 U(b) = 10 U(c) = 5

42. Qu’elles sont les transformations qui permettent de préserver les renseignements 1 à 4 ? Le premier renseignement n’est préservé que par la transformation « identité ». En effet, si V = Id *U alors, on a : V (a) = 20 V (b) = 10 V (c) = 5 Le deuxième renseignement nous dit que U(a)/U(b) = 2 et U(a)/U(c)=4 On constate donc que les transformations linéaires de U ne modifient pas ce renseignement. Si V = α U on a V (a)/ V(b) = α U(a)/ αU(b) = 2 et V (a)/V(c) = αU(a)/ αU(c) =4.

43. Le troisième renseignement nous dit que U(a)−U(c) = 15 et U(b)−U(c) = 5. Il est évident qu’en ajoutant une constante à la fonction U on ne change pas ce renseignement. Si V =U + β on aura bien V (a)−V (c) = (U(a)+ β )−(U(c)+ β ) = 15 V (b)−V (c) = (U(b)+ β)−(U(c)+ β) = 5 Le dernier renseignement nous dit que Il est clair qu’une transformation affine (positive) de U ne le modifie pas. Si V = αU +β On aura bien

44. On appelle « affines » les transformations de type V = αU +β. Et comme on peut le remarquer, toutes les transformations que nous avons évoquées sont « affines ». Outre le fait qu’elles conservent l’ordre, on remarque que : – si α = 1 et β = 0 on obtient la transformation identité. Elle laisse invariante l’échelle sur laquelle on mesure la grandeur (ici, l’utilité) ; – si α > 0 et β = 0 on obtient une transformation linéaire croissante. Cette transformation dilate l’échelle de mesure en conservant le même « zéro » ; – si α = 0 et β > 0 on obtient un décalage de l’origine. On déplace le « zéro » de l’échelle de mesure sans changer la taille des « graduations » ; – si α > 0 et β > 0 on obtient une transformation affine dans le sens le plus large du terme. Elle change le zéro de l’échelle de mesure tout en dilatant les espaces entre les graduations.

45. On voit que les transformations affines contiennent comme cas particuliers les simples décalages d’origine et les simples dilatations des espaces entre les graduations qui contiennent elles-mêmes comme cas particulier la transformation identité. On parlera d’utilité cardinale lorsque la classe des transformations d’une fonction d’utilité est restreinte aux transformations affines croissantes (ou positives). Cela veut donc dire que l’utilité est dite «mesurable » lorsque toutes les fonctions d’utilité représentant les préférences d’un consommateur préservent les rapports de différences d’utilité, c’est à dire lorsque les instruments de mesure ne diffèrent que par le degré de dilatation (proportionnel) des graduations et la place du « zéro ».

46. Les fonctions d’utilité espérées de VNM permettent de mesurer l’utilité en univers incertain Supposons qu’un individu soit confronté à différentes possibilités (tenues pour certaines). Partant de ces possibilités, on définit ce qu’on appelles des « loteries », c.-à-d. des distributions de probabilités sur les différentes possibilités. Selon von Neumann et Morgenstern, on peut établir des préférences sur les loteries. Ces préférences possèdent selon eux des propriétés tout à fait particulières.

47. Axiomes de la théorie de l’utilité espérée de Von Neumann – Morgenstern Au fil du temps, les axiomes originaux de von Neumann et Morgenstern ont été reformules par différents auteurs. Bell et Farquhar (Bell and Farquhar 1986) les présentent de la façon suivante. Axiome 1 et 2 Les préférences existent et sont transitives. Pour toute paire de loteries y et y' , ou bien y est préféré a y', ou bien y' est préféré à y, ou bien l’individu est indifférent entre y et y'. De plus pour tout triplet de loteries y, y' et y' ', si y est préféré à y' et si y' est préféré à y' ', alors y est préféré à y' '. De meme si y est indifférent a y‘ et si y' est indifférent a y' ', alors y est indifférent a y' '. Source : (Drummond 1998) tirée de la thèse de Julie Chevalier. http://basepub.dauphine.fr/bitstream/handle/123456789/5598/These_JulieChevalier.pdf?sequence=1

48. Axiome 3 Indépendance. Un individu devrait être indifférent entre une loterie à deux niveaux et une loterie simple équivalente en probabilité, qui s’en déduit selon les lois de probabilité usuelles. Par exemple, considérons deux loteries y et y' . y correspond au résultat x1 avec la probabilité p1 et au résultat x2 avec la probabilité 1 - p1 , ce qu’on note formellement par y = (p1, x1, x2 ) . De même, y'= (p2, x1,x2 ) .Selon l’axiome l’indépendance, un individu est indifférent entre la loterie à deux niveaux (p,y,y' ) et la loterie équivalente en probabilité (pp1 +(1 - p)p2 , x1, x2 ). Source : (Drummond 1998) tirée de la thèse de Julie Chevalier. http://basepub.dauphine.fr/bitstream/handle/123456789/5598/These_JulieChevalier.pdf?sequence=1

49. Axiome 4 Continuité des préférences. Si on a trois résultats x1 , x2 et x3, tels que x1 est préféré à x2 qui est préféré à x3 , il existe une probabilité p pour laquelle l’individu est indifférent entre le résultat x2 obtenu avec certitude et la loterie qui correspond au résultat x1 avec la probabilité p et au résultat x3 avec la probabilité (1 – p) Source : (Drummond 1998) tirée de la thèse de Julie Chevalier. http://basepub.dauphine.fr/bitstream/handle/123456789/5598/These_JulieChevalier.pdf?sequence=1 Supposons qu’on appelle a et z la meilleure et la pire des possibilités aux yeux de l’individu i. On choisit deux nombres Ui (a) et Ui (z) qui fixent la plus élevée et la plus faible des utilités. On considère maintenant la possibilité b vérifiant . Cela veut dire - dans le langage des loteries - que i préfère la loterie L(a, z;1,0) à b et préfère b à la loterie L(a, z;0,1). L’hypothèse fondamentale de von Neumann et Morgenstern est qu’il existe une probabilité 0 < p < 1 telle que l’individu i est indifférent entre b et la loterie L(a, z;p,1−p). L’indice d’utilité de b est alors Ui (b) = pUi (a)+(1−p)Ui (z). http://stockage.univ-brest.fr/~fdupont/deug_mass/cours2annee/files/annexeD.pdf

50. Mélanges et lois de probabilité