Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

1. Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2. „Po co ludzie uczą się matematyki? Żeby uczyć matematyki innych.” Hugo Steinhaus

3. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ – METODA PODSTAWIANIA. Istnieje wiele metod rozwiązywania układów równań, jedną z nich jest metoda podstawiania. Aby nauczyć się rozwiązywać układy dwóch równań z dwiema niewiadomymi, musisz umieć rozwiązywać równania z jedną niewiadomą.

4. METODA PODSTAWIANIA Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego z równań jednej z niewiadomych i podstawieniu jej do drugiego równania. W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą. UWAGA Staraj się zawszę wyznaczyć tą niewiadomą, która jest łatwiejsza do wyznaczenia. Zawsze poszukuj optymalnej drogi do rozwiązania.

5. PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. 2(4 – 2y) – y = 3 8 – 4y – y = 3 -5y = 3 – 8 -5y = -5 | :(-5) y = 1 Pierwsze równanie przekształcamy tak, aby wyznaczyć z niego x. Z pierwszego równania wyznaczamy x i podstawiamy otrzymane wyrażenie w miejsce x do drugiego równania. Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną niewiadomą (y).

6. PRZYKŁADY. Aby obliczyć wartość x wstawiamy y = 1 do równania x = 4 – 2y PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. UWAGA Powyższy układ równań ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb x = 2 i y = 1. Te dwie liczby stanowią jedno rozwiązanie układu równań, gdyż jednocześnie spełniają oba równania tego układu. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 2 i y = 1.

7. PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Z pierwszego równania wyznaczamy x i podstawiamy otrzymane wyrażenie w miejsce x do drugiego równania. Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną niewiadomą (y). Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 4 i y = 2.

8. PRZYKŁADY. Z pierwszego równania wyznaczamy x i podstawiamy otrzymane wyrażenie w miejsce x do drugiego równania. PRZYKŁAD 3. 2x + 3y = 4 | -3y 2x = 4 – 3y | :2 x = 2 – 1,5y 16 – 12y – 5y = -1 Wyznaczone x. Podstawiamy wzór na x do drugiego równania. Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną niewiadomą (y).

9. PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3 – ciąg dalszy. 16 – 12y – 5y = -1 -17y = -1 – 16 -17y = -17 | :(-17) y = 1 Aby obliczyć wartość x wstawiamy y = 1 do równania x = 2 – 1,5y Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 0,5 i y = 1.

10. PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Oto zastosowanie metody podstawiania do rozwiązania prostego układu trzech równań z trzema niewiadomymi. Z pierwszego równania wyznaczamy x. Podstawiamy x do drugiego i trzeciego równania otrzymując w ten sposób układ równań z dwiema niewiadomymi – y i z.

11. PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4 – ciąg dalszy. 3y + 12 – 6y = 9 3y – 6y = 9 – 12 -3y = -3 |:(-3) y = 1 z = 4 – 2 ∙ 1 = 2 x = 1 Rozwiązujemy układ dwóch równań, z dwiema niewiadomymi. Na początek z pierwszego równania wyznaczamy z. Podstawiamy z do drugiego równania. z oraz x obliczamy z wyznaczonych wcześniej wzorów.

12. PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4 – ciąg dalszy. Rozwiązaniem układu jest trójka liczb spełniających jednocześnie wszystkie trzy równania: x = 1, y = 1 i z = 2. Zapisujemy rozwiązanie.