Jacques Herbrand

1. Cássio Cristo Dawyson Guerra Matheu Santos Jacques Herbrand Geralmente aqueles que sabem pouco falam muito e aqueles que sabem muito falam pouco. Jean Jacques Rousseau

2. Interpretação de Herbrand de S • S − um conjunto de cláusulas • H − o Universo de Herbrand de S • I − uma interpretação de S sobre H • I é uma Interpretação de Herbrand de S se satisfaz às seguintes condições: 1. I mapeia todas as constantes de S nelas próprias. 2. Seja f um símbolo funcional n-ário e sejam h1, h2, .., hn elementos de H. Em I, à f é atribuída uma função que mapeia (h1, h2, .., hn) − um elemento de Hn − a f(h1,h2,..,hn) − um elemento de H.

3. Interpretação de Herbrand de S Não existe restrição com relação à atribuição para cada símbolo predicado em S, de maneira que diferentes Interpretações de Herbrand podem existir dependendo de tais diferentes atribuições. Desta forma, uma Interpretação de Herbrand I de um conjunto de cláusulas S é qualquer subconjunto de BS (a Base de Herbrand). Uma Interpretação de Herbrand é desta forma uma livre atribuição de valores verdade (verdadeiro ou falso) a todos os átomos da BS.

4. Exemplo

5. Para testar se um conjunto S de cláusulas é insatisfatível, precisa-se considerar somente interpretações sobre o universo Herbrand de S. Se S é falso sob todas as interpretações do universo Herbrand de S, então pode-se concluir que S é insatisfatível

6. Implementação do Teorema de Herbrand • O teorema de Herbrand sugere um procedimento de refutação. Isto é, dado um conjunto insatisfatível S de cláusulas para provar, se há um procedimento mecânico que pode sucessivamente gerar os conjuntos S1', ..., Sn', ... de instâncias base de cláusulas em S e sucessivamente testar se eles são insatisfatíveis, então como garantido pelo Teorema de Herbrand, este procedimento pode detectar um número finito N tal que SN' é insatisfatível.

7. Gilmore em 1960 desenvolveu um programa de computador que gerava, sucessivamente, os conjuntos S0', S1', ..., onde Si' é o conjunto de todos as instâncias base obtidas pela troca das variáveis em S por constantes no conjunto de constantes i-nível Hi de S. Uma vez que cada Si' é uma conjunção de cláusulas base, pode-se usar qualquer método disponível na lógica proposicional para checar sua insatisfabilidade

8. Gilmore usou o método multiplicativo. Isto é, quando cada Si' é produzido, Si' é transformado em uma forma normal disjuntiva. Qualquer conjunção na forma normal disjuntiva que contém um par complementar é removida. Se algum conjunto Si' for vazio, então Si' é insatisfatível e a prova é encontrada

9. Exemplo I • Considere S = {P(x), ~P(a)}. • H0 = {a} • S0' = P(a) ^ ~P(a) = € • Dessa forma S é provado ser insatisfatível.

10. Exemplo II • Considere S = {P(a), ~P(x) ^ Q(f(x)), ~Q(f(a))}. • H0 = {a}. • S0' = P(a) ^ (~P(a) v Q(f(a))) ^ ~Q(f(a)) • = (P(a) ^ ~P(a) ^ ~Q(f(a))) v (P(a) ^ Q(f(a)) ^ ~Q(f(a))) • = € v € = € • Dessa forma está provado que S é insatisfatível.

11. O método multiplicativo usado por Gilmore é ineficiente como é facilmente visto. Por exemplo, para um pequeno conjunto de 10 cláusulas base com dois literais, há 210conjunções

12. EXEMPLO Seja S = { P( f(x), a, g(y), b) }. Então,a e b, são as constantes e P e g são os símbolos dos predicados...Para resolver pega-se a constante e aplica na fórmula do predicado e forma todas as combinações possíveis da constante. Exemplo: H0 = { a, b}H1 = { a, b, f(a), f(b), g(a), g(b) }H2 = {a,b,f(a),f(b),g(a), g(b),f(f(a)),f(f(b)),f(g(a)),f(g(b)),g(f(a)),g(f(b)), g(g(a)), g(g(b))}

13. Método de Davis e Putnam • Davis e Putnam introduziram um método mais eficiente para testar se um conjunto de cláusulas baixas é insatisfatível. • Seja S um conjunto de cláusulas base. Essencialmente, o método consiste das quatro regras a seguir: • I. Regra Tautológica: Retirar todas as cláusulas base de S que são tautológicas. O restante do conjunto S' é insatisfatível se e somente se S o for.

14. II. Regra do Literal-Único: Se há uma cláusula unitária base L em S, obter S' de S retirando todas aquelas cláusulas base em S contendo L. Se S' é vazia, então S é satisfatível. Caso contrário, obter um conjunto S'' de S' pela retirada de ~L de S'. S'' é insatisfatível se e somente se S o é. Note que se ~L é uma cláusula unitária base, então a cláusula torna-se € quando ~L é retirado da cláusula.

15. II. Regra do Literal-Único: Se há uma cláusula unitária base L em S, obter S' de S retirando todas aquelas cláusulas base em S contendo L. Se S' é vazia, então S é satisfatível. Caso contrário, obter um conjunto S'' de S' pela retirada de ~L de S'. S'' é insatisfatível se e somente se S o é. Note que se ~L é uma cláusula unitária base, então a cláusula torna-se € quando ~L é retirado da cláusula.

16. III. Regra do Literal-Puro: Um literal L em uma cláusula base S é dito ser puro em S se e somente se o literal ~L não aparecer em nenhuma cláusula base em S. Se um literal L é puro em S, retirar todas as cláusulas base contendo L. O restante do conjunto S' é insatisfatível se e somente se S o é.

17. IV. Regra da Separação: Se um conjunto S pode ser colocado na forma (A1Ú L) Ù ... Ù (Am Ú L) Ù (B1Ú ~L) Ù ... Ù (Bn Ú ~L) Ù R, onde Ai, Bi, e R são livres de L e ~L, então obter os conjuntos S1 = A1 Ù ... Ù AmÙ R e S2 = B1Ù ... Ù BnÙ R. S é insatisfatível se e somente se (S1Ú S2) é insatisfatível, isto é, ambos S1 e S2 são insatisfatíveis.

18. Resumo • A base do Teorema de Herbrand é um conjunto formado a partir de símbolos de predicados, que é gerado consecutivamente, verificando-se a insatisfatibilidade dos elementos. Um programa de computador pode implementar a busca dos elementos, pois na prática é muito lenta. Um conjunto de fórmulas será testado de forma recursiva.

19. OBRIGADO !