¿Qué tal van las clases, Bartolo? Me pregunta mi barbero. Bien... Dando probabilidad

1. 5. Distribuciones discretas • ¿Qué tal van las clases, • Bartolo? Me pregunta mi barbero. • Bien... Dando probabilidad • y estadística... Respondo. • ¡Ah! Probabilidad... Yo • suelo jugar a la lotería... • Dice mientras me pasa la cuchilla. • Cuando compro un número, tal y como yo lo veo, hay dos posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de • probabilidad de ganar y un 50% de perder. • -¡Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es bueno contradecir a nadie que tenga una navaja en mi cuello...

2. Distribución de Bernoulli Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: éxito  1 fracaso  0 Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad: Jacob Bernoulli Un típico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de una moneda con probabilidad p para cara y (1-p) para cruz.

3. Veremos, más adelante, que la distribución de Bernoulli es un caso particular de la distribución Binomial con n = 1. Función de distribución:

4. Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

5. Distribución geométrica Consideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el primer éxito. Definimos la variable aleatoria X, como el número de fracasos hasta que se obtiene el primer éxito. Entonces:

6. p(x) x Función de distribución: The geometric distribution Y is a special case of the negative binomial distribution, with r = 1.

7. The probability distribution of the number X of Bernoulli trials needed to get one success, supported on the set { 1, 2, 3, ...} The probability distribution of the number Y = X − 1 of failures before the first success, supported on the set { 0, 1, 2, 3, ... } La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01. Si se supone que las muestras son independientes respecto a la presencia de la molécula. Determine cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar 125 muestras antes de detectar una molécula rara.

10. Distribución binomial La distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento. P. ej.: # de caras en n lanzamientos de una moneda. Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).

11. Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda. Probabilidad de éxito en cada lanzamiento (cara) = p. Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q.

12. Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria: X = Número de veces que ocurre A. En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara. Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n. Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n - x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenación es pxqn-x y existen idénticas ordenaciones.

13. Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p) La función de probabilidad P(X = x) será la distribución binomial:

14. The binomial distribution is frequently used to model the number of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N. If the sampling is carried out without replacement, the draws are not independent and so the resulting distribution is a hypergeometric distribution, not a binomial one. However, for N much larger than n, the binomial distribution is a good approximation, and widely used.

16. Características de la distribución binomial • Media • = E(X) = n p • = 5 · 0.1 = 0.5 • = 5 · 0.5 = 0.25 n = 5p = 0.1 P(X) .6 .4 .2 0 X 0 1 2 3 4 5 Desviación estándar n = 5p = 0.5 P(X) .6 .4 .2 X 0 0 1 2 3 4 5

19. Tablero de Galton o quincunx • Comprar un quincux: http://www.qualitytng.com/. • Applets: http://www.jcu.edu/math/isep/Quincunx/Quincunx.html Sir Francis Galton(1822-1911) La vida y la obra de Galton, así como el contexto histórico en que se desarrollaron, está muy bien explicado en el libro de Stigler: "TheHistory of Statistics" (cap. 8). Quincunx

20. ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean niñas? Si una décima parte de personas tiene cierto grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar, exactamente 8 de ellas pertenezcan a este grupo sanguíneo? ¿Y si la pregunta es 8 como máximo?

21. Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces. p = 1/6, q = 5/6, n = 4 Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) +P(3) + P (4)

22. Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

28. Chuck-a-luck: Elige un número entre 1 y 6. Lanzas 3 dados. Si el número que has elegido sale en los 3 dados cobras 3 euros. Si sale en 2 cobras 2 euros. Si sale en un dado cobras 1 euro. Y si no sale en ninguno, pagas 1 euro. ¿Es un juego justo?

29. NACIMIENTO DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES Hay dos jugadores jugando a un juego, donde el primer jugador gana con probabilidad p cada partida. El total de lo apostado es ganado por el jugador que gana por primera vez N partidas. Supongamos que el primer jugador ha ganado k partidas y el segundo j y se interrumpe el juego: ¿Cómo debe dividirse el total entre ambos jugadores? Blaise Pascal 1623 - 1662 Debemos calcular la probabilidad de que el primer jugador gane N - k juegos, antes de que el segundo gane N - j. De modo que el primer jugador debería llevarse un porcentaje P del premio y el segundo (1-P).

30. Distribución multinomial Podemos generalizar la distribución binomial cuando hay más de dos acontecimientos posibles (A1, A2, A3 ...) con probabilidades p1, p2 , p3 ... constantes y tales que:

31. Un método de diagnóstico tiene 3 resultados posibles: positivo (P), negativo (N) y dudoso (D). Se sabe que, en la población, el 10% de los sujetos son positivos, el 70% negativos y el resto dudosos. ¿Qué probabilidad hay de, en una muestra de 5 individuos, obtener exactamente 1 positivo, 1 negativo y 3 dudosos ?

