METODI 2 2005-2006

1. METODI 2 2005-2006

2. CARATTERISTICHE DELL’INTELLIGENZA (1) • Reagire in modo molto flessibile alle situazioni • Trarre vantaggio da circostanze fortuite • Ricavare un senso da messaggi ambigui e contraddittori • Riconoscere l’importanza relativa dei diversi elementi di una situazione

3. CARATTERISTICHE DELL’INTELLIGENZA (2) • Trovare somiglianze tra situazioni diverse nonostante le differenze che possono dividerle • Notare distinzioni tra situazioni diverse nonostante le somiglianze che possono unirle • Sintetizzare nuovi concetti prendendo concetti vecchi e collegandoli in modi nuovi • Produrre idee nuove.

4. TEORIA DEI GIOCHI. • Giochi statici e/o dinamici. • N>1 giocatori La soluzione dipende dal tipo di gioco: • cooperativo o non cooperativo • Simmetrico o asimmetrico (rispetto al ruolo e all’importanza dei giocatori) • Livello di Informazione (open e closed loop, feedback,…)

5. TEORIA DEI GIOCHI. • Ottimo Paretiano: i=1,2 per almeno un i è ottimo se

6. TEORIA DEI GIOCHI. Soluzione di Stackelberg (leader giocatore 1). • Il Leader determina per ogni mossa la reazione dell’altro giocatore (il follower) e successivamente determina tra le coppie (azione del leader, reazione del follower) quella che minimizza la funzione obiettivo del leader. • In simboli:

7. TEORIA DEI GIOCHI. Soluzione di Nash Nel gioco entrambi i giocatori sono leader e follower e quindi la soluzione si trova come intersezione tra la curva di reazione del secondo giocatore, quando leader è il primo giocatore, e la curva di reazione del primo giocatore, quando leader è il secondo giocatore.

8. TEORIA DEI GIOCHI. Soluzione di Nash La soluzione di Nash è caratterizzata dal fatto che la deviazione unilaterale di un giocatore dalla soluzione trovata penalizza quel giocatore. • In simboli:

9. TEORIA DEI GIOCHI. • Gioco statico. • Gioco bimatriciale (min): • Leader giocatore 1: (A,a),(B,c) • Leader giocatore 2: (B,a), (B,b), (B,c)

10. TEORIA DEI GIOCHI. • Esempio :

11. Z 0 u1 u2

12. Z 0 u1 u2

13. Z Z=k P 0 u1 P’ u2

14. u2 S D C1 T u2 C2 V Z W u1 0’  0 u1

15. u2 C1 u21 u22 u12 = u11 0’ u1

16. u2 RL2 u21 u22 P u11 u12 0’ u1

17. u2 Soluzione di Nash RL2 N u2 S RL1 P 0’ u1 u1

18. TEORIA DEI GIOCHI. • Ottimo Paretiano dinamico. • Sia dato il sistema dinamico : • e le funzioni obiettivo dei due giocatori:

19. TEORIA DEI GIOCHI. • La funzione obiettivo della coalizione • è : • il problema diventa quindi: • determinare in modo da • minimizzare J • soddisfacendo il vincolo:

20. TEORIA DEI GIOCHI. Sia dato il sistema dinamico : • e le funzioni obiettivo dei due giocatori: • La soluzione di Nash è ancora la coppia di politiche per le quali:

21. TEORIA DEI GIOCHI. • La soluzione di Nash si determina mediante il principio di Pontryagin. • Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si definisce la funzione hamiltoniana per ogni giocatore definita da: dove hanno stessa dimensione “n”

22. TEORIA DEI GIOCHI.

23. TEORIA DEI GIOCHI. • Esempio 3. (Corsa agli armamenti) • dove: • = livello di armamenti della nazione i • = spese per armamenti della nazione i • = tasso di decadimento dell’efficienza degli arsenali militari della nazione i.

24. TEORIA DEI GIOCHI • Le funzioni obiettivo (min) sono: • La nazione i cerca di minimizzare la distanza tra il suo livello di armamenti e una stima lineare del livello di armamenti dell’altra nazione j (interpretazione del primo termine dentro l’integrale).

25. TEORIA DEI GIOCHI. • Le funzioni obiettivo (min) sono: • La nazione i cerca di minimizzare la distanza tra le sue spese per armamenti e il valore di “spin off” dei suoi arsenali (interpretazione del secondo termine dentro l’integrale).

26. TEORIA DEI GIOCHI. • Le funzioni obiettivo (min) sono: • La nazione i definisce la sua politica di spese per armamenti al comportamento dell’altro giocatore : aumenta se l’altro aumenta, diminuisce se l’altro diminuisce. (interpretazione del terzo termine dentro l’integrale).

27. TEORIA DEI GIOCHI. • La soluzione (feedback) di Nash ha la forma: • dove e sono matrici combinazioni lineari dei coefficienti del modello, mentre • sono matrici simmetriche definite positive che sono soluzioni delle equazioni di Riccati.

28. TEORIA DEI GIOCHI. • L’andamento della soluzione del gioco è rappresentato nella figura che segue: • “And they lived happily ever after.”