معادله لژاندر

1. بسم الله الرحمن الرحيم معادله لژاندر

2. معادله لژاندر يكي از دسته توابعي است كه توابع خاص نام گرفته اند. اين توابع جواب هاي بعضي معادلات ديفرانسيل مهم در رياضيات كاربردي هستند كه غالبا توابع مقدماتي نبوده و با يك سري همگرا تعريف مي شوند. معادله ي لژاندر يكي از معادلات مهم است كه در به كره مطرح مي شود. مقدمه: بسياري از مسائل فيزيكي به ويژه در مسائل مقدار مرزي مربوط

3. از جمله مطالب مهمي كه در ادامه به آن اشاره مي كنيم چند جمله اي هاي لژاندر هستند كه خاصيت هاي جالب توجهي دارند و از مهم ترين آن ها خاصيت تعامدي اين چند جمله اي هاست . علت توجه ما به اين چند جمله اي ها كاربرد هاي فراوان آن ها در رياضي فيزيك است .

4. آدرين ماري لژاندر(1752-1833)رياضيدان فرانسوي بود كه از مهم ترين كارهاي او تبديل لژاندر يا بسط لژاندراست كه درمباحث زيادي از فيزيك نظري از جمله در مكانيك كوانتومي كاربرد دارد او طي پژوهش خود راجع به جاذبه گرانش بيضي وارهابا چند جمله اي هايش آشنا شد.

5. معادله ديفرانسيل مرتبه دوم : كه در آن p يك ثابت حقيقي است , معادله لژاندرناميده مي شود.

6. چون توابع p(x) وQ(x) توابع تحليلي در نقطه ي صفر هستند پس نقطه ي صفر يك نقطه ي عادي معادله است و مي توان به روش سري تواني به حل اين معادله در نقطه پرداخت . بدست مي آوريم. جواب هاي عمومي معادله لژاندر: جواب هاي اين معادله را در مجاورت نقطه

7. و معادله ي لژاندر داراي جوابي به شكل

8. است. حداقل برابر 1 پس شعاع همگرايي سري داريم: از معادله , با جانشين كردن سري هاي بالا در معادله ي لژاندر پس از اختصار به فرمول بازگشتي زير مي رسيم:

9. بنابراين ضرايب سري برابرند با به همين ترتيب ضرايب بعدي محاسبه مي شوند.

10. + - + + p ( p 1 ) p 2 ) p ( p 1 )( p 3 ) 2 4 - + x x ...] 2 4 ! - + - - + + p 1 )( p 2 ) ( p 3 )( p 1 )( p 2 )( p 4 ) 3 5 - x x ...] 3 ! 5 ! با قرار دادن اين ضرايب در جواب مفروض خواهيم داشت. ( = y a [ 1 - + 0 ( - + a [ x 1 (1) (2)

11. بنابراين جواب به صورت زير نوشته مي شود كه در آن و دلخواه اند. از فرمول بازگشتي شعاع همگرايي سري ها ي (1) ,(2) را محاسبه مي كنيم و داريم :

12. ولذا هر دو سري براي همگرا هستند . اگر <1│x│ انتخاب يك جواب معادله لژاندر است همين طور اگر شوند آنگاه جواب ديگر معادله است اين دوجواب انتخاب شوند آنگاه و برابر است با : مستقل خطي اند زيرا رونسكي آن ها در نقطه x=0 جواب عمومي معادله لژاندر است. بنابراين

13. توابع لژاندر جوابهاي حاصل از معادله ي لژاندر توابع لژاندر ناميده مي شوند.

14. نظر گرفته در اغلب مسائل كاربردي , عددp يك عددصحيح نامنفي در مي شود. بنا به فرمول بازگشتي مقابل به ازاي و لذا p=n داريم , چند جمله اي هاي لژاندر:

15. درجه p خواهيم پس به ازاي هرp صحيح و نامنفي , يك چند جمله اي يك چندجمله اي درجه p است اگر p زوج باشد آنگاه جواب داشت. يك چند جمله اي درجه p است. p فرد باشد آنگاه جواب و اگر , يعني ضريب جمله ضرايب اين چندجمله اي ها را مي توان برحسب را به صورت زير انتخاب مي كنيم : با بيشترين توان بدست آورد و

16. به شكل فوق آن است كه تمام چند جمله اي هاي لژاندر دليل انتخاب كه بدين ترتيب بدست مي آيند مقدارشان به ازاي x=1 , برابر 1 خواهد بود. با استفاده از رابطه مقابل داريم : (5)

17. خواهيم داشت: (5) با قرار دادن n=p-2 در

18. و به طور كلي : قرار مي دهيم , p=n حال چند جمله اي لژاندر درجه n را با نشان مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم :

19. ها چندجمله اي هاي لژاندر و كه در آن ها يك سري نامحدود است, كه توابع لژاندر نوع دوم ناميده مي شوند و فاصله ي همگرايي (-1,1) مي باشد. [-1,1] وفاصله همگرايي بنابراين جواب عمومي يك معادله لژاندر با p=n به صورت زيراست .

