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3. Logique et mathématiques

3. Logique et mathématiques. Frege. (1848 – 1925) Après que la mathématique se fut pour un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle y revient, et non sans de vifs efforts pour la dépasser. Frege. Manque de rigueur?. Newton: les fluxions

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  1. 3. Logique et mathématiques Frege

  2. (1848 – 1925) Après que la mathématique se fut pour un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle y revient, et non sans de vifs efforts pour la dépasser Frege

  3. Manque de rigueur? • Newton: les fluxions • o : une « particule atomique de temps », un « infiniment petit » • mais infiniment petit : terme contradictoire • Paradoxes de Zénon • Séries infinies

  4. Niels Abel (1826): « [les séries divergentes] sont quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration… Ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et causé tant de paradoxes »

  5. Niels Abel • La vie de Niels Abel, mathématicien norvégien né le 5 août 1802, est marquée par la pauvreté. Son père était pourtant un éminent homme politique norvégien, mais à la fin de sa vie il est tombé en disgrâce, et quand il meurt en 1820, c'est Abel qui doit supporter la charge de la famille. Grâce à l'aide financière de ses professeurs, il parvient cependant à poursuivre ses études et à faire ses premières découvertes. Mais ses mémoires sont perdus par Cauchy, mésestimés par Gauss. •   Après son doctorat, Abel ne parvient pas à trouver un poste, ses conditions de vie sont de plus en plus précaires et sa santé se fait fragile : il est atteint de la tuberculose. Malgré des déplacements à Paris et à Berlin, ses travaux ne sont toujours pas perçus à leur juste valeur. Dans ses dernières semaines, il n'a plus assez de force pour quitter son lit. Il décède le 5 avril 1829, à même pas 27 ans, alors qu'un ami venait juste de lui trouver un poste à Berlin.

  6. Cauchy, Weierstrass quand n tend vers si et seulement si :

  7. La Begriffschrift-1 • « je n’ai pas voulu faire un simple calculus ratiocinator, mais une lingua characterica au sens de Leibniz »

  8. La Begriffschrift-1 • Sujet / Prédicat  Objet / Fonction • x2 – 4x • _ conquit la Gaule • Les objets (expressions saturées) ont une dénotation • Donc aussi les propositions • La dénotation d’une proposition est soit le vrai, soit le faux

  9. La Begriffschrift-2 • Idée de système formel • Les déductions obtenues « par le seul moyen des règles données pour l’utilisation de nos signes » • Comme chez Euclide : axiomes

  10. a b a a a c c b b c c a a b c axiomes

  11. A  Règle d’inférence 

  12. A 

  13. A

  14. A a b a a a a b a négation axiomes

  15. a b a b a a a c c b b c c a a b b c c Exemple de déduction avec les axiomes soit à prouver :

  16. a b a c b c a b c dans a b a mettre à la place de a et à la place de b

  17. a a c c b b c c a a b b c c a b

  18. a a a c c c b b b c c c a a a b b b c c c a b

  19. a a b b a a a c c c b b b c c c a a a b b b c c c

  20. A a (a) (A) a a (a) (a) Fonctions et champ

  21. Beaucoup de flèches n’ont pas atteint la cible • Pas beaucoup de flèches ont atteint la cible • la cible n’a pas été atteinte par beaucoup de flèches

  22. A a (a) A a (a) assertions et contenus

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