Semantic Web Technologies I

2. Semantic Web Technologies I Lehrveranstaltung im WS08/09 PD Dr. Pascal Hitzler M.Sc. Markus Krötzsch Dr. Sebastian Rudolph

3. Logik – Grundlagen Semantic Web Architecture Current research Now standardized

4. Was ist Logik? Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich. Alle Pinguine sind schwarz-weiß. Einige alte TV-Shows sind schwarz-weiß. Einige Pinguine sind alte TV-Shows. • Logik als Argumentation: ✔ Warum? ✖ • Definition für diese Vorlesung:Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen. etymologische Herkunft: griechisch ogosbedeutet „Wort, Rede, Lehre“ (s.a. Faust I…)

5. Warum formal? Automatisierbarkeit! Eine „Rechenmaschine“ für Logik!! G. W. Leibniz (1646-1716):

6. Grundbegriffe der Logik Interpretation Modell Erfüllbarkeit Folgerung Ableitungsregel Term Satz Proposition Formel Domäne Atom Entscheidbarkeit Deduktionskalkül Individuum Semantik Syntax Diskursuniversum Tautologie Modelltheorie Widerspruch

7. Wie funktioniert Logik? Alle Menschen sind sterblich.Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich. Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen. • Was schließen wir woraus? • Beschreibende Grundelemente der Logik nennen wir Sätze.

8. Wie funktioniert Logik? Sätze und Schlussfolgerungen süß rot gelb süß-sauer ² sauer giftig hellgrün grün ² Jede Logik besteht aus einer Menge von Sätzen zusammen mit einer Schlussfolgerungsrelation (entailment relation). Letztere liefert die Semantik (grch. semantikos – zum Zeichen gehörend).

9. Folgerung und Äquivalenz von Sätzen = = Formal: L := (S, ²) mit ²2 2S£S Dabei bedeutet für • eine Menge µS von Sätzen und • einen Satz 2S  ²  „Aus den Sätzen  folgt der Satz “ oder auch „  ist eine logische Konsequenz aus .“ Gilt für zwei Sätze  und y, dass sowohl {} ²y als auch {y} ², dann sind diese Sätze (logisch) äquivalent und man schreibt auch y.

10. Wie funktioniert Logik? Syntax. Grundelemente: grün Syntax-Regel: „Wenn  und y Sätze sind, dann auch Æy“ rot süß süß süß-sauer sauer sauer gelb Konstruktor oder Junktor Syntax (von grch. suntaxis – Zusammenstellung, Satzbau) erschließt sich über die Frage Was ist ein „richtiger“ Satz? D.h. wie wird die Menge der Sätze einer Logik definiert? Nutzung von „Erzeugungsregeln“ zur Definition (Konstruktion) von wohlgeformten Sätzen, z.B.:

11. Wie funktioniert Logik? Ausdrucksstärke. Trade-off: Logiken mit vielen Ausdrucksmitteln (Konstruktoren/Junktoren) sind: • komfortabler in der Verwendung (verschiedene und komplexe Sachverhalte sind einfach auszudrücken), aber • schwieriger (meta)mathematisch zu handhaben (Beweisen von Eigenschaften der Logik umständlicher). Möglicher Ausweg: Einschränkung der Sätze auf Teilmenge, die für jeden Satz der Logik einen logisch äquivalenten Vertreter enthält (vgl. Normalformen, minimale Junktorenmengen…) und Definition der anderen Sätze/Junktoren als „syntactic sugar“. Wird eine Logik über dieses Maß hinaus eingeschränkt, erhält man ein Fragment der ursprünglichen Logik mit geringerer Ausdrucksstärke.

12. Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Interpretationen Sätze süß ist Modell von sauer ² süß-sauer rot hellgrün gelb grün giftig Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle.

13. Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Interpretationen ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² Sätze süß süß sauer süß-sauer rot hellgrün gelb grün giftig Sätze, für die jede Interpretation ein Modell ist, heißen allgemeingültig oder Tautologien (grch. tautologia).

14. Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün gelb grün giftig giftig Sätze, für die keine Interpretation ein Modell ist, heißen widersprüchlich oder unerfüllbar.

15. Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Interpretationen ² ² Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün hellgrün gelb grün giftig Sätze, die (mindestens) ein Modell haben, heißen erfüllbar.

16. Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Interpretationen ² ² Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün hellgrün gelb grün giftig Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle.

17. Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Interpretationen ² ² Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün hellgrün gelb grün grün giftig Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle.

18. Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün hellgrün gelb ² grün grün giftig Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle.

19. Wie funktioniert Logik? Semantik entlang der Syntax ² ² ² Semantik-Regel: „Die Modelle von Æy sind genau die Interpreta-tionen, die Modelle sowohl von  als auch von y sind.“ süß-sauer süß sauer Häufiges Prinzip bei Definition von Interpretationen: • Interpretation von Grundelementen wird festgelegt • Interpretation von zusammengesetzten (konstruierten) Sätzen wird auf die Interpretation der Teile zurückgeführt, z.B.:

20. Beweistheorie ² Zurück zu Leibniz: Rechenmaschinefür Logik Aber: Möglichkeit, direkt mit allen möglichen Interpretationen zu arbeiten, oft eingeschränkt Daher: Versuch, Schlussfolgerungsrelation durch rein syntaktische Verfahren zu beschreiben/berechnen

21. Entscheidungsverfahren/Entscheidbarkeit n 1 1 1  ² -o-mat JA/NEIN • Entscheidungsalgorithmus: • input: Menge {1,…, n} von Sätzen und Satz  • terminiert nach endlicher Zeit • output: • „Ja“, falls {1,…, n} ²  • „Nein“ sonst • Gibt es einen solchen Algo-rithmus für eine Logik, dannnennt man sie entscheidbar.

22. Aufzählungsverfahren/Semientscheidbarkeit n 1 1 1 ² -semi-o-mat • Gibt es einen solchen Algorithmus für eine Logik, dann nennt man sie semi-entscheidbar.  • Aufzählungsverfahren: • input: Sätze {1,…, n} • output: Sätze , für die gilt {1,…, n} ²  • jeder solche Satz wird (irgendwann) ausgegeben

23. Deduktionskalkül y y {,y, w,.......}  y Æy Æy • kann gesehen werden als spezielle Form eines Aufzählungsverfahrens • besteht aus Ableitungsregeln, z.B.:

24. Deduktionskalkül Ein Satz  ist aus einer Menge  von Sätzen ableitbar (geschrieben:  ` ), wenn sich  durch wiederholtes Anwenden der Ableitungsregeln eines Deduktionskalküls aus  „erzeugen“ lässt. Deduktionskalkül ist korrekt (engl. sound), wenn aus  `  immer  ²  folgt, d.h. alle ableitbaren Schlüsse auch wirklich logisch folgen. Deduktionskalkül ist vollständig (engl. complete), wenn aus  ² immer  ` folgt, d.h. alle logischen Konsequenzen auch abgeleitet werden können. In einem korrekten und vollständigen Deduktionskalkül gilt:²= `und man kann es als Aufzählungsverfahren verwenden. Achtung! Es gibt Logiken, für die nachweislich kein solches Deduktionskalkül existiert (Gödel 1931).

25. Weitere interessante Eigenschaften von Logiken: Monotonie Kompaktheit Algorithmische Komplexität für Entscheidungsverfahren …und jede Menge anderes…

26. Aussagenlogik auch: propositionale Logikboolesche Logik schon bei den Stoikern voll ausgearbeitete Junktorenlogik George Boole (1815 – 1864)„An Investigation of the Laws of Thought“ (1854) syntaktische Grundelemente:atomare Sätze / Propositionen / Aussagen(p, q,…, p1,p2,…) Können als natürlichsprachliche Aussagen gedacht werden: „Es regnet.“…