20. به طور مثال براي مقادير n=0,1,2,3,4,5

21. ملاحظه مي كنيد كه مي توان نشان داد كه اين خاصيت براي هر i نامنفي برقرار است . با توجه به مثال هاي داده شده در اسلايد قبل مي توان نمايش هندسي هر يك از آن ها را به صورت زير نشان داد.

23. مثال : نشان دهيد حل : مي دانيم

24. يعني براي n هاي زوج يك تابع زوج و براي nهاي فرد يك تابع فرد مي باشد. در مثال قبل نشان داديم كه

25. تعريف : را در فاصله ي [a,b] متعامد گوييم , يك مجموعه از توابع اگر براي هردو تابع متفاوت از اين مجموعه داشته باشيم قبل از پرداختن به خواص چندجمله اي هاي لژاندر ابتدا به تعريف تعامد و تابع مولد چندجمله اي هاي لژاندر مي پردازيم.

26. تابع مولد چند جمله اي هاي لژاندر : در بسط ماك لوران , ضرايب چندجمله اي هاي لژاندر مي باشند يعني

27. مي دانيم (6) از طرفي حال با توجه به (6) و فرض اينكه و z=t(-2x+t) داريم: اثبات:

28. يعني برابر است با ضريب يعني برابر است با ضريب يعني برابر است با ضريب

29. به فرم زير مي باشد: وبه طور كلي ضريب راحساب كنيد. با استفاده از فرمول تابع مولد مثال :

30. مطلوبست مثال : با استفاده از فرمول تابع مولد به ازاي x=0 داريم در نتيجه

31. خواص چندجمله اي هاي لژاندر اين چند جمله اي ها داراي خواص جالب توجهي هستند و بعضي از اين خواص عبارتند از :

32. مثال:

33. 1- مجموعه چندجمله اي هاي لژاندر در بازه (-1,1) يك مجموعه متعامد هستند بدين معني كه خاصيت تعامد بسط هر تابعي را برحسب چندجمله اي هاي لژاندر امكان پذير مي سازد.

34. 2 ' [ ׳] (7) - = - + ( 1 x ) y p ( p 1 ) y داريم : در با قرار دادن (7) [ ׳] (8) داريم در و (7) [ ׳] اثبات: با توجه به صورت معادله ي لژاندر داريم (9)

35. نتيجه مي شود . و معادله (9) در با ضرب معادله (8) در [ ׳] [ ׳] (10) [ ׳] با انتگرال گيري از طرفين هر يك از روابط فوق نتيجه مي شود. [ ׳] (11)

36. [ ׳] (12) (13)

37. و چون در نتيجه از روابط (13),(12),(11),(10) نتيجه مي شود.

38. حل: با استفاده از تابع مولد داريم (a) (b)

39. 1 1 1 + = m n ¥ ¥ d ( x ) ò å å ò ( p ( x ) p ( x ) d ( x )) t = = m n m 0 n 0 2 - + 1 2 xt t - 1 - 1 و با ضرب (a) در (b) داريم با انتگرال گيري از طرفين رابطه بالا از -1 تا +1 داريم :

40. در نتيجه

41. 2- چندجمله اي هاي ل‍ژاندردر معادله ي بازگشتي زير صدق مي كنند: مي توان همه ي چندجمله ايهاي از اين فرمول با داشتن بدست آورد. لژاندر را

42. را حساب مي كنيم. حل:ابتدا به ازاي n=1 با استفاده از مثال: با توجه به اينكه مي دانيم را حساب كنيد . فرمول بازگشتي سپس به ازاي n=2 را حساب مي كنيم .

43. اثبات: با استفاده از تابع مولد داريم : از طرفين رابطه ي بالا نسبت به t مشتق مي گيريم

44. ضرب مي كنيم طرفين را در

45. با مساوي قرار دادن ضرايب tهاي هم توان داريم :

46. اين فرمول , فرمول رودريك ناميده مي شود . از اين فرمول نيز مي توان چند جمله اي هاي لژاندر را محاسبه نمود. اويلند رودريك يك بانكدار فرانسوي بود , كه در سال 1816 فرمول فوق را كشف كرد, ولي اندكي بعد به سازماندهي علمي جامعه پرداخت و ديگر هرگز به سوي رياضي برنگشت. 3-

47. اثبات : مي دانيم بنابراين واز آن n بار مشتق مي گيريم چون

48. n d n 2 - = ( x 1 ) n d x داريم (a) از طرفي داريم با توجه به (a) و(b) (b)

49. مثال: را محاسبه كنيد. با استفاده از فرمول رودريك

50. سري لژاندر: بسياري از مسائل نظريه پتانسيل به امكان بسط تابع مفروض به صورت يك سري از چند جمله اي هاي لژاندر بستگي دارند. وقتي تابع مفروض خود يك چند جمله اي باشد اين كار همواره ساده است.