Funktsioonid

1. Funktsioonid Õpikust lk 49-57

2. Tunni eesmärgid • Tänase tunni lõpuks Sa... • ... oskad oma sõnadega selgitada, mis asi on funktsioon. • ... tead olulisemaid mõisteid, mida kasutatakse funktsioonide kirjeldamiseks. • ... oskad leida varemõpitud funktsioonide määramis- ja muutumispiirkonda. • ... oskad leida funktsiooni väärtust mingil ette antud kohal.

3. Sissejuhatuseks • Matemaatika ajaloo võib tinglikult jagada kolmeks etapiks: • Elementaarmatemaatika periood • Klassikalise kõrgema matemaatika periood • Kaasaegse matemaatika periood • Piiriks elementaarmatemaatika ja klassikalise kõrgema matemaatika vahel võib lugeda 17. sajandi. • Sel sajandil võeti kasutusele muutuva suuruse ja funktsiooni mõisted.

4. Meenutuseks • Eelnevalt vaatlesime selliseid seoseid • Nendel kõigil on ühine see, et andes x-ile erinevaid väärtusi, saame alati välja arvutada ühe konkreetse y väärtuse.

5. Sõltuv ja sõltumatu muutuja • Sõltumatuks muutujaks ehk argumendiksnimetatakse muutujat, millele me võime ise teatud hulgast vabalt väärtusi anda. • Meie poolt käsitletavates funktsioonides on sõltumatu muutuja enamasti tähistatud x-ga. • Sõltuvaks muutujaks ehk funktsiooniksnimetatakse muutujat, mille väärtused leitakse vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele. • Meie poolt käsitletavates funktsioonides on sõltuv muutuja enamasti tähistatud y-ga või f(x)- ga.

6. Funktsiooni mõiste • Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mille järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi kindel väärtus. • (st. igale x väärtusele vastab ainult üks y väärtus) • NB! Vastupidine eikehti! St. ühele sõltuvale võib vastata mitu sõltumatu muutuja väärtust.

7. Määramis- ja muutumispiirkond • Määramispiirkonnaks nimetatakse kõigi sõltumatu muutuja võimalike väärtuste hulka. • Tähis: X • Muutumispiirkonnaks nimetatakse kõiki võimalikke väärtusi, mida saab omandada sõltuv muutuja. • Tähis: Y

8. Määramispiirkonna leidmine • Funktsiooni määramispiirkonna leidmiseks tuleb sageli tugineda kas selle nähtuse sisule, mida funktsioon kirjeldab, või vastava funktsioonitüübi omadustele. • Näiteks funktsioon y = 1,1x • Määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk • Kui aga teame, et selles funktsioonis tähistab x näiteks vanaema poolt turult ostetud kanamunade arvu, siis kuuluvad määramispiirkonda ainult positiivsed täisarvud ja null.

9. Näide 1 • Leiame järgmiste funktsioonide määramispiirkonnad

10. Muutumispiirkonna leidmine • Muutumispiirkonna leidmiseks võib kasutada kas loogilist arutelu, tuginedes funktsiooni omadustele või graafikule, või pöördfunktsiooni mõistet, mida õpime hiljem.

11. Funktsiooni tähistamine • Funktsiooni esitavat vastavust märgitakse üles järgmiselt: • y = f(x), kus x X ja y Y ja f on eeskiri, mille kohaselt argumendi igale väärtusele seatakse vastavusse funktsiooni väärtus. • Vastavust võib tähistada ka teiste tähtedega, näiteks y = g(x).

12. Funktsiooni tähistamine (2) • Suurus f(x) tähistab funktsiooni f väärtust, mis vastab argumendi väärtusele x. • Kirjutis f(a) tähistab funktsiooni y = f(x) väärtust, kui argument x = a. • Näiteks • Kui • Siis

13. Ajaloost... • Termini “funktsioon” võttis kasutusele Saksa matemaatik Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). • 1698 aastal võttis tema kasutusele ka mõisted “muutuja” ja “konstant”.

14. Ajaloost... (2) • Funktsiooni mõistet arendasid edasi Šveitsi matemaatik Leonhard Euler (1707-1783) ja Prantsuse matemaatik Jean Babtiste Joseph Fourier (1768-1830).

15. Ajaloost... (3) • 17. sajandil avastati ka seos funktsiooni ja joone mõistete vahel. • Olgu antud mingi funktsioon, mille määramispiirkond on X. • Märgime koordinaatteljestikku punktid, mille koordinaatideks on x ja f(x). • Kõigi selliste punktide hulka (x;f(x))nimetatakse funktsiooni graafikuks.

16. Funktsiooni esitusviisid • Funktsiooni võib esitada järgmistel kujudel: • Analüütiline kuju (valemi abil) • Graafik • Tabel • Arvupaarid

17. Ülesanded • Õpikust ÜL 192, 195, 198

18. Lõpetuseks • “Arengon loomingufunktsioonjaõpetajaülesanne on loovuseavanemisekskeskkondluua.” Aivar Haller

19. Tunni eesmärkide ülevaade • Kas Sa... • ... oskad oma sõnadega selgitada, mis asi on funktsioon? • ... tead olulisemaid mõisteid, mida kasutatakse funktsioonide kirjeldamiseks? • ... oskad leida varemõpitud funktsioonide määramis- ja muutumispiirkonda? • ... oskad leida funktsiooni väärtust mingil ette antud kohal?

20. Jälgimine • Täida lüngad • Sõltumatuks muutujaks ehk ......................... nimetatakse muutujat, millele võime ise teatud hulgast vabalt väärtusi anda. • Kõigi x-i võimalike väärtuste hulka nimetatakse ....................................... . • Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mis seab igale ............. väärtusele vastavusse täpselt ühe .............. väärtuse. • Leia f(3), kui f(x) = x2 – 2x + 3