11 – Assurance, Hedging et Options Réelles

1. 11 – Assurance, Hedging et Options Réelles Chapitre 18, 21, et 34 Hull, 8 éd.

2. Plan de la séance • Assurance de Portefeuille • Delta Hedging • Options Réelles

3. Couverture de Portefeuille et Delta Hedging • Assurance de portefeuille d’actions • Avec des options • Par rebalancement dynamique • Couverture de portefeuille d’actions • Avec des contrats à terme • Avec des options • Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Avec des actions ou contrat à terme • Avec des options • Les lettres grecques • Value atrisk (VaR)

4. Assurance de portefeuille d’actions • Différence entre assurance et couverture • Couverture de portefeuille: • Stratégie qui permet d’éliminer complètement ou partiellement la valeur d’un portefeuille. • Le mot «couverture» est souvent utilisé dans le sens d’une stratégie qui élimine le risque complètement, donc que la valeur d’un portefeuille ne changera pas. • Assurance de portefeuille: • La notion d’assurance de portefeuille est similaire à la notion de couverture sauf que le terme «assurance» définit généralement une stratégie qui garantit une valeur minimum pour le portefeuille, et donc s’apparente à une option de vente.

5. Assurance de portefeuille d’actions • Assurance de portefeuille avec option de vente sur indice • Les options sur indices boursiers peuvent être utilisées pour de l’assurance de portefeuille d’actions • Il suffit de choisir le bon indice : c’est-à-dire le plus corrélé avec le portefeuille • http://www.m-x.ca/nego_liste_fr.php Portefeuille non couvert Portefeuille couvert Put Prix de l’action

6. Assurance de portefeuille d’actions • Assurance de portefeuille avec option de vente sur indice • Si le portefeuille a un b de 1.0, le gestionnaire de portefeuille achètera 1 contrat d’option de vente sur indice pour chaque 100 x S0 dollars détenus. • Si le b n’est pas 1.0, le gestionnaire achètera b contrats d’option de vente pour chaque 100 x S0 dollars détenus. Il faut se servir du CAPM dans ce cas-ci. • Dans chacun des cas, le prix d’exercice est choisi pour assurer le niveau d’assurance désiré

7. Assurance de portefeuille d’actions • Exemple : • Le beta du portefeuille est 1.0 • La valeur actuelle du portefeuille est 1M $ • Le niveau actuel de l’indice S = 500 • Le gestionnaire veut maintenir la valeur du portefeuille au dessus de 960 000 $ (sans tenir compte du coût de la stratégie) • Quel stratégie doit-il adopter? • Qu’arrive-t-il si le prix de l’indice descend à 400?

8. Assurance de portefeuille d’actions • Solution : • Stratégie: • Position longue dans le portefeuille • Couverture avec une position longue dans des options de ventes • Nombre de contrats : • 1 M$ / (500 x 100$) = 20 contrats • Prix d’exercice: • Perte maximale possible = (960 000 / 1 M) – 1 = - 4% • Comme le bêta du portefeuille est de 1, l’indice de marché variera de la même façon. • Le prix d’exercice sera donc de 500 x (1-.04) = 480 = K

9. Assurance de portefeuille d’actions • Vérification si l’indice baisse à 400, soit une perte de 20% • Valeur du portefeuille: 1M$ x 0.8 = 800 000$ • Profit des options de vente: (480 – 400) x 100$ x 20 = 160 000$ • Valeur totale: 800 000 + 160 000 = 960 000$

10. Assurance de portefeuille d’actions • Exemple 2 : • Le beta du portefeuille est 2.0 • La valeur actuelle du portefeuille est 1M $ • Le niveau actuel de l’indice est 250 • Le taux sans risque r = 8% par année • Le rendement de l’indice q = 3% par année • Le gestionnaire veut maintenir une valeur minimum de 900 000$ (sans tenir compte du coût de la stratégie)? • Quel stratégie doit-il adopter? • Quelle est la valeur du portefeuille si l’indice descend à 230 dans un an?