27. Aussagenlogik – Syntax • Erzeugungsregeln für Sätze: • alle atomaren Propositionen sind Sätze ( p , q ,…) • ist φ ein Satz, dann auch :φ • sind φ und ψ Sätze, dann auch(φ ∧ ψ) , (φ ∨ ψ), (φ → ψ) und (φ ↔ ψ) • Klammern können ggf. weggelassen werden; Präzedenzen (bei uns): : vor Æ,Ç vor !, $. • Zusätzliche Klammern machen es trotzem oft lesbarer…

28. Aussagenlogik – Syntax

29. Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Interpretationen ² Sätze : p ² p p ! q ² ² p Æ(:p ! q) q p Ç q Was sind die Modelle der Aussagenlogik?

30. Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik • Formal: Interpretationen I sind Abbildungen von der Menge der atomaren Propositionen in die Menge {wahr, falsch}, d.h. jeder dieser Propositionen p wird ein Wahrheitswert WWI(p) zugeordnet. • Daraus bestimmt man Modelle für zusammengesetzte Sätze über Semantik-Regeln • IModell von :φ genau dann, wenn Ikein Modell von φ • IModell von (φ ∧ ψ) genau dann, wenn I Modell von φ und von ψ • IModell von (φ ∨ ψ) genau dann, wenn IModell von φ oder von ψ • IModell von (φ→ ψ) genau dann, wenn Ikein Modell von φ oderIModell von ψ • IModell von (φ↔ ψ) genau dann, wenn IModell für jeden oder keinen der beiden Sätze ist.

31. Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Interpretationen Sätze : p ² p ! q ² p Ç:p ? ? ? ? ² (tertium non datur) p Æ q ² p Æ (p ! q) Beispiel für Tautologie in der Aussagenlogik.

32. Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Interpretationen Sätze : p ² p ! q ² p Æ:p ? ? ? ? ² p Æ q ² p Æ (p ! q) Beispiel für Kontradiktion in der Aussagenlogik.

33. Aussagenlogik – einige logische Äquivalenzen φ!ψ: φÇψ φ$ψ (φ!ψ) Æ (ψ !φ) :(φÆψ) :φ Ç:ψ :(φÇψ) :φÆ:ψ :: φφ φÇ (ψÆω) (φÇψ) Æ (φÇω) φÆ (ψÇω) (φÆψ) Ç (φÆω) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = φÆψψÆφ φÇψψÇφ φÆ (ψÆω)(φÆψ) Æω φÇ (ψÇω)(φÇψ) Çω φÆφφ φ Çφφ φÆ (ψÇφ)φ φÇ (ψÆφ)φ

34. Aussagenlogik – Normalformen & vollständige Junktoren aus diesen Äquivalenenzen folgt: • zu jeder Formel gibt es eine logisch äquivalente Formel, die nur die Junktoren Æ und : enthält. • zu jeder Formel gibt es eine Formel in konjunktiver Normalform, d.h. • nur einfache Negation direkt vor atomaren Propositionen (sog. Literale) • Formel ist Konjunktion von Disjunktionen von Literalen • Bsp.: (p Ú:q Ú r Ú :s) Ù (:p Ú q Ú s) Ù (q Ú :r Ú s)

35. Aussagenlogik – Entscheidungsalgorithmus Aussagenlogik ist entscheidbar nützliche Eigenschaft dabei: {1,…, n} ²  gilt genau dann, wenn (1Æ…Æn)! eine Tautologie ist Entscheidung, ob Satz Tautologie ist, über Wahrheitswerttabelle im Prinzip: Überprüfung aller Interpretationen (nur die Wahrheitswerte der vorkommenden atomaren Propositionen fallen ins Gewicht)

36. Aussagenlogik – Entscheidungsalgorithmus ? ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² Modus Ponens: {, }² p p ! q q ² (p Æ(p ! q))! q (p Æ(p ! q))! q p ! q p Æ(p ! q) (p Æ(p ! q))! q

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