33. ¿Cómo simular de manera sencilla en el ordenador una variable aleatoria binomial X? Sumando n variables aleatorias independientes cuyos valores pueden ser 1 o 0, con probabilidad p y 1-p respectivamente. ¿Y cómo simular una distribución geométrica de parámetro p? Una manera es generar una secuencia de números aleatorios en [0, 1) con la función rnd, y paramos cuando obtengamos un número que no exceda a p, que es el equivalente al primer éxito. El problema es que si p es pequeño, en promedio se necesitan 1/p pasos de tiempo y se consume mucho tiempo de cómputo.

34. Una forma alternativa con tiempo de cómputo independiente del valor de p sería: Sea q = 1- p y definamos la variable Y como el menor entero que satisface: Entonces tenemos: De modo que Y está distribuida geométricamente con parámetro p.

35. Para generar Y, basta con que despejemos de:

36. Un acontecimiento ocurre, en la población, en el 10% de los casos. ¿Qué tamaño de muestra debo tomar para tener una probabilidad del 95% de obtener al menos un éxito ?

37. Distribución binomial negativa Consideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el r-ésimo éxito. Definimos la variable aleatoria X, como el número de fracasos x hasta que se obtiene el r-ésimo éxito. Entonces: El último tiene que ser un éxito. Se denomina binomial negativa porque los coeficiente provienen de la serie binomial negativa:

38. Distribución binomial negativa(dePascal o de Pólya) La distribución binomial negativa también se puede definir como el número de pruebas x hasta la aparición de r éxitos. Como el número de pruebas x, en este caso, contabiliza tanto los éxitos como los fracasos se tendría según ésta definición que:

39. Disponemos de una moneda trucada con probabilidad de cara igual a p=0.25. La lanzamos hasta que obtenemos 2 caras. La distribución del número de lanzamientos x será: P(x) x

40. Una aeronave tiene 3 computadoras idénticas. Sólo una de ellas se emplea para controlar la nave, las otras 2 son de reserva, redundantes, por si falla la primera. Durante una hora de operación la probabilidad de fallo es 0.0005. • ¿Cuál es el tiempo promedio de fallo de las tres computadoras? • ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 fallen durante un vuelo de 5 horas? a) b)

44. Elegir al azar con reemplazo Elegir al azar con reemplazo significa que escogemos al azar un elemento de un conjunto y lo regresamos para elegir de nuevo al azar. Esto garantiza la independencia de las elecciones y nos lleva a una distribución binomial. Si una caja contiene N bolas de las cuales A son rojas, entonces la probabilidad de escoger al azar una bola roja es: p = A/N. Si repetimos el experimento sacando n bolas con reemplazo la probabilidad de que x sean rojas es: (Una distribución binomial)

45. Elegir al azar sin reemplazo Elegir al azar sin reemplazo significa que no devolvemos el elemento elegido al azar al conjunto. De modo que las probabilidades de la siguiente elección dependen de las anteriores. Si repetimos el experimento anterior sacando n bolas sin reemplazo, ¿cuál será ahora la probabilidad de que x sean rojas? Para calcular los casos favorables observa que: N = A + (N – A). De las A bolas rojas tomaremos x y de las N – A bolas no rojas tomaremos n – x.

46. Distribución hipergeométrica

47. Queremos seleccionar al azar dos bolas de una caja que contiene 10 bolas, tres de las cuales son rojas. Encuentra la función de probabilidad de la variable aleatoria : X = Número de bolas rojas en cada elección (con y sin reemplazo). Tenemos N = 10, A = 3, N - A = 7, n = 2 Escogemos con reemplazo: Escogemos sin reemplazo:

48. Se debe seleccionar 2 miembros de un comité, entre 5, para que asistan a una convención. Suponga que el comité está formado por 3 mujeres y 2 hombres. Determine la probabilidad de seleccionar 2 mujeres al azar: • Tenemos N = 5, n = 2, A = 3 y x = 2:

49. Hipergeométrica Binomial N = 24 n = 5 X = 8 p = 8/24 =1/3 Observa que si N, A, N-A son grandes comparados con n no hay gran diferencia en qué distribución empleemos. La distribución binomial es una aproximación aceptable a la hipergeométrica si n < 5% de N. n = 5 Error P(x) P(x) x -0.0289 0 0.1028 0.1317 0.0133 1 0.3426 0.3292 0.0397 2 0.3689 0.3292 -0.0065 3 0.1581 0.1646 -0.0148 4 0.0264 0.0412 -0.0028 5 0.0013 0.0041 N = 240 n = 5 X = 80 p = 80/240 =1/3 n = 5 x P(x) P(x) Error -0.0028 0 0.1289 0.1317 0.0014 1 0.3306 0.3292 0.0035 2 0.3327 0.3292 -0.0004 3 0.1642 0.1646 -0.0014 4 0.0398 0.0412 -0.0003 5 0.0038 0.0041