LEYES DE PROBABILIDAD

1. LEYES DEPROBABILIDAD

2. Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad). Axioma: Es una verdad evidente que no requiere demostración. Teorema: Es una verdad que requiere ser demostrada. Leyes de probabilidad:

3. Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal queA  S, entonces se cumple que 0  P(A) 1 esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible. P(A) ___________________________________ • -2 -1 0 1 2 Axioma 1:

4. La probabilidad del espacio muestral S es un evento seguro y es uno: P(S) = 1 Ejemplo.- Experimento.- Se lanza un dado. Si A = S, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces: Axioma 2:

5. Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de  es igual a cero: Ejemplos: • Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto. • Que aparezca un siete al lanzar un dado. • Que una persona viva 250 años. • En estos casos los eventos son vacíos. Teorema 1:

6. Sea S un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que: A S, B S y A  B = , es decir, dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A  B) = P(A) + P(B) Axioma 3:

7. Experimento:“Se lanzan dos monedas”. Espacio muestral: S = { ss, aa, sa, as}, N(S) = 4 Sean los eventos: A: “Caen dos soles exactamente”. B: “Cae un sol exactamente”. Los elementos de A y B son: A = { ss}, B = {sa, as}. Se puede ver que para A  B =  (vacío, no hay elementos en común), por lo que los eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, por tanto P(A  B) = P(A) + P(B) Ejemplo:

8. Continuación del ejemplo:

9. Sean A1, A2, A3, A4, ..., An; eventos mutuamente excluyentes: P(A1  A2  A3  A4, ...  An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An) Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente excluyentes (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades. Axioma 4:

10. Continuación: Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:

11. Ejemplo: Experimento:“Se lanza un dado”. Sean los eventos: A: “Que al lanzar un dado salga el 2 o el 4”. B: “Que al lanzar un dado salga un número mayor a 4”. C: “Que salga el 1 o 3”. Los elementos de A, B y C son A = {2, 4}, N(A) = 2 B = {5, 6}, N(B) = 2 C = {1, 3} , N(C) = 2

12. Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que: A  B = {}, A  C = { }, B  C = { } Por axioma 4: P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) Continuación:

13. Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B , entonces: P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) Teorema2: Ley aditiva de la probabilidad.

14. Sean A y B dos eventos: A - B = { x | x  A y x  B } DIFERENCIA:

15. Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”. S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } N(S) = 12 Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”. Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”. A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3 A  B = { 2s } N(A  B ) = 1 Ejemplo:

16. Sea A un evento cualquiera y S un espacio muestral, tal que A  S, si Ac es el complemento del evento A, entonces la probabilidad de Ac es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir P(Ac) = 1 – P(A) Teorema 3:

17. Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”. S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } N(S) = 12 Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”. Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”. A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3 Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } Bc= { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } Ejemplo:

18. Probabilidad condicional: Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral S, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como:

19. Eventos independientes Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen: Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

20. Probabilidad condicional: Ley Multiplicativa de la Probabilidad. Ya que (A  E) = (E  A) y despejamos a P(A  E), se tiene que la probabilidad de la intersección es:

21. Probabilidad condicional: Si A y B son independientes:

22. Experimento:“Lanzar un dado”. Evento A: “Que al lanzar el dado caiga 3”. Evento E: “Que al lanzar un dado salga un impar”. Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar. S = {1,2,3,4,5,6} A = {3}, E = { 1,3,5}, (AE) = {3}, P(A) = 1/6 Ejemplo:

23. Otra forma de calcular las probabilidades de la intersección y las probabilidades condicionales, de dos eventos A y B, tal que: A  AC = S B  BC = S es elaborando primero la tabla de número de elementos de los eventos y después la tabla de sus probabilidades.

24. Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc

25. Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos Ac, Bc

26. Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus intersecciones

27. P(A/B) = P(A  B)/P(B) P(B/A) = P(A  B)/P(A) P(A/Bc) = P(A  Bc)/P(Bc) P(B/Ac) = P(Ac B)/P(Ac) P(Ac/B) = P(Ac B)/P(B) P(Bc/A) = P(A  Bc)/P(A) Probabilidades condicionaLES:

28. En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la población total es de 8000 personas, ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?: a).- Mujer. b).- Hombre. c).- Mujer dado que está empleado. d).- Desempleado dado que es hombre. e).- Empleado dado que es mujer. Ejemplo:

29. Sean los eventos: M: “Que sea Mujer”. H: “Que sea Hombre”. D: “Que sea Desempleado”. E: “Que sea Empleado” Tabla de elementos de los eventos M, H, D, E Y S. Solución:

30. Tabla de probabilidades:

31. P(M) = 0.50 P(H) = 0.50 P(E) = 0.875 P(D) = 0.125 P(M/E) = P(ME)/P(E) = 0.40/0.875 = 0.4571 P(D/H) = P(DH)/P(H) = 0.025/0.5 = 0.05 P(E/M) = P(ME)/P(M) = 0.40/0.5 = 0.8 P(M/D) = P(MD)/P(D) = 0.10/0.125 = 0.8 P(H/D) = P(HD)/P(D) = 0.025/0.125 = 0.2 Continuación:

32. Eventos dependientes e independientes En el ejemplo anterior se tiene que: P(M) = 0.50 P(H) = 0.50 P(E) = 0.875 P(D) = 0.125 P(ME) = 0.40 P(M) P(E) = 0.4375 P(DH) = 0.025 P(D) P(H) = 0.0625 P(MD) = 0.10 P(M) P(D) = 0.0625 P(EH) = 0.475 P(E) P(H) = 0.4375 Continuación:

33. Por tanto los eventos M y E , D y H, M y D, E y H son dependientes. Continuación:

34. Ley multiplicativa: INDEPENDENCIA DE n EVENTOS

35. A2 A5 A3 A1 A4 A6 An Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos (mutuamente excluyentes), que forman una partición de S. Esto es Ai Aj =  para toda i y toda j, y además S = A1  A2 A3An Probabilidad total:

36. A2 A5 A3 A1 A4 A6 An Y sea E otro evento tal que E S y E Ai E E

37. Entonces: E = S  E = (A1 A2 A3An)  E = (A1 E)  (A2 E)  (A3 E)  (AnE) Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se tiene que: P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(AnE) Ya que (Ai E) es ajeno a (Aj  E) para i ≠ j

38. Como (Ai E) = (E Ai) entonces P(Ai E) = P(E  Ai) = P(E/Ai) P(Ai) Entonces la probabilidad completa de E es: P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

39. En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos. Ejemplo: Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?

40. Sea D el evento: “Que sea un artículo defectuoso”. P(M1) = 0.50 P(D/M1) = 0.03 P(M2) = 0.30 P(D/M2) = 0.04 P(M3) = 0.20 P(D/M3) = 0.05 P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3) = 0.03(0.50) + 0.04(0.30) + 0.05(0.20) = 0.037 Solución:

43. Supóngase que A1, A2, A3,...,An esuna partición de un espacio muestral S. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente excluyentes. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier Ai, Teorema de bayes:

44. Continuación:

45. En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos. Ejemplo: Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?

46. Sea D: “Que el artículo sea defectuoso”. ND: “Que el artículo no sea defectuoso”. M1: “Que haya sido producido por la máquina 1”. M2: “Que haya sido producido por la máquina 2”. M3: “Que haya sido producido por la máquina 3”. P(M1) = .50 P(D/M1) = .03 P(M2) = .30 P(D/M2) = .04 P(M3) = .20 P(D/M3) = .05 Solución:

48. Por teorema de Bayes se tiene: La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54% Continuación: