Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych

Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście

Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji

Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu

Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu

Cztery różne statusy zmiennych stanu: - v1 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v2 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v3 można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v4 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y

Można wyróżnić cztery podsystemy: - związany ze zmienną stanu v1 sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v2 niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v3 sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v4 niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym

Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mc = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , a para macierzy {AC, BC} jest sterowalna, oraz

Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób: Macierz MC ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa

Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny

Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

Macierze podsystemu sterowalnego Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

Związki pomiędzy zmiennymi stanu Wartość własna części niesterowalnej wynosi System jest stabilizowalny

Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mo = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , , a para macierzy {Ao, Bo} jest obserwowalna, oraz

Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób: Macierz Mo ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa

Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny

Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

Macierze podsystemu obserwowalnego Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

Wartości własne systemu oryginalnego Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi System jest niewykrywalny

Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Przykład 3. Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji Przyjmijmy zerowe warunki początkowe i skokowe wejście poza tym

Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych

oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych

Odpowiedź wyjścia stabilizuje się

ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność Złe zachowanie stanu zostało „ukryte” na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu

Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny

Zmieńmy warunki początkowe Wyjście systemu Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Takie samo jak dla zerowych w.p.

Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz i niech są określone przez i Następujące stwierdzenia są równoważne są obserwowalne (i) (ii)

Przykład 4. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji

Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia

Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia

Odpowiedź wyjścia systemu dla nowych warunków początkowych

Odpowiedź wyjścia systemu Odpowiedź stanu systemu

Równania stanu Zbadajmy sterowalność systemu n=2 System jest niesterowalny

Przykład 5. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank Mc = 2 – system jest sterowalny

Policzmy macierz tranzycji Zadajmy wejście Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.)

Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) System jest nieminimalnofazowy

Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnych