Telproblemen overzichtelijk weergeven

1. Telproblemen overzichtelijk weergeven • boomdiagram • wegendiagram • rooster maken • alle mogelijkheden systematisch uit schrijven 1.1

2. Boomdiagram Bij een Boomdiagram schrijf je systematisch op welke mogelijkheden er zijn bij het uitvoeren van een ´experiment´. We voeren het volgende experiment uit: Het bestellen van een menu. Een restaurant heeft 3 verschillende voorgerechten, 5 hoofdgerechten en 3 desserts. Hoeveel verschillende menu’s kun je samenstellen? Dit gaan we schematisch uitschrijven in een boomdiagram.

3. Het boomdiagram Vb. aan de hand van het menu Wat kies je eerst? Uit 3 voorgerechten Welke keuzes heb je? Wat kies je vervolgens? Welke keuzes heb je nu? Uit 5 hoofdgerechten Wat kies je nu? Uit 3 nagerechten In totaal zijn er 45 verschillende menu’s te bestellen. Dit kun je uitrekenen door alle takken te tellen of de vertakkingen te vermenigvuldigen

4. Hoe maak je een boomdiagram ? • 1 zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken uit het beginpunt • 2 zet de keuzemogelijkheden langs de takken • 3 zet de volgorde achter de laatste takken 1.1

5. voorbeeld:Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets 1e set 2e set 3e set N-N N wint N wint N-G-N N wint G wint N-G-G N-G-G G wint geef aan hoe G in 3 sets wint N wint G-N-N N wint G wint G-N-G G-N-G G wint G wint G-G 1.1

6. Wegendiagram Een boomdiagram kan erg groot en onoverzichtelijk worden. Dan kun je beter gebruik maken van een wegendiagram. We kijken weer naar het restaurant. Dit kunnen we ook als volgt weer geven: Tweede keus Derde keus Eerste keus Aantal keuzes Aantal keuzes Aantal keuzes 3 x 5 x 3 = 45

7. Wegendiagram kip soep ham ijs ∙ ∙ ∙ ∙ pizza cocktail meloen schnitzel 2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden vermenigvuldigingsregel x 2 x 4 2 = 16 1.1

8. Rooster De som van de ogen bij het gooien van twee dobbelstenen. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

9. Systematisch de mogelijkheden noteren Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien. 1112 1121 1211 2111 1.1

10. halve competitie Je speelt maar 1x tegen elkaar. vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden ? hele competitie Je speelt 2x tegen elkaar. vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams 4 x 3 = 12 wedstrijden ? je speelt niet tegen jezelf A B C D A B C D A X A-B A-C A-D A X A-B A-C A-D B X X B-C B-D B B-A X B-C B-D C X X X C-D C C-A C-B X C-D D X X X X D D-A D-B D-C X 6 wedstrijden 12 wedstrijden 1.1

11. opgave 7 a 4x b 18x c 3x

12. opgave 11 76 – 6 = 480 - 70 = 512 - 32 = alcohol tech-nische staat

13. De vermenigvuldigingsregel • Een gecombineerde handeling die bestaat uit 1 handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd 2 en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd 3 en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd • kan op p × q × r manieren worden uitgevoerd. 1.2

14. De vermenigvuldigingsregel of de somregel • Kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren, • dan kan : 1 handeling I EN handeling II op p × q manieren 2 handeling I OF handeling II op p + q manieren. 1.2

15. Herhaling • Het is bij telproblemen belangrijk je af te vragen of herhalingen zijn toegestaan. • zonder herhaling • een bestuur kiezen • met herhaling • het aantal mogelijke nummerborden 1.2

16. Zonder herhaling • Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris. • Het aantal manieren is • aantal = 5 × 4 = 20 eerst de voorzitter: keuze uit 5 personen dan de secretaris: keuze uit 4 personen 1.2

17. Met herhaling In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters, hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan. Het aantal mogelijke nummerborden is aantal = 10 × 10 × 21 × 21 × 21 × 21 = 19.448.100 10 cijfers voor de eerste plaats 10 cijfers voor de tweede plaats 26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats 26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats enz. 1.2

18. Tellen met en zonder terugleggen Een cijfer slot openen op de gok is een gebeurtenis waarbij je te maken hebt met een gebeurtenis met teruglegging. Voor elke ring heb je immers telkens 10 cijfers die je mag gebruiken ( Je telt met terug legging ) Hoeveel cijfer “combinaties” zijn er bij een cijferslot die uit drie ringen bestaat? Dat zijn er maar 10 x 10 x 10 = 103 = 1000 Hoe zit dat met de pin-code van je bankpas? Hoeveel mensen hebben er eigenlijk een pin-pas? ! ? ! ?

