Некоторые приемы решения задания С6 ЕГЭ-2011

1. Некоторые приемы решения задания С6 ЕГЭ-2011

2. Задача С6 – относительно сложная, поскольку требует нестандартных путей решения. Однако для ее решения не нужны никакие специальные знания, выходящие за рамки стандарта школьного математического образования.

3. Методы решения некоторых нелинейных неопределённых уравнений: • Метод разложения на множители; • Метод оценки; • Выделение целой части. Задания для самостоятельного решения

4. I. Метод разложения на множители. 1)Найти целочисленные решения уравнения: 3х2 – 8ху – 16у2 = 19 Разложим на множители с помощью группировки либо с помощью решенияквадратного уравнения: (3x + 4y)(x - 4y)=19 Разложим число 19 на целочисленные множители: 1*19; 19*1; -1*(-19); -19*(-1) Составим системы уравнений и решим их: 3х + 4у=13х + 4у=19 х - 4у=19 х - 4у=1 3х + 4у= -13х + 4у= -19 х - 4у= -19х - 4у= -1 В итоге получаем две пары решений, которые и запишем в ответ: (5;1) и (-5;-1).

5. 2) Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45. Составим уравнение: х2 - у2 = 45. Разложим на множители: (х – у)(х + у) = 45. Разложим на множители число 45, получаем: 1*45; 3*15; 5*9. Составим системы уравнений и решим их: х – у = 1 х – у = 3 х – у = 5 х + у = 45 х + у = 15 х + у = 9 Получим три пары чисел, которые и запишем в ответ: (22; 23), (9;6) и (7;2).

6. 3) Решите уравнение в целых числах: х2 - 3ху + 2у2 = 3. Разложим на множители: (х – у)(х – 2у) = 3. Разложим число 3 на целочисленные множители: 1*3; 3*1; -1*(-3); -3*(-1). Составим системы уравнений и решим их: х – у = 1 х – у = 3 х – 2у = 3 х – 2у = 1 х – у = -1 х – у = -3 х – 2у = -3 х – 2у = -1 Получим четыре пары решений, которые и запишем в ответ: (-1; -2), (5; 2), (1; 2) и (-5; -2).

7. II. Метод оценки 1) Решите в целых числах уравнение: х2 – 2ху + 2у2 = 4 Выделим полный квадрат: (х - у)2 + у2 = 4. Оценим, получается, что -2 ≤ у ≤ 2, т.е. у = ±2, ±1, 0. При у = -2 получаем: (х + 2)2 + 4 = 4 => х = -2. При у = 2 получаем: (х – 2)2 + 4 = 4 => х = 2. При у = ±1 получаем: (х ± 1)2 + 1 = 4, (х ± 1)2 = 3 – целочисленных решений нет. При у = 0 получаем: х2 = 4 => х = ±2. Получаем четыре пары чисел, которые и запишем в ответ: (-2; -2), (2; 2), (2; 0) и (-2; 0).

8. 2) Решить в натуральных числах:(11х + 6у – 8)(6х + 8у – 1) = 100. Оценим: (11х + 6у – 8) ≥ 9 и (6х + 8у – 1) ≥ 13. 9*13 > 100 => уравнение (11х + 6у – 8)(6х + 8у – 1) = 100 натуральных корней не имеет. Ответ: корней нет. 3)Решить в натуральных числах: (3х + 5у – 7)(5х + 4у + 11) = 20. Оценим: (3х + 5у - 7) ≥ 1 и (5х + 4у + 11) ≥ 20 =>единственный возможный вариант: 3х + 5у – 7 = 1 5х + 4у + 11 = 20. Решая систему, получим: х = 1 и у = 1. Ответ: (1; 1).

9. III. Выделение целой части 1) Найти целочисленные решения уравнения: 2х2у2 + у2 = 14х2 + 25. Выразим у2: Дробь должна принимать целочисленные значения, (2х2 + 1) ≥ 0, поэтому знаменатель дроби может быть равен: 1, 2, 3, 6, 9, 18. При (2х2 + 1)= 1, х = 0. При (2х2 + 1)=2, (2х2 + 1)=6, (2х2 + 1)=18, х – не целое. При (2х2 + 1) = 3, х = ±1. При (2х2 + 1) =9, х = ±2. а) х = 0, у = ±5; б) х = ±1, у – не целое; в) х = 2, у = ±3; г) х = -2, у – не целое. Ответ: (0; 5), (0; -5), (2; 3) и (2; -3).

10. 2) Решить в целых числах уравнение: 2х2у2 + у2 - 6х2 – 10 = 0. 2х2у2 + у2 = 6х2 + 10. Выразим у2: у2 = (2х2 + 1) может быть равно: 1, 7. При (2х2 + 1) = 1, х = 0 При (2х2 + 1) = 7, х – не целое При х = 0, у – не целое Ответ: корней нет.

11. Задания для самостоятельного решения: • х2 – ху – 2у2 = 1; • х2 – 3ху + 2у2 = 3; • 5х2 + 8ху – 4у2 = 17; • х2 + 2ху + у2 = 4; • (51 – 4х – 7у)(31х + 2у – 6) = 68; • (13х + 3у -2)(2х – 8у – 13) = 11; • х2 = у2 + 2у + 8; • 2х2+х2у2-3у2=7;

12. 9) 3х2+4х2у2-8у2-12=0; • 10) 12х2-4х2у2+7у2=9; • 11) 8х2+х2у2-3у2=32; • 12) -24х2+3х2у2+4у2=48; • 13) 3х2+7х2у2=21у2+27; • 14) 7х – 3ху + 6у – 5 = 0. Ответы к заданиям

13. Диофантовы уравнения первой степени

14. Общий вид диофантовых уравнений первой степени с двумя неизвестными: ax+by+c=0, где aи b – целые числа, отличные от нуля, а с – любое целое число. Решениями этого уравнения будут служить целые числа.

24. Задания для самостоятельного решения: • 3х+2у=7; • 3у=2х+8; • 17х+34у=153; • х+12у=7; • 19х+23у=874; • 17х+31у=527; • 12х-3у=21; • 13х-26у-13=0. Ответы к заданиям

25. Ответы к заданиям: • (1; 0), (-1;0); • (-1; -2), (1; 2), (-5; -2), (5; 2); • (3; -1), (3; 7), (-3; 1), (-3; -7), • любые пары решений, удовлетворяющие равенству х+у=2 или равенству х+у= -2. • (2; 6); • корней нет; • (-4; 2), (4; 2), (-4; -4), (4; -4); • корней нет; • (2;0), (-2;0); • корней нет; • (-2;0), (2; 0); • (2; 3), (2; -3), (-2; 3), (-2; -3); • (-3;0), (3;0); • (-7; 2).

26. Ответы к заданиям (диофантовы уравнения): • х=1-2t, y=2+3t; • 2) x=2-3t, y=4-2t; • 3) x=5-2t, y=2+t; • 4) x= -5-12t, y=1+t; • 5) x=23-23t, y=19+19t; • 6) x= -31t, y= 17+17t; • 7) x=2+t, y=1+4t; • 8) x=5+2t, y=2+t.