11. Assurance de portefeuille d’actions • Solution 2 : • Stratégie: • Position longue dans le portefeuille • Couverture avec une position longue dans des options de ventes • Nombre de contrats : • 2 x [1 M$ / (250x100)] = 80 • Prix d’exercice : • Perte maximale possible = (900 000 / 1 M) – 1 = - 10% = re • Attention : Le b est différent de 1 • On utilise de le CAPM : re= rf + b (rm+ q - rf) -10% = 0.08 + 2( rm + 0.03 – 0.08)  rm = -0.04 • Le prix d’exercice de l’option sur indice sera K = 250 (1 – 0.04) = 240

12. Assurance de portefeuille d’actions • Solution 2 : • Quelle est la valeur du portefeuille si l’indice descend à 230 dans un an? • Perte de l’indice = (230/ 250) – 1 = - 8% = rm • Attention : Le b est différent de 1 • On utilise de le CAPM pour obtenir la perte du portefeuille : re= rf + b (rm+ q - rf) re= 0.08 + 2( -0.08 + 0.03 – 0.08)  re= -0.18 • Valeur du portefeuille = 1M$ x (1 – 0.18) = 820 000$ • Gain sur le Put : (240-230)x80x100 = 80 000$ • Soit un total de 900 000$

13. Assurance de portefeuille d’actions • Solution 2 : • Choix d’un niveau d’assurance : exemple de tableau rapide à faire

14. Assurance par rebalancement dynamique • Plutôt que d’acheter une option de vente, on la crée synthétiquement en gérant la proportion du portefeuille investie en actions et en titres sans risque (obligations). • Pourquoi créer des options synthétiques? • Les options n’existent pas pour un certain sous-jacent. • Il y a un manque de liquidité dans le marché des options. • Besoins précis en terme d’échéance et de prix d’exercice.

15. Assurance par rebalancement dynamique • Attention : • L’exemple suivant est la technique qui était utilisée par les ordinateurs lors du Crash d’octobre 1987 où entre le 14 et le 16, la plupart des indices ont chuté de 30% • La technique n’a pas créé le Crash en elle même, mais elle a juste accéléré le processus une fois enclenché • À la suite de cet événement, on a instauré un système de disjoncteurs (Breakers) pour arrêter les transactions systématiques issues de processus si les prix baissent trop rapidement sur les marchés principaux et alternatifs (sociétés privées). Le système a encore été amélioré après 2008 et le flash crash du 6 mai 2010 • http://en.wikipedia.org/wiki/2010_Flash_Crash • L’exemple permet de comprendre comment l’assurance fonctionne, mais aussi comment elle peut facilement engendrer une spirale à la baisse si tout le monde fait la même chose

16. Assurance par rebalancement dynamique NEW YORK, March 30, 2012 -- The New York Stock Exchange will implement new circuit-breaker collar trigger levels for second-quarter 2012 effective Monday, April 2, 2012.Circuit-breaker points represent the thresholds at which trading is halted marketwide for single-day declines in the Dow Jones Industrial Average (DJIA). Circuit-breaker levels are set quarterly as 10, 20 and 30 percent of the DJIA average closing values of the previous month, rounded to the nearest 50 points.In second-quarter 2012, the 10-, 20- and 30-percent decline levels, respectively, in the DJIA will be as follows:Level 1 Halt (-10%)A 1,300-point drop in the DJIA before 2 p.m. will halt trading for one hour; for 30 minutes if between 2 p.m. and 2:30 p.m.; and have no effect if at 2:30 p.m. or later unless there is a level 2 halt.Level 2 Halt (-20%)A 2,600-point drop in the DJIA before 1:00 p.m. will halt trading for two hours; for one hour if between 1:00 p.m. and 2:00 p.m.; and for the remainder of the day if at 2:00 p.m. or later.Level 3 Halt (-30%)A 3,900-point drop will halt trading for the remainder of the day regardless of when the decline occurs.Background:Circuit-breakers are calculated quarterly. The percentage levels were first implemented in April 1998 and the point levels are adjusted on the first trading day of each quarter. In 2012, those dates are Jan. 3, April 2, July 2 and Oct. 1.

17. Assurance par rebalancement dynamique • Exemple : • Soit un portefeuille original de 200 M$ • 120M $ d’actions • 80M $ de bons du trésor • Valeur plancher = 140M $ • Coussin c = 200 - 140 = 60M $ • C’est la valeur que l’on peut perdre avant d’atteindre le plancher • Exposition e = 120M $ • C’est la valeur des actifs risqués qui peuvent perdre de la valeur : Les actions • L’exposition e = Multiplicateur que l’on garde constant x Coussin de sécurité • Multiplicateur m = e / c = 120 / 60 = 2

18. Assurance par rebalancement dynamique

19. Assurance par rebalancement dynamique

20. Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme • Ratio de couverture à variance minimum • La proportion d’exposition qui doit être optimalement couverte est: • S: prix spot • F: prix Futures • σS: écart-type de ΔS • σF: écart-type de ΔF • ρ: coefficient de corrélation entre ΔS et ΔF Portefeuille couvert Portefeuille non couvert Futures Prix de l ’action

21. Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme • Ratio de couverture à variance minimum • Nombre optimal de contrats: N* = h* (NA / QF) • NA : Nombre d'unités spot à couvrir • QF : Nombre pour chaque contrat Futures • N* : Nombre optimal de contrat Futures • h* : La proportion d’exposition

22. Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme • Couverture à l’aide d’un Futures sur indice boursier • Nombre optimal de contrats: N* = b (S / F*) • b : Beta d'un portefeuille, représentant la sensibilité de la valeur du portefeuille aux variations du rendement du marché • S : Valeur totale du portefeuille • F*:Valeur sous-jacente à 1 contrat futures, soit le prix Futures de l’indice x taille d’un contrat

23. Couverture de portefeuille d’actions avec des Options • On considère un portefeuille d’actions et d’options • La valeur du portefeuille total est V = S + h O • La valeur du portefeuille couvert doit rester constant si la valeur des actions varie : • On cherche donc à avoir ΔV/ΔS = 0 • h = - 1/(Δ de l’option) Prix de l’option Pente =  c Prix de l’action S

24. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Pourquoi le Delta-Hedging? • Exemple: Je vends un call. • Je fais maintenant face à un risque, qui dépend des variations du prix du sous-jacent. Précisément, j’ai un Delta non-nul • Le delta change dans le temps, parce-que S change à chaque période, je dois donc neutraliser le Delta de façon dynamique : il s’agit donc d’une stratégie dynamique • L’idée est donc de compenser les changements de valeur de l’option par des profits ou pertes sur le marché des actions. • On aura donc un portefeuille constitué d’options et d’actions.

25. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Pourquoi le Delta-Hedging? • Exemple: Je vends un call • Je vais acheter D actions. À chaque période, j’ajuste le nombre d’actions que je possède, selon le nouveau D. • En fin de compte, le risque D de ma vente de call est neutralisé. • Le coût du delta-hedging est environ égal au prix Black-Scholes d’une option call correspondante • En fait, on a créé synthétiquement une position longue de call!

26. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Représentation graphique du delta d’une option • Le Delta est le taux changement du prix de l’option par rapport au sous-jacent Prix de l’option Pente =  c Prix de l’action S

27. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Calcul du D d’une option • Delta d’une option d’achat • Δc= N(d1) > 0 • Delta d’une option de vente • Δp = N(d1) – 1 < 0 • Δp = Δc – 1 < 0 • De façon générale, avec q le taux de dividende : • Δc = e–qT N(d1) > 0 • Δp = e–qT [N(d1) -1] < 0

28. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Exemple : • Une banque a vendu 100 000 options d’achat et a obtenu 300 000$. • Le prix d’exercice est 50$ et le cours actuel de l’action est 49$. • r = 5%, T = 20 semaines et s= 20% • Le portefeuille est exposé au risque si à l’échéance le prix est supérieur à 50$ («naked position») • Solution : • Stratégies de couverture: • Se couvrir avec des actions : «covered position» • Stratégie «stop loss» • Naked si St < K • Covered si St > K • Ou Delta hedging

29. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging Profit de la position couverte ST 50 Couverture avec position longue en actions • Exemple : «Covered position» Profit Position de base ST 50

30. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Exemple : Valeur de l’option avec Black-Scholes • N(d1) = N(0.05) = 0.5199 N(d2) = N(-0.07) = 0.4721 • c = 49 x 0.5199 – 50 e-.05x20/52 x 0.4721 = 2.31968 • Coût total = 231 968$

31. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging

32. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Delta Hedging avec Futures • On remplace le sous-jacent par son prix Futures. • Le prix Futures est très corrélé avec le prix spot. • Les frais de transactions sont moins élevés, et on ne débourse rien à l’origine. • Ajustements nécessaires: • Prix Futures: F = S e(r-q)T • Variation: ΔF = ΔS e(r-q)T • donc, besoin d’une moins grande quantité de Futures • Quantité de Futures à détenir QFutures = e–(r-q)T Qactifsous-jacent

33. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique • avec wi = nombre d’options i

34. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Exemple : Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique • Position longue dans 10 000 options d’achat de Nortel avec K=14 et delta=0.538 • Position courte dans 15 000 options d’achat de Nortel avec K=15 et delta=0.475 • Position courte dans 5 000 options de vente de Nortel avec K=15 et delta=-.510 • Quelle est la stratégie à adopter pour obtenir un delta neutre?

35. Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging • Exemple: Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique • Delta des composantes du portefeuille: + 10 000 x .538 = 5380 - 15 000 x .475 = -7125 - 5 000 x (-.510) = 2550 • Delta du portfeuille: 5380 – 7125 + 2550 = 805 • Pour neutraliser le delta, il faut prendre une position courte dans 805 actions • On peut valider le signe de la position finale avec la pente de la position. Positif: long call ou short put; Négatif: short call ou long put. Le delta d’une action est égal à 1

36. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Gamma (G) est le taux de variation de delta (D) par rapport au prix du sous-jacent. • Vega (V) est le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité. • Rho est le taux de variation de la valeur de l’option par rapport au taux d’intérêt. • Theta(t) d’une option est le changement de sa valeur par rapport à la variation de temps

37. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Modification du Gamma : • Le Gamma est l’équivalent de la convexité • Il est le même pour un put ou un call • Une faible valeur du Gamma indique que le Delta est peu sensible aux variations du sous-jacent, de sorte que les ajustements de couverture seront moins fréquent

38. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Modification du Gamma • Pour modifier le Gamma d’un portefeuille, on doit introduire une certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille nouveauГptf = vieuxГptf + w Гnouvelle option • Si on désire que le Gamma soit égal à zéro, alors on doit ajouter

39. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Exemple de Modification du Gamma • On a un portefeuille delta neutre • avec Gamma=-5000 • On veut acheter des options d’achat • avec delta=0.65 et gamma=2.5 • Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un gamma neutre? • Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un delta neutre

40. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Exemple de Modification du Gamma • Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un gamma neutre? nouveauГptf = vieuxГptf + w Гnouvelle option 0 = -5000 + 2.5 w w = 2000 • Pour neutraliser le gamma, il faut prendre une position longue de 2000 dans la nouvelle option • Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un delta neutre? • Nouveau delta = 0 + 2000x.65 = 1300 • Pour neutraliser le delta, il faut prendre une position courte dans 1300 actions

41. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Modification du Vega • le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité • Le Vega est le même pour une option d’achat ou de vente.

42. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Modification du Vega • Pour modifier le Vega d’un portefeuille, on doit introduire une certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille: nouveauVptf = vieuxVptf + w Vnouvelle option • Si on désire que le Vega soit égal à zéro, alors on doit ajouter

43. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre • Soit un portefeuille delta neutre avec un gamma de -5000 et un vega de -8000 • Option 1: delta=0.6, gamma=0.5 et vega=2 • Option 2: delta=0.5, gamma=0.8 et vega=1.2 • Quelle stratégie doit-on adopter pour rendre le portefeuille neutre au delta, au gamma et au vega?

44. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre • Système à 2 équations pour Gamma et Vega : nouveauГptf = vieuxГptf + w1Гnouvelle option1 + w2Гnouvelle option2 nouveauVptf = vieuxVptf + w1Vnouvelle option1 + w2Vnouvelle option2 0 = -5000 + 0.5 w1 + 0.8 w2 0 = -8000 + 2 w1 + 1.2 w2 d’où w1 = 400 et w2 = 6000

45. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre • Et enfin le nouveau delta = 400 x 0.6 + 6000 x 0.5 = 3240 • Pour neutraliser le delta, il faut donc prendre une position courte dans 3240 actions

46. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Modification du rho • Option d’achat: • Option de vente: • Option d’achat: • Option de vente:

47. Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités • Modification du Theta • Option d’achat: • Option de vente: • Option d’achat: • Option de vente:

48. La VaR, Value atRisk • Qu’est ce que la Value atRisk (VaR)? • La VaR consiste à être certain à X% de ne pas perdre plus de V dollars dans les N prochains jours. VaR = 2.33 x √N x sj x Valeur du portefeuille • Exemple: • Être certain à 99% de ne pas perdre plus de V dollars dans les prochains 10 jours. • V est la VaR de 10 jours pour un intervalle de confiance de 99%.

49. La VaR, Value atRisk • Exemple : IBM • La volatilité par jour d’IBM est 2% • La taille du portefeuille est 10 M$ • L’écart-type du changement sur un jour : 2% x 10M $ = 200 000 $ • L’écart-type du changement sur 10 jours est : 200 000 x √10 = 632 456 $ • La VaR à 99% est 2.33 x 632 456 = 1 473 621 $

50. La VaR, Value atRisk • Exemple : AT&T • La volatilité par jour d’AT&T est 1% • La taille du portefeuille est 5 M$ • L’écart-type du changement sur un jour : 1% x 5M $ = 50 000 $ • L’écart-type du changement sur 10 jours est : 50 000 x √10 = 158 114 $ • La VaR à 99% est 2.33 x 158 114= 368 405 $