19. opgave 22 a • aantal = 225 = 33.554.432 • b aantal velletjes = 225 : 100 ≈ 335.544 • 1 velletje = 0,1 mm. • 100 velletjes = 1 cm. • dus stapel ≈ 335.544 : 100 ≈ 3355 cm. ≈ 34 m. • c aantal = 29 = 512

20. opgave 23 15 meisjes en 12 jongens  27 leerlingen 3 leerlingen  1 (muziek) + 1 (drank) + 1 (hapjes) één meisje voor de muziek  15 verder komt het er niet op aan  26 × 25 aantal = 15 × 26 × 25 = 9750 b één meisje voor de muziek  15 2 jongens voor de drank+hapjes  12 × 11 aantal = 15 × 12 × 11 = 1980 c m m j - m j m - j m j - j j m 15×14×12 + 15×12×14 + 12×15×11 + 12×11×15 aantal = 9000

21. opgave 24 3j + 4m  3(psy) + 2(eco) + 1(wis) + 1(fra)  totaal = 7 studenten a eerst de 4 meisjes dan de 3 jongens meisjes  4 × 3 × 2 × 1 jongens  3 × 2 × 1 aantal = 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 144 b jongens en meisjes om en om het gesprek m j m j m j m 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 aantal = 144 c eerst de student Frans  1 de rest maakt niet uit  6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 aantal = 1 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 d de 2 studenten economie het laatst zijn  2 × 1 de rest maakt niet uit  5 × 4 × 3 × 2 × 1 aantal = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 240 e eerste en laatste student psychologie  3 × 1 OF eerste en laatste student economie  2 × 1 aantal = 3 × 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 960

22. Voorbeeld opgave a 1e leerling een jongen  14 2e leerling meisje(17)  5 aantal = 14 × 5 = 70 b één van de twee 16 jaar is 16,niet16 of niet16,16 aantal = 5 × 26 + 26 × 5 = 260 c er een jongen en een meisje bij is j m of m j aantal = 14 × 17 + 17 × 14 = 476 d de leerlingen even oud zijn 15,15 of 16,16 of 17,17 aantal = 19 × 18 + 5 × 4 + 7 × 6 = 404 e de 1e leerling ouder is dan de 2e leerling 16,15 of 17,16 of 17,15 aantal = 5 × 19 + 7 × 5 + 7 × 19 = 263

23. Permutaties en faculteiten een ander woord voor rangschikking is permutatie bij een permutatie mogen geen herhalingen optreden het aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingen van drie dingen die je uit 8 kiest, is 8 × 7 × 6 het aantal permutaties van 4 uit 9 is 9 × 8 × 7 × 6 het aantal permutaties van 9 uit 9 is 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 de notatie voor dit product is 9! spreek uit : 9 faculteit kortweg : het aantal permutaties van 9 dingen is 9! het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n! n ! = n× (n -1) × (n -2) × (n -3) × …… × 4 × 3 × 2 × 1 GR het aantal permutaties van 6 uit 10 is optie nPr 10 nPr 6 = 151200 1.3

24. opgave 35 een volleybalteam bestaat uit 9 spelers a de fotograaf zet de spelers op een rij, hoeveel rijen zijn er aantal = 9! = 362 880 b er wordt een aanvoerder en een reserve-aanvoerder gekozen aantal = 9 × 8 = 72 c shirts met de rugnummers 1 tot en met 6 aantal = 9 nPr 6 = 60 480 9 – MATH – PRB – nPr - ENTER – 6 of 9 – MATH – PRB – 2 – 6

25. Rangschikking Het aantal rangschikkingen van 5 stripboeken en 3 romans. Je kunt 5 stripboeken en 3 romans op 8! manieren op een boekenplank rangschikken 4! × 5! manieren rangschikken als de stripboeken naast elkaar moeten staan 2! × 5! × 3! manieren rangschikken als de stripboeken en ook de romans naast elkaar moeten staan • beschouw de stripboeken als één groep • je hebt dan 4 dingen (3 romans en 1 groep stripboeken) die je op 4! manieren kunt rangschikken • binnen de groep van de stripboeken zijn er telkens 5! rangschikkingen • in totaal heb je 4! × 5! rangschikkingen 1.3

26. opgave 38 3 klassieke, 4 romantische en 2 hedendaagse stukken a klassiek stuk begint en een hedendaags stuk eindigt kies eerst een klassiek stuk en dan een hedendaags stuk aantal = 3 × 2 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 × 7! = 30 240 b de romantische stukken direct achter elkaar spelen reken eerst 4 romantische stukken als één aantal = 6! × 4! = 17 280 c romantische stukken om en om spelen, je begint met niet r. r r r r r r r r r aantal = 5 × 4 × 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 5! × 4! = 2880 d de stukken van elk genre achter elkaar spelen [k,k,k] [r,r,r,r] [h,h] kan op 3! manieren aantal = 3! × 4! × 2! × 3! = 1728 klassiek hedendaags 7 stukken blijven over  7! romantisch 1r + 3k + 2h niet r romantisch

27. Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn • het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn • (en de rest verschillend is) is • zo kun je de letters van het woord ADRIANA op • manieren rangschikken • de letters van het woord ALESSANRA kun je op • manieren rangschikken • immers je hebt in totaal 9 letters : • de letter A komt 3 keer voor en de letter S komt 2 keer voor n!p! 7! 3! 9! 3! × 2! 1.3

28. opgave 41 aantal = = 4200 10! 4! × 3! × 3! een signaal bestaat uit 10 vlaggen:4 rode, 3 blauwe en 3 witte vlaggen

29. Uit een groep van 7 mensen kies ik een bestuur met een voorzitter, penningmeester en secretaris. Hoeveel verschillende besturen kunnen er samengesteld worden? Permutaties en Combinaties Stel jezelf weer de volgende vraag: Uit hoeveel mensen kun je kiezen als voorzitter? 7 6 5 Uit hoeveel mensen kun je nu kiezen als penningmeester en hoeveel als secretaris ? Je hebt nu 7 x 6 x 5 = 210 verschillende permutaties. Het maakt bij een permutatie uit wie er op welke plaats staat.

30. Bij het kiezen van een groep van drie mensen uit zeven krijg ik ik 210 permutaties. Combinaties Op hoeveel manieren kan ik drie mensen neer zetten? Dit zijn 3 x 2 x 1 = 6 manieren. ABC BAC CAB ACB BCA CBA Van de 210 verschillende permutaties zijn er nu elke keer 6 permutaties van dezelfde 3 mensen. Als de plaats van een gekozen persoon of ding er niet toe doet moeten de verschillende permutaties van eenzelfde groepje niet meerdere keren meegeteld worden. Er zijn dan maar 210 / 6 = 35 verschillende combinaties Bij een combinatie is de volgorde van de gekozen permutaties onbelangrijk

31. Combinaties • is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7 • het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als • spreek uit: 7 boven 4 • het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen • uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7 4 7 4 7 – MATH – PRB – nCr - ENTER – 4 of 7 – MATH – PRB – 3 – 4 1.4

32. Aantallen combinaties vermenigvuldigen en optellen uit klas 4 vwo A wordt een comité van 5 leerlingen gevormd het aantal mogelijke comités met 3 jongens is × = 29 920 3 jongens EN 2 meisjes, dus VERMENIGVULDIGEN minstens 4 jongens is × + × = 9207 4 jongens OF 5 jongens, dus OPTELLEN 2 van de 17 meisjes 3 van de 12 jongens 17 2 12 3 5 jongens + 0 meisjes 4 jongens + 1 meisje 12 4 17 1 12 5 17 0 1.4

33. Schema op hoeveel manieren kun je 5 dingen kiezen uit 8 dingen volgorde van belang ? nee aantal = ‘8 boven 5’ ja herhaling toegestaan ? nee ja aantal = 8x7x6x5x4 aantal = 8x8x8x8x8 Combinaties Permutaties Mogelijkheden 1.3

34. Wat is de naam van dit voorwerp ? ? ! ? 1.3

35. voorbeeld 1 Op een school bestaat de feestcommissie uit 6 jongens en 9 meisjesna elk feest maken 6 leden van de feestcommissie de zaal schoon. a 3 van de 6 jongens en 3 van de 9 meisjes aantal = × = 1680 b 6 van de 6 jongens aantal = = 1 c 0 meisjes en 6 jongens of 1 meisje en 5 jongens aantal = + × = 55 d 5 jongens en 1 meisje of 6 jongens aantal = × + = 55 6 3 6 6 9 3 9 1 6 5 6 6 6 6 6 5 9 1

