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分类讨论. 配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等. 数学一般方法. 分析法、综合法、归纳法、反证法等. 数学思想和方法. 逻辑学中的方法 ( 或思维方法 ). 函数和方程思想、 分类讨论思想 、数形结合思想、化归思想等. 数学思想方法. 一 . 数学思想方法的三个层次 :. 分类讨论思想. 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。
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配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等 数学一般方法 分析法、综合法、归纳法、反证法等 数学思想和方法 逻辑学中的方法(或思维方法) 函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等 数学思想方法 一. 数学思想方法的三个层次:
分类讨论思想 • 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。 • 分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。
分类讨论思想 • 分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。 • 分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
-5=6k+b -2=-3k+b -5=-3k+b -2=6k+b 当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（- ，0）； 当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0. 解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（ ，0） 一.与概念有关的分类 • 1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式。 解析式为 Y= x-4, 或 y=- x-3 2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。
探索题1: 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个? Ｄ 150° ⌒ Ｈ a Ｏ Ｃ Ｅ Ｆ
A 110° 50° 20° B C 探索题２: 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
C C C 110° 65° 35° 35° 20° 20° 65° 50° B A B A A C A B 110° C 20° 20° 50° 50° B A 50° 20° B A B C C 80° 80° 20° B A （分类讨论） 1、对∠A进行讨论 2、对∠B进行讨论 3、对∠C进行讨论
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在O上，且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。 C B A P O Q （1）如上图， 当点P在线段OA上时， ∵∠OQC=∠OCP=x, ∴∠QPO= （1800－∠OQP）= （1800－x) 又∠QPO=∠OCP+∠COP， (1800－x)=x+300, 解得x=400, 即∠OCP=400 （2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在线段OB上。 解：∵OQ=OC，OQ=QP ∴∠OQC=∠OCQ，∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x0 , 则有：
（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时， ∵∠OQC=∠OCQ=1800－ｘ， ∴∠OPQ= （1800－x)= x. 又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴1800－x=x+300 解得x=1000 即∠OCP=1000 Q C A P B O （4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时， ∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP, ∴∠QPO= ∠OQC= x, 又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程30=x+ x, 得到x=200即∠OCP=200 C Q P O B A
C A 5。△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形， 若BC=2 cm,则角A的度数是。 B C B C A B A A B A C B C C 4。在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是 、 ， 则∠BAC的度数是。 B A C 6。在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
7..半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？7..半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？
8、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？8、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？
E A D F A D A D F 图3 图2 C B E E 图1 C B C B F 解：分三种情况计算： ⑴当AE=AF=5厘米时（图一） ⑵当AE=EF=5厘米时（图2） ∴ ⑶当AE=EF=5厘米时（图3） ∴
C D Q B A P 三.与相似三角形有关的分类 9。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC的面积； 提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t为何值时，以点Q、 A、P为顶点的三角形与ABC相似？
（2）在△QAC中，S= QA·DC= （ 6－t)·12=36－６ｔ 在△APC中，S= AP·BC= · ２ｔ·６＝６ｔ QAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2) 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中， 四边形QAPC的面积始终保持不变。 （3）根据题意，可分为两种情况来研究 在矩形ABCD中：①当 = 时，△QAP∽△ABC，则 = ， 解得t= =1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。 ②当 = 时，△PAQ∽△ABC，则 = ， 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。 C D Q B A P 解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t,QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）
ｙ Ｏ Ｘ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ 10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴交于点Ｄ。 （１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标； （２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限），使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相似，求点Ｐ的坐标。
(2) 当 △ PDB ∽△ BOC时， = 有Ｐ（ｍ， － ） P Ｏ Ｘ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ 解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2） 当 △ PDB ∽ △ COB时， 有P（m, 2m－2）；
11. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC， AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求 的正切值； （3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ (4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。
（2）如图2所示，由 得： Ａ Ｄ Ｐ Ｃ Ｂ Ｑ 解：（1）如图1所示，过点P作 ， 垂足为M，则四边形PDCM为矩形。 图１ Ｅ Ｏ 图２
