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§4.4 牛顿插值 （ Newton’s Interpolation ）

§4.4 牛顿插值 （ Newton’s Interpolation ）. Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 l i ( x ) 都需要重新计算。. 能否重新在 P n 中寻找新的 基函数 ？. 希望每加一个节点时， 只附加一项 上去即可。. 本讲主要内容 :. ● Newton 插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点 Newton 插值公式. 基函数.

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§4.4 牛顿插值 （ Newton’s Interpolation ）

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  1. §4.4 牛顿插值 （Newton’s Interpolation ） Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x) 都需要重新计算。 能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？ 希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。

  2. 本讲主要内容: ●Newton插值多项式的构造 ●差商的定义及性质 ●差分的定义及性质 ●等距节点Newton插值公式

  3. 基函数 ｛1,x - x0,(x - x0)(x - x1)，…，(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)｝是否构成Pn的一组基函数？ 利用插值条件Nn(xj)=f(xj), j=0,1，…，n代入上式，得关于Ak (k=0,1，…，n)的线性代数方程组

  4. 当xj 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解

  5. It is not a difficult thing for a mathematician. We can use notation How complex the expression are!

  6. 称为在xi,xj处的1阶差商  差商(亦称均差)/* divided difference */ 称为在xi,xj,xk处的2阶差商 k阶差商：

  7. 利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数 Ai :

  8. 因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。

  9. 差商表 . xkf(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 …… n 阶差商

  10. 例1:给定f(x)=lnx的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表 2.分别写出二次、四次Newton插值多项式 解:差商表

  11. N2(x)=0.78846 +0.43505(x-2.20) - 0.087375(x-2.20) (x-2.40） N4(x)=0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)

  12. 性质1 (差商与函数值的关系) 性质2 （对称性）：差商的值与结点排列顺序无关 性质3(差商与导数的关系) 差商具有如下性质

  13. 1 2 n1 + (x x0)  + … … + (x x0)…(x xn1)  1 2 n1 证明： … … … … Nn(x) Ai = f [ x0, …, xi ] Rn(x)

  14. 由插值多项式的唯一性可知 Nn(x)  Ln(x)， 故其余项也相同，即 定理：Newton插值多项式的余项为 Rn（x）= f[x0 ,x1,… xn，x] n+1（x） 其中n+1 (x）=(x - x0)(x - x1 )(x - x2 )…(x - xn)

  15. 当节点等距分布时: 4.4.3 等距节点的Newton插值公式与差分 一阶向前差分 /* forward difference */ 一阶向后差分 /* backward difference */ 一阶中心差分 /* centered difference */

  16. 一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶向前和向后差分分别为一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶向前和向后差分分别为

  17. 计算各阶差分可按如下差分表进行.

  18. 性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函数值的线性组合: 性质2(前差与后差的关系): 性质3(多项式的差分) 若f(x)∈Pn(n次多项式类), 则 差分具有如下性质 其中

  19. 性质4(差分与差商的关系): 性质5(差分与导数的关系）

  20. 利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为 (11) 称公式(11)为Newton向前差分插值公式,其余项为 (12)

  21. 如果将Newton插值公式改为按节点xn,xn-1,…,x0的次序排列的Newton插值公式,即如果将Newton插值公式改为按节点xn,xn-1,…,x0的次序排列的Newton插值公式,即 (13) 令x=xn-th, 则当x0≤x≤xn时,0≤t≤n.利用差商与向后差分的关系, 式(13)可简化为

  22. (14) 称式(14)为Newton向后差分插值公式 其余项为 注：一般当 x靠近 x0 时用前插，靠近 xn 时用后插，故两种公式亦称为表初公式和表末公式。

  23. 例 给定f(x)在等距节点上的函数值表如下: xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi) 1.5 1.8 2.2 2.8 分别用Newton向前和向后差分公式求f(0.5)及f(0.9)的近似值. 解 先构造向前差分表如下: xifi△fi△2fi △3fi 0.4 1.5 0.6 1.8 0.3 0.8 2.2 0.4 0.1 1.0 2.8 0.6 0.2 0.1 x0=0.4, h=0.2, x3=1.0. 分别用差分表中对角线上的值和最后一行的值,得Newton向前和向后插值公式如下:

  24. (1) (2) 当 x=0.5时,用公式(1),这时t=(x-x0)/h=0.5. 将t=0.5代入(1),得 f(0.5)≈N3(0.5)=1.64375. 当x=0.9时, 用公式(2), 这时t=(x3-x)/h=0.5. 将t=0.5代入(2), 得 f (0.9)≈N3(0.9)=2.46875.

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