36. voorbeeld 2 per uur 60 artikelen van de lopende band bij de eindcontrole een steekproef van 4 exemplaren a Hoeveel steekproeven zijn er elke keer mogelijk? aantal = = 487 635 b 6 defecte dus 54 geen defecte exemplaren aantal = = 316 251 c 2 defecte en 2 geen defecte of 3 defecte en 1 geen defect of 4 defecte exemplaren aantal = x + x + = 22 560 60 4 54 4 6 2 54 2 6 3 54 1 6 4

37. opgave 53 a 3 groottes en 4 bodems en 2 vleessoorten en 3 groentesoorten aantal = 3 × 4 ×× = 2520 b medium en 4 bodems en (2vleessoort of 3vleessoort of 4vleessoort) aantal = 1 × 4 × + + = 44 c 3 groottes en 4 bodems en (4groent of 5groent of 6groent of 7groent) aantal = 3 × 4 × + + + = 768 4 2 7 3 4 3 4 4 4 2 7 4 7 5 7 6 7 7

38. Rijtjes bestaande uit A’s en B’s het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt : 114 117 • dus er zijn = = 165 manieren • er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het volgende hokje te vullen, enzovoort • totaal zijn er 2 × 2 × 2 × …… × 2 = 211 = 2048 manieren • het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is en ook • het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211 114 117 1.5

39. voorbeeld Een bedrijf voorziet zijn artikelen van een code door in een rijtje van 6 vierkantjes er 2 zwart te maken. v.b. a 2 van de 6 vierkantjes zijn zwart aantal = = 15 b eerste en het laatste vierkantje zwart aantal = 1 c de code verandert niet bij of of dus bij 3 rijtjes 6 2

40. opgave 65 Verlichting met 19 lampjes die onafhankelijk van elkaar voortdurend aan en uit gaan. v.b. a aantal = 219 = 524 288 b 5 van de 19 lampjes branden aantal = = 11 628 minder dan 3 lampjes  0 of 1 of 2 lampjes branden aantal = + + = 191 in ieder geval het 1e , middelste en het laatste lampje brandt voor de 16 overige lampjes zijn er steeds 2 mogelijkheden : aan of uit aantal = 216 = 65 536 195 19 0 191 192

41. Routes in een rooster Hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B. Van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande 1 N en 2 O’s dat zijn = 3 mogelijkheden Van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s dat zijn = 10 mogelijkheden Het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus × = 3 × 10 = 30 C ∙  Noord ∙ B 3 1 ∙ A  Oost 5 2 van A naar B EN van B naar C dus vermenigvuldigen 3 1 5 2 1.5

42. Algemeen B ∙ • het aantal routes zonder omwegen van A naar B in het rooster hiernaast • is • afspraak: • In deze paragraaf bedoelen we met routes in een rooster altijd routes zonder omwegen, we zetten dat er meestal niet bij. 8 3 ∙ A 1.5

43. Onvolledige roosters. Bij onvolledige roosters zal er bij elk kruispunt het aantal mogelijkheden om er te komen. Je kunt het niet berekenen met n r 64 184 8 28 64 120 8 20 36 56 8 12 16 20 4 1 2 3 4 4 4 4 4 1 1 0 1

44. opgave 71 rooster van 12 bij 3 1 rooster van 6 bij 4 rooster van 8 bij 4 rooster van 8 bij 4 12 4 15 3 a aantal = × = 225 225 b aantal = × 1 × = 103 950 12 4 10 4

45. opgave 72 a bij een voetbalwedstrijd is de eindstand 2 – 4 geef het scoreverloop in een rooster aan b aantal = = 15 c ruststand 3 – 1  eindstand 5 - 4 ∙ 4 ∙ 3 6 2 ∙ ∙ 2 ∙ 1 ∙ (5, 4) ∙ 0 2 1 (3, 1) ∙ 5 3 4 1 aantal = × = 4 × 10 = 40 ∙ (0, 0)

46. Opgave 76 B vervang de cirkelbogen door lijnstukjes je loopt dan in het volgende rooster om van A naar B te komen moet je via P of via Q dus APB of AQB aantal = × + × aantal = 3 × 3 + 3 × 3 = 18 3 1 3 1 3 1 3 1 P Q A

47. De driehoek van Pascal • in de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan • elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen • in de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen • de som van de getallen in de vierde rij is 24 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 , , , en 1 = 20 rij 0 1 rij 1 1 1 2 = 21 rij 2 4 = 22 1 2 1 rij 3 1 3 3 1 8 = 23 rij 4 1 4 6 4 1 16 = 24 1.5

48. 1.5