GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

1. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

2. Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. FUNCÍON

3. La función exponencial es del tipo: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. FUNCÍON EXPONENCIAL

4. Ejemplo

5. En matemática, el logaritmo es una función matemática inversa de la función exponencial. FUNCÍON LOGARITMICA

7. Dado un número real (argumento), la función logaritmo asigna el exponente (o potencia) a la que un número fijo (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn, que permite obtener n. Esta función se escribe como: n = logbx. Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2. Por ejemplo:

8. Ejemplo Definición de logaritmo Siendo a la basex el número e y el logaritmo.

9. De la definición de logaritmo podemos deducir:

12. 17.19  Calcula el valor de x en la ecuación:                        Solución:Lo resolvemos paso a paso.

13. El logaritmo natural es un logaritmo que tiene como base el número 2,718281828… Debido a que es muy incómodo trabajar con un número que tiene muchos decimales, se le ha asignado la letra “e”: e = 2,718281828… Para simplificar más esta notación, en logaritmos se utiliza la abreviación de logaritmo natural (Ln) para referirse a un logaritmo que tenga este número como base LOGARITMO NATURAL

14. Gráfica del logaritmo natural Gráfico del logaritmo de base 10 Gráfico del logaritmo de base 2

15. Al observar y comparar figuras geométricas, se advierte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño y, en otros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS El símbolo que se emplea para denotar la congruencia es Para comparar dos triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se describen y se ejemplifican a continuación.

16. Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triangulo. Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)

17. Dos triángulos son congruentes si, en el primer triangulo, dos de sus lados y el triangulo comprendido entre ellos del segundo triangulo Segundo criterio: lado, Ángulo, lado (LAL)

18. Dos triángulos son congruentes si dos triángulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los triángulos, son congruentes con dos de los triángulos y el lado comprendido entre ellos del otro triangulo. Tercer criterio: triangulo, lado, triangulo (ALA)

19. Paralelismo es la cualidad de paralelo y, en geometría, puede referir a rectas o planos. Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas cuando no se cortan y, por tanto, las parejas de puntos más próximos de ambas guardan siempre la misma distancia. Paralelismo y Perpendicularidad

20. Perpendicularidad La perpendicular de una línea recta, es la que forma ángulo recto con la dada. Perpendicularidad

21. Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma. En tal caso cumplen que: 1. Los ángulos correspondientes son iguales: • 2. Los segmentos correspondientes son proporcionales: • donde , se la razón de semejanza. SEMEJANZA DE TRIANGULOS

23. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: CLITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS

24. Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados. • Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados. • Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. La generalización de un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo. POLIGONOS

26. En un polígono podemos distinguir: Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de todos sus lados. Ángulo interior y ángulo exterior. En un polígono regular podemos distinguir, además: Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados. Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

29. Un círculo, en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

30. Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de triángulos • En matemática el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico. En los dominios de tres dimensiones, el volumen se calcula mediante la integral triple extendida a dicho dominio, del elemento diferencial de volumen. En matemática el volumen de un cuerpo, es la medida que se le asocia al espacio que ocupa un cuerpo. AREAS Y VOLUMENES

32. Las funciones trigonométricas, en matemática, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

35. La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia cotangente coseno cosecante tangente radio seno secante

36. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Razones trigonométricas de un ángulo agudo Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones solamente dependen del ángulo α debido al teorema de Thales.

37. Funciones trigonométricas: seno de un ángulo agudo 1 c a/c a b/c b

38. Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo 1 c a/c a b/c b

39. Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un ángulo agudo 1 c a/c a b/c b

40. Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un ángulo agudo 1 c a/c a b/c b

41. Ejemplo Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm

42. Las razones trigonométricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las Relaciones trigonométricas fundamentales Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa sino así Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.

43. Demostración Aplicamos Pitágoras:

44. Ejemplo Se conoce el cos 53=0,6 y se quiere calcular cuánto valen

45. EJEMPLO:Se conoce la tangente de un ángulo y se quiere calcular cuánto valen

46. Identidades Fundamentales SOLO PARA RECORDAR, ANÓTALO EN TU TARJETA