MODELAMIENTO DE PROCESOS

1. 1 MODELAMIENTO DE PROCESOS ¿Cómo construir modelos matemáticos de sistemas reales? • Experiencias recogidas de los expertos y la literatura existente. • Observaciones del sistema y experimentos desarrollados son la base para describir todas sus propiedades.

2. A: área sección transversal (m2) a: área del orificio de salida (m2) h: nivel del liquido en el tanque (m) : flujo de entrada (m3/s) q: flujo de salida (m3/s) 2 Ejemplo de modelamientoTanque con flujo de salida libre  Se necesita construir un modelo para saber como el flujo de salida depende del flujo de entrada.

3. La ley de Bernoulli describe la relación entre la velocidad del fluido de salida y el nivel: (1) g: aceleración de la gravedad. La relacion entre el flujo de salida y la velocidad del fluido: q(t) = a v(t) (2) El volumen del liquido en el tanque: V(t) = A h(t) (m3) (3) Balance de masa con densidad constante: (4) 3

4. Las ecuaciones (1) – (4) constituyen el modelo para el sistema del tanque. (5) Evolución de h(t) cuando: (t) = 1; h(0) = 0 y h(0) = 2 A = 1; a√2g = 1 4

5. Modelos para sistemas y señales Tipos de modelos: Modelos matemáticos y modelos de señal Diagrama de bloques Modelos de simulación Señales de entrada, salida y disturbio Parámetros constantes. Parámetros variables. Parámetros del sistema. Propósito de Parámetros de diseño. diseño. Señales externas. 5

6. 6 Ecuaciones Diferenciales Para el caso del tanque: x(t) = h(t), (t) = (t) y(t) = q(t), n =1, m = 1, p = 1 Existen dos formas de expresar las ecuaciones diferenciales: g(.,.,..,.) : Función no lineal, vector. • La otra manera es introduciendo un numero de variables internas: x1(t),………….xn(t) En notación vectorial

7. 7 • f(x,) es una funcion vectorial con n componentes En notación vectorial: Las salidas del modelo pueden ser calculadas de las variables internas xi(t), y las entradas i(t) :

8. Modelo externo: Relaciona directamente las variables externas con las de salida. Soluciones estacionarias En muchos casos en la practica la entrada es constante en un largo periodo de tiempo: Para un valor de , sea el vector , solución de la ecuación: La solución de la ecuación diferencial   y y Modelo externo Modelo interno 8

9. Con la condición inicial: Flujo de masa sale del sistema Cambio de masa que reside en el sistema Flujo de masa entrada al sistema 9 Y la solución es constante e igual a La solución es llamada solución estacionaria {x0, u0}: Punto estacionario de la ecuación diferencial. Ejemplo: Para el caso del tanque, si el flujo de entrada u(t) es constante e igual u0, se puede encontrar la solución estacionaria: El flujo de salida estacionario: Leyes fundamentales para el modelamiento • Ecuación de continuidad Principio de conservación de masa:

10. Ecuación de continuidad para un componente Los componentes químicos no son conservados. Si una reacción ocurre en un sistema, el numero de moles de un componente individual se incrementaría si él es un producto de reacción ó se reduce si es un reactante. La ecuación de continuidad de componente de masa del sistema estable: La ecuación de balance global de masa tiene: • La ecuación de balance total • NC: balances de componentes Ejemplo: Considere un tanque perfectamente mezclado, donde ocurre una reacción química en el liquido dentro del tanque. El componente A reacciona irreversiblemente, a una Rata de reacción especifica k forma el producto B. Rata de formación de moles de la reacción química Cambio de masa que reside en el sistema Flujo de moles entran al sistema Flujo de moles sale del sistema 10

11. A B 11 CA0: Concentración del componente A en el flujo de alimentación. (moles A/volumen) CA: Concentración en el reactor. Se asume una reacción simple de primer orden. Para un balance del componente del reactivo, A: Flujo de A entra al sistema = F0CA0 Flujo de A sale del sistema = FCA Rata de formación de A de la reacción = -VkCA Rata de cambio de A en el tanque: La ecuación de balance del componente A: Por ser sistema binario (componentes A y B) para el componente B: El signo + denota que B esta siendo producido por la reacción. La ecuación de continuidad total se usaría mientras CA,CB y ρ están relacionados por: MACA + MBCB = ρ MA y MB : Son los pesos moleculares de los componentes A y B.

12. k1 k2 C A B 12 Ejemplo:Se tiene el mismo sistema macroscopico del caso anterior, pero ocurre reacciones consecutivas. Asumiendo reacciones del primer orden, las ecuaciones de continuidad para los componentes A, B y C: Las concentraciones de los componentes están relacionados con la densidad:

13. 13 • Ecuación de Energía De la primera ley de la termodinámica establece el principio de conservación de la energía. Para un sistema abierto: Ejemplo: Considere el sistema ESTR, con un bobina de enfriamiento dentro del tanque, para remover el calor exotérmico de la reacción λ(Btu/lb.mol de A reaccionado ò cal/g.mol de A reaccionado) λ: es – para reaccion exotermica. λ: es + para reacción endotérmica. La tasa de generación de calor debido a la reacción es la tasa de consumo de A veces λ. Flujo energía interna cinética, potencial entra al sistema por conveccion o difusión Flujo energía interna cinética, potencial sale del sistema por conveccion o difusión Calor adicionado al sistema por conducción, radiación y reacción Trabajo cedido por el sistema a los alrededores (trabajo pv o de un eje) Rata de cambio de la energía interna, cinética, potencial dentro del sistema

14. F0 CA0 Ρ0 T0 14 . La tasa de calor removido de la reacción de la masa por la bobina de enfriamiento es –Q La ecuación de energía para este sistema es: Donde: U: Energía interna (energía/masa) K: Energía cinética (energía/masa) : Energia potencial (energia/masa) W: Trabajo del eje dado por el sistema (energía/tiempo) P: Presión del sistema P0: Presión del flujo de alimentación T F CA ρ V CA ρ T -Q Reactor con calor removido

15. 15 Consideraciones: • No hay trabajo W = 0 • K = 0; velocidades de los fluidos de entrada y salida no son muy altas. •  = 0; si las elevaciones de los flujos de entrada y salida son las mismas. La ecuación se reduce a: Donde, es el volumen especifico (ft3/lbm o m3/kg) La entapia H o h es definitiva: H ó h: Entalpía para flujo liquido H: Entalpía para flujo vapor Para el CSTR:

16. 16 Para líquidos el termino P es despreciable comparado con el termino U. Las entapias son funciones de la composición, temperatura y presión, pero principalmente de la temperatura. De la termodinámica: La entalpía del liquido puede ser expresada: Asumiendo que las densidades de los fluidos líquidos son constantes. Con estas simplificaciones Ecuaciones de movimiento De la segunda ley de Newton, se conoce: Donde, F = Fuerza, lbf M = Masa, lbm gc: Constante de conversión a = aceleración, ft/s2 =32.0lbm/lbfs2

17. 17 En ocasiones cuando la masa varia con el tiempo (conservación del momentum) Donde, vi