Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische systemen

1. Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische systemen Johan Deprez 12de T3-symposium, Oostende, augustus 2009 tekst: zie T3-cahier 19 (www.t3vlaanderen.be) slides: www.t3vlaanderen.be en www.ua.ac.be/johan.deprez

2. Overzicht • Voorbereiding: lineaire recursievergelijkingen • Lineaire recursievergelijkingen • Tabel • Webgrafiek • Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt • Limietgedrag bij lineaire recursievergelijkingen • Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld

3. Voorbereiding:lineaire recursievergelijkingen

4. Lineaire recursievergelijkingen • ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0) • voorbeeld: zn=2zn-1+5 • rij is slechts éénduidig vastgelegd als een beginwaarde z0 gegeven is • voorbeeld (bis): z0=10, zn=2zn-1+5 10, 25, 55, 115, 235, ... • voluit: lineaire recursievergelijking van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid (met beginvoorwaarde) • voorbeelden ...

5. Lineaire recursievergelijkingen • ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0) • ... • voorbeelden • aantal deelnemers aan het T3-symposium: An=0.8An-1+20, A1=60 (An = aantal deelnemers op n-de symposium, 80% komt het jaar nadien terug, elk jaar 20 nieuwe deelnemers) • medicijnspiegel: Hn=0.75Hn-1+1500, H0=1500 (Hn = hoeveelheid medicijn in bloed na n dagen, elke dag inname van 1500 mg, per dag verdwijnt 25%) • sparen via annuïteit: Bn=1.04Bn-1+1000, B0=0 (Bn = bedrag op rekening na n jaar, elk jaar 1000 EUR storten, elk jaar 4% intrest) • b=0: zn=azn-1, meetkundige rijen met reden a • a=1: zn=zn-1+b, rekenkundige rijen met verschil b • ...

6. Lineaire recursievergelijkingen • ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0) • ... • van een rij die beschreven wordt door een dergelijke recursievergelijking (van dit type!) met beginvoorwaarde kan de expliciete vergelijking gemakkelijk bepaald worden (zie cahier)

7. Tabel voorbeeld:

8. Grafische voorstellingen:TIME- en WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... TIME-grafiek = ‘gewone grafiek’ n op de horizontale as, zn op de verticale as grafiek bestaat uit punten, die hier verbonden zijn door lijnstukjes verloop: gedempt schommelend met limiet 20 WEB-grafiek = type grafiek specifiek voor (sommige) rijen die bepaald worden door een recursievergelijking

9. Grafische voorstellingen: WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... gebaseerd op de recursievergelijking 1ste bissectrice (komt in elk webdiagram terug)

10. Grafische voorstellingen: WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... x-coördinaat van de cursor is z0 y-coördinaat van de cursor is z1 1ste bissectrice

11. Grafische voorstellingen: WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... x- en y-coördinaat van de cursor zijn z1 1ste bissectrice

12. Grafische voorstellingen: WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... x-coördinaat van de cursor is z1 y-coördinaat van de cursor is z2 1ste bissectrice

13. Grafische voorstellingen: WEB-grafiekLimiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... naar binnen gaande spiraal rond snijpunt (20,20) van de twee rechten y=0.8x+36 en y=x • opeenvolgende waarden van z: • zie x-waarden van opeenvolgende verticale lijntjes • OF • - zie y-waarden van opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na) verloop: gedempt schommelend met limiet 20

14. Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: andere beginwaarde, zelfde verloop!

15. Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: rij is constant systeem is in evenwicht 20 is evenwichtswaarde het evenwicht is stabiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het terug naar het evenwicht op de vorige slides was 20 de limietwaarde

16. Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: ‘trap’ met groeiende treden die weggaat van snijpunt (10,10) van de twee rechten y=1.2x-2 en y=x verloop: versneld stijgend met limiet plus oneindig beginwaarde 5 i.p.v. 15: versneld dalend met limiet min oneindig

17. Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: rij is constant 10 is evenwichtswaarde het evenwicht is labiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het niet terug naar het evenwicht

18. Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt overzicht (versie 1) • een getal E is een evenwichtswaarde van een recursievergelijking asa de rij met z0=E constant is • stabiel versus labiel evenwicht • evenwicht wordt bepaald door het snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram • ALS er een eindige limietwaarde is, is deze gelijk aan de evenwichtswaarde

19. Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt recursievergelijking de recursievergelijking bepaalt • één rechte uit WEB • functie f: y=-0.8x+36 snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram bepalen: we zoeken een vastpunt (dekpunt) van f, 20 is een vast punt (dekpunt) van f

20. Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt recursievergelijking baan van 25: 20 23.2 17.44 25 16 20 is een aantrekkend vast punt

21. Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt recursievergelijking baan van 15: 17.2 18.64 10 16 15 10 is een afstotend vast punt

22. Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt overzicht (versie 2) • getal E is een evenwichtswaarde van een recursievergelijking asa de rij met z0=E constant is • stabiel versus labiel evenwicht • evenwicht wordt bepaald door het snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram • ALS er een eindige limietwaarde is, is deze gelijk aan de evenwichtswaarde • een recursievergelijking bepaalt een functie f • de ene rechte uit het WEB-diagram is de grafiek van deze functie • evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f • stabiel evenwicht geeft een aantrekkend vast punt • labiel evenwicht geeft een afstotend vast punt

23. Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0) a<0 a>0 |a|>1 |a|<1 |a|=1 stabiel evenwicht aantrekkend vast punt limietwaarde labiel evenwicht afstotend vast punt geen limietwaarde

24. Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0) verloop van de rij wordt bepaald door de helling van de tweede rechte uit de webgrafiek: • positief/negatief • absolute waarde groter/kleiner dan 1

25. Leerplan • geen verplichte leerstof! • past wel binnen • het onderwerp discrete wiskunde (verplicht in aso 6u vrij onderwijs) • keuzeonderwerp iteratie uit aso 6u, aso 4u, tso 6u, ... • vrije ruimte

26. Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld

27. De recursievergelijking niet lineair omwille van het kwadraat! expliciet voorschrift is niet gekend! (b een positief getal) oorsprong: discrete versie van logistische groei (cfr. cahier), maar we zullen de recursievergelijking buiten dat domein ook gebruiken

28. Voorbeeld: b=0.75 limietwaarde 1, in de omgeving van 1: ‘trap’ met kleiner en kleiner wordende treden eerste bissectrice en parabool y=1.75x-0.75x2 limietgedrag wordt bepaald door de helling van de raaklijn aan de parabool in 1

29. Voorbeeld: b=0.75 0 en 1 (0,0) en (1,1) vaste punten? snijpunten van parabool en rechte? helling raaklijn is 1.75: 0 is afstotend vast punt helling raaklijn is 0.25: 1 is aantrekkend vast punt

30. Opdracht 1: b=1.75 Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een • tabel • TIME-grafiek • WEB-grafiek en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten. Hulp bij de rekenmachinetechnische aspecten: zie blad Het maken van een tabel, TIME- en WEB-grafiek gebeurt in SEQ-modus. Onderzoek naar de vaste punten gebeurt in de FUNC-modus (of met het blote hoofd).

31. Opdracht 1: b=1.75 voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1

32. Opdracht 1: b=1.75 voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1 in 0: helling raaklijn is 2.75, afstotend vast punt in 1: helling raaklijn is -0.75, aantrekkend vast punt met schommelende convergentie

33. Opdracht 2: b=2.25 Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een • tabel • TIME-grafiek • WEB-grafiek en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten.

34. Opdracht 2: b=2.25 1 is geen limietwaarde meer ook 1 is nu een afstotend vast punt

35. Opdracht 2: b=2.25 ophopingspunten! een nieuw fenomeen: 2 limietwaarden! aantrekkende 2-cykel f(c1)=c2 en f(c2)=c1 f(f(c1))=c1 en f(f(c2))=c2 c1 en c2 zijn vaste punten van f2 met f2(x)=f(f(x))

36. Opdracht 2: b=2.25 f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1

37. Opdracht 2: b=2.25 f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1 c1 en c2 zijn aantrekkende vaste punten van f2 0 en 1 zijn afstotende vaste punten

38. Opdracht 3: b=2.5 Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een • tabel • TIME-grafiek • WEB-grafiek en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. vaste punten.

39. Opdracht 3: b=2.5 aantrekkende 4-cykel! bepaald door de aantrekkende vaste punten van f4, met f4(x)=f(f(f(f(x)))) (veelterm van de 16-de graad!)

40. Opdracht 3: b=2.5 0 en 1: afstotende vaste punten van f en f2 en f4 en ... c1=0.6 en c2=1.2: afstotende vaste punten van f2 en f4 en ... d1=0.53..., d2=1.15..., d3=0.70... en d4=1.22...: aantrekkende vaste punten van f4 en ...

41. En verder? twee ophopingspunten ophopingspunten (= ‘limietwaarden’ van de rij) b > 2.692... : chaos vier ... limiet 1 b = 1.75 b = 2.25 b = 2.5 b (tussen 1.625 en 2.85)

42. En verder? TI84-programma: voor ‘elke’ waarde van b worden de punten (b,zn) met 50<n100 uitgezet (cfr. cahier) b = 1.75 b = 2.25 b = 2.5 b (tussen 1.625 en 2.85)

43. Niet in het cahier! paragraaf 10 a lijkt niet toevallig heel erg op paragraaf 10 b! recursievergelijking uit paragraaf 10 a gaat over in die uit paragraaf 10 b via de volgende substituties: • tn=(a-1)/a  zn • b=a-1

44. Bedankt voor uw aandacht! slides (binnenkort) op www.ua.ac.be/johan.deprez en www.t3vlaanderen.be