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数值分析

数值分析. 泰山学院信息科学技术系. 教材 ( Text Book) 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社）. 参考书目 ( Reference).  Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析 （英文版 第3版 ） David Kincaid & Ward Cheney（ 机械工业出版社).  Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版）

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Presentation Transcript

  1. 数值分析 泰山学院信息科学技术系

  2. 教材 (Text Book) • 数值计算方法 郑慧娆等 编著 （武汉大学出版社） • 参考书目 (Reference)  Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析 （英文版 第3版 ） David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)  Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）

  3. 基础知识 微积分、线性代数 掌握一种语言、会用Matlab

  4. 学习方法 1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系

  5. 考试方法 1.闭卷考试占70%. 2.平时作业及课堂回答问题占10%. 3.上机实验占15%，创新成绩5%.

  6. Numerical Analysis 数值分析 学习和了解科学计算的桥梁

  7. Introduction 数值分析 能够做什么？

  8. 研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等

  9. 计算机解决实际问题的步骤 建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算

  10. 举例 1。求下列方程的根或零点： （第三章的内容：非线性方程的数值解法） Can you solve Can you solve

  11. 举例 2。怎么求解下列积分？ （第七章的内容：数值积分）

  12. 数值分析的特点 1。近似： 由此产生“误差” 在计算数学和应用数学中一个有趣的问题：什么是零？ 原点附近 在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵 但在计算数学中，它却是降秩矩阵 ？

  13. 2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：C语言，会用Matlab）2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：C语言，会用Matlab）

  14. 1.2 误差 ( Error ) §1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) • 模型误差( Modeling Error ):从实际问题中抽象出数学模型 • 观测误差( Measurement Error ):通过测量得到模型中参数的值 • 方法误差(截断误差 Truncation Error）:求近似解 • 舍入误差( Roundoff Error ):机器字长有限

  15. 其中 x*为精确值，x为x*的近似值。 的上限记为 , 称为绝对误差限( accuracy )， 工程上常记为 例如： • 相对误差 ( relative error ) x 的相对误差上限定义为 §1.2.4误差与有效数字 (Error and Significant Digits) • 绝对误差 ( absolute error )

  16. 用科学计数法，记 (其中 ）若 （即 的截取按四舍五入规则），则称 为有n 位有效数字，精确到 。 例： 问： 有几位有效数字？请证明你的结论。 证明： 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。 • 有效数字 （significant digits ）

  17. 定义1：Rn空间的向量范数 || · || ,对任意 满足下列条件 对任意 常用向量范数： n v  n = 2 v || x || | x |  = || x || | x | 2 i = 1 i 1 i v = 1 i = || x || max | x |  i   1 i n §1.4 向量和矩阵范数  向量范数 ( vector norms )

  18. 性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖ 性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数. 范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在 常数 C1、C2> 0 使得 ,则称 ‖·‖A 和‖·‖B等价。 定理1.4.1 Rn上一切范数都等价。 主要性质 性质1:‖-x‖=‖x‖

  19. 定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，…., 又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上的向量. 如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立， 那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.2 对任意一种向量范数‖·‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是

  20. 定义3:对任意 ,称|| · || 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| · ||满足(1)-(3)： 对任意 若还满足(4),称为相容的矩阵范数 (4) || AB ||  || A || · || B ||  矩阵范数 ( matrix norms )

  21. 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：设 从而 例5: 设A＝(aij)∈M. 定义

  22. 设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是 向量范数.如果满足不等式: ‖Ax‖≤‖A‖‖x‖ 则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容. 相容性 （1）矩阵范数与矩阵范数的相容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ （2）矩阵范数与向量范数

  23. Frobenius范数: (向量|| · ||2的直接推广) 可以证明,对方阵 和 有: ， 算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵A Rnn的 p 范数: 利用Cauchy 不等式 可证（例6）。 则 常用的算子范数： （行和范数） （列和范数） （谱范数 ( spectral norm )）

  24. 定理1.4.6 对任意算子范数 || · || 有: 证明： 由算子范数的相容性，得到 将任意一个特征根  所对应的特征向量 代入 命题(P26，推论1） 若A对称，则有: 证明： 若 是 A的一个特征根，则2 必是 A2的特征根。 对某个A的特征根 成立 又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数， 故得证。 A对称 所以2-范数亦称为谱范数。

  25. 若矩阵 A对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则必有 可逆； ①. ②. ① 若不然，则 有非零解，即存在非零向量 使得 定理1.4.4 证明：  ②

  26.  设 A精确， 有误差　 ，得到的解为 ，即 又 §1.5 线性方程组的性态（误差分析） ( Error Analysis for Linear system of Equations ) 思考:求解 时, A和 的误差对解有何影响？ 绝对误差放大因子 相对误差放大因子

  27. 是关键 的误差放大因子，称为 A的状态数(条件数)， 记为cond (A) ,  设 精确，A有误差 　 ，得到的解为 ，即 (只要 A充分小，使得

  28. 注:cond (A) 与 所取的范数有关 常用条件数有： cond (A)1 =‖A‖1 ‖ ‖1 cond (A) =‖A‖‖ ‖ 特别地，若 A 对称，则 cond (A)2

  29. 例：Hilbert 阵 cond (H2) = 27 cond (H3)  748 cond (H6) = 2.9  106 注：现在用Matlab数学软件可以很方便求矩阵的状态数! 定义2:设线性方程组的系数矩阵是非奇异的,如果 cond(A)越大,就称这个方程组越病态.反之,cond(A) 越小,就称这个方程组越良态.

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