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d 34. d 12. d 56. ?. d 12 = ca. 60km d 34 = ca. 61km d 56 = ca. 66km . Kalifornien. Abb.2 Ozonwerte in Kalifornien Quelle: ArcGIS (Beispieldatensatz). Geostatistik. 2 Kriging. Inhaltsübersicht dieses Vortrags:. I. Einstieg in Kriging was ist Kriging

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  1. d34 d12 d56 ? d12 = ca. 60km d34 = ca. 61km d56 = ca. 66km Kalifornien Abb.2 Ozonwerte in Kalifornien Quelle: ArcGIS (Beispieldatensatz) Mathias Pennekamp ~ Kriging

  2. Geostatistik 2 Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging

  3. Inhaltsübersicht dieses Vortrags: I. Einstieg in Kriging • was ist Kriging • Rückblick auf deterministische Verfahren • Ziel des Krigings II. Signalbehandlung • Statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • ArcInfo Mathias Pennekamp ~ Kriging

  4. Der Name: „Kriging“ I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Kriging (1) • Benannt nach D. G. Krige : • Bergbauingenieur, Südafrika Kriging (2) • Oberbegriff für stochastische Interpolationsverfahren • seit Anfang der 60er • entwickelt durch G. Matheron, Frankreich • für geodätische Fragestellungen durch Krarup und Moritz über Kovarianzfunktionen weiterentwickelt (um 1969) Man unterscheidet Kriging von den deterministischen Verfahren. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  5. Rückblick: deterministische Verfahren • Globale Methoden (z.B. Regression) • Lokale Methoden (z.B. IDW, nearest neighbours) I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Grundsätze: • Bestimmung von Attributwerten [z] an nicht beprobten Stellen (xu,yu) • Flächenhafte Information aus Punktdaten (xi,yi) • Verschiedene Möglichkeiten die Punktdaten (xi,yi) zu berücksichtigen ( Gewichtung) Mathias Pennekamp ~ Kriging

  6. ? ? ? I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren  Bei deterministischen Verfahren wird subjektiv gewichtet. Kriging optimiert die Gewichtung der Punktdaten. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  7. Ziel des Krigings: • Gewichtsoptimierung bei der Attributbestimmung eines Punktes, der nicht beobachtet wurde. • Genauigkeit des geschätzten Attributwertes I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Motivationsbeispiel: Es wird die Ozonbelastung einer Region bestimmt: Ist die aus den Punktdaten prädizierte Fläche jetzt genau genug, um in Bereichen mit kritischen Ozonwerten noch in die Sonne zu gehen. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  8. Approximation [Annäherung] der Beobachtung [ l ] durch eine Funktion unter Minimierung der Verbesserungen [ v ]. v Die Verbesserungen [v] werden in ein lokales Signal [s] und ein normalverteiltes Rauschen [n] aufgespaltet. II. Das Signal I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Statistik: Deterministisches Modell: l + v = f(x) oder l = f(x) + v bzw. l + v = Ax Neu: Stochastisches Signal: s Formel: l = f(x) + s + n Mathias Pennekamp ~ Kriging

  9. Abb. 1 Geostatistik-Modell Quelle: Prof. Dr. W.-D. Schuh Der Attributwert einer Zufalls-variablen wird mit z bezeichnet: z(x) = f (x) + s + n Unterschied von z(x) und l: l ... Beobachtung z(x) ... Attributwert auch für unbeprobte Stellen Mathias Pennekamp ~ Kriging

  10. II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe l = f(x) +s + n E { si } = si E { s} = 0 I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Der Erwartungswert [ E ]: • Der Erwartungswert der Summe aller Signale über das Gebiet ist null • E { s} = 0 vgl. E {  v } = 0 • Lokal jedoch existiert ein Erwartungswert für das Signal • E { si } = si Mathias Pennekamp ~ Kriging

  11. l = f(x) +s + n P5 P1 P6 P2 P3 P4 II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Lokale Betrachtung des Signals: • Idee 1: Die Beobachtungen l benachbarter Punkte sind ähnlich • Korrelationen (Abhängigkeit) zwischen den benachbarten Punkten Pi(xi,yi) • Idee 2: Je größer der Punktabstand, desto geringer die Ähnlichkeit der Beobachtungen  Distanzabhängigkeit Mathias Pennekamp ~ Kriging

  12. l = f(x) +s + n z3 z1 z4 P3 d34 z2 P4 P1 d12 P2 II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Stationarität: • Idee 3: Die Lage der Punkte spielt für die Korrelation keine Rolle, es interessiert nur die Distanz  Stationarität In Pi wird zi beobachtet: Stationarität heißt, wenn d12 = d34  E{ z12 } = E{ z34 } und ist eine Voraussetzung für Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging

  13. Definition:(d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ² (d) ... Semivarianz für die Distanz d z(P) ... Attributwert im Punkt P(x,y) z(P+d) ... Attributwert in einem Punkt, der um d von P(x,y) entfernt ist Verknüpfung von Distanz und Signal (1) • - Semivarianz - I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • Problem: • Die Semivarianz muss für alle Punkte des Datensatzes und für alle Distanzen bestimmt werden. • [Komplexität] = O(n²) ; • n ... Anzahl der Punkte Vereinfachung: Bildung von Entfernungs-klassen: Bsp.: 0 ... 40km 40 ... 80km 80 ... Mathias Pennekamp ~ Kriging

  14. Verknüpfung von Distanz und Signal (2) • - Entfernungsklassen (Bsp.) - I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • Einordnen der Distanzen zwischen den Punkten in die zugehörige Klasse • 42, 44, 49, 51, 57, 67, 71  40 - 80 • Berechnung des arithmetischen Mittels von allen Distanzen in einer Klasse • 54,43 • Bestimmung der Semivarianzen zwischen allen Punkten in der Klasse • 6+5+4+3+2+1 = 21 Semivarianzen • Berechnung der mittleren Semivarianz einer Entfernungsklasse • eine Semivarianz pro Entfernungsklasse Mathias Pennekamp ~ Kriging

  15. z1 z2 (d) P1  (d12) d12 P2 d12 d  (d12) = ½ {z1–z2} ² Verknüpfung von Distanz und Signal (3) • - Semivariogramm - I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Ein Semivariogramm ist ein Diagramm, bei dem Semivarianz und Distanz gegeneinander aufgetragen wird. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  16. (d) ? d d Empirisches Semivariogramm I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Problem (u.a.): - ... - nur punkthafte Information Lösung (u.a.): Theoretisches Semivariogramm - Approximation der Punkte durch eine Funktion Mathias Pennekamp ~ Kriging

  17. III. Kriging I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Idee: Optimierung der Gewichte mit Hilfe des Semivariogramms Vorteil: Genauigkeit der geschätzten Fläche ist bestimmbar. Größen des Semivariogramms sind Nugget, Range und Sill. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  18. Analysen im Semivariogramm I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • Nugget ist ein Maß für Streuung des Signals im Nahbereich (Messfehler): • Semivarianz für d = 0: (d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ² (d) = 0 • Range gibt an, wie weit die Punkte korrelieren: • Bestimmung der Größe der Nachbarschaft, dessen Punkte ich zur Interpolation verwende. • Sill gibt das Maximum des Semivariogramms an. Sie ist ein Maß für die Varianz der beobachteten Attributwerte. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  19. ? Range Beispiel zur Bestimmung der optimalen Gewichte: I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • geg.: Punktdatensatz • ges.: Attributwert an einem unbeprobten Ort 1) Bestimmung der Distanzen zwischen den Punkten • 2) Bestimmung der Semivarianzen für alle Distanzen [ij] • 3) Aufstellen einer Matrix, die diese Semivarianzen enthält • 4) Bestimmung der optimalen Gewichte mit dem Kriging-Schätzer Zu 1) Im Normalfall  Entfernungsklassen berücksichtigen Zu 2) Semivarianzen aus dem Semivariogramm bestimmen Mathias Pennekamp ~ Kriging

  20. 11 . . .16 1 1 10 : : : : : 61 . . .66 1 * 6 = 60 1 . . . 1 0 m 1 ? 5 6 4 0 1 3 2 Zu 3) Matrix der Semivarianzen I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Semivarianz für die Punkte 1 und 6 Zu 4)Die zu berechnenden, optimalen Gewichte sind 1- 6 .: Lösung: z0 = 1*l1 + 2*l2 + ... + 6*l6 Warum ?  Ausarbeitung Mathias Pennekamp ~ Kriging

  21. s l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.1 Simple Kriging 1.1 Simple Kriging Der Trend f(x) wird beim Simple Kriging konstant gesetzt, d.h. man setzt den globalen Mittelwert als Trend ein: f (x) =  Mathias Pennekamp ~ Kriging

  22. l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.2 Ordinary Kriging Der Trend f(x) wird beim Ordinary Kriging durch eine Funktion (z.B. Polynom 3. Grades) global approximiert und vorm Kriging eliminiert. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  23. l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.3 Universal Kriging Der Trend f(x) wird wie beim Ordinary Kriging eliminiert, mit dem Unterschied, dass lokale Trends (Signal) berücksichtigt werden können. Möglich- keit der iterativen Trendbestimmung: -Parameterschätzung -verbleibendes Signal liefert Abhängigkeiten -Iterationsprozess möglich mit neuen Parametern Mathias Pennekamp ~ Kriging

  24. l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 2. Indicator Kriging Entwirft eine Karte, die angibt mit welcher Wahrscheinlichkeit ein wähl- barer Schwellenwert (Threshold), wie z.B. ein kritischer Ozonwert erreicht wird. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  25. l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 5. Co-Kriging Co-Kriging benutzt zur Interpolation der Fläche einen zweiten Datensatz eines Attributs (z.B.Cd-Belastung), welches sich ähnlich zum ersten Datensatz (z.B. Pb-Belastung) verhält. Vorteil: Schwach beprobte Stellen können effizienter geschätzt werden. [Multivariates Kriging] Mathias Pennekamp ~ Kriging

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