TERNAS PITAGORICAS

1. TERNAS PITAGORICAS María Andrea Gómez Patiño Cod:2020644

2. El problema de las ternas pitagóricas es: Como encontrar todos los triángulos rectángulos con lados  A, B y C todos ellos números enteros?

3. Este problema fue resuelto por Diofanto aunque parece que la solución ya era conocida por los babilonios mucho antes. Recordemos que el teorema de Pitágoras nos dice que para que exista un triángulo de esta forma se tiene que cumplir que: O sea que la pregunta se transforma en: ¿que números A y B enteros cumplen que la suma de sus cuadrados es un cuadrado? 

4. Por ejemplo A=1 B=2 La suma de sus cuadrados no es un cuadrado Ahora, A=3 B=4 La suma de sus cuadrados es 25 que es 5 al cuadrado

5. A una solución (A,B,C) se la llama una terna pitagórica. Muchos ejemplos de ternas pitagóricas ya eran conocidos por los babilonios: (3,4,5) , (6,8,10) , (5,12,13), ......................, (4961,6480,8161),........

6. Una terna pitagórica primitiva es aquella cuyo m.c.d de los tres elementos es 1.

7. Supongamos que (A,B,C) es primitiva Entonces no puede ser que exista un número D>1 que divida a A y B y no divida a C, ya que si D divide a A y B, entonces D divide a , y por lo tanto D divide a C.

8. Por lo tanto, • No pueden ser pares los tres elementos, ni siquiera dos de ellos. si A y B son pares entonces C también seria par y la terna no seria primitiva. Es suficiente buscar que en (A,B,C) sus elementos son primos relativos dos a dos. • A y B no pueden ser ambos impares pues sus cuadrados serian de la forma 2k+1 y la suma de ambos seria de la forma 2j con j impar, lo cual es imposible para el cuadrado de C que debería ser múltiplo de 4.(2 dividiría a C y 4 dividiría a C) • Debe haber dos impares y uno par.

9. Sean (A,B,C) supongamos que A es par y B es impar Existen m,n,q talque A=2m, C-B=2n, C+B=2q

10. Entonces n y q son cuadrados, por tanto existen s, r talque

11. s>r s y r distinta paridad ya que B y C son impares Ahora podemos expresar A en términos de s y r , ósea

13. Conclusión • Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos enteros positivos p y q primos relativos de distinta paridad y con p>q de la forma Ejemplo: (5,2)

14. Diofanto Nacido alrededor del 200/214 alejandria - fallecido alrededor de 284/298, fue un antiguo matemático griego. Se considera a Diofanto el padre del álgebra. "Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

15. p q x y z 2 1 4 3 5 3 2 12 5 13 4 1 8 15 17 4 3 24 7 25 5 2 20 21 29 5 4 40 9 41 6 1 12 35 37 6 5 60 11 61 Las ternas pitagóricas primitivas que podemos obtener con p menor o igual que 6 son las siguientes:

16. a b c na nb nc na2 nb2 nc2 3 4 5 3 4 5 9 16 25 6 8 10 36 64 100 9 12 15 81 144 225 12 16 20 144 256 400 15 20 25 225 400 625 18 24 30 324 576 900 21 28 35 441 784 1225 24 32 40 576 1024 1600 27 36 45 729 1296 2025 30 40 50 900 1600 2500 33 44 55 1089 1936 3025 36 48 60 1296 2304 3600 39 52 65 1521 2704 4225 42 56 70 1764 3136 4900 45 60 75 2025 3600 5625 48 64 80 2304 4096 6400 51 68 85 2601 4624 7225 54 72 90 2916 5184 8100 57 76 95 3249 5776 9025 60 80 100 3600 6400 10000 5 12 13 5 12 13 25 144 169 10 24 26 100 576 676 15 36 39 225 1296 1521 20 48 52 400 2304 2704 25 60 65 625 3600 4225 30 72 78 900 5184 6084 35 84 91 1225 7056 8281 Algunas ternas pitagóricas primitivas y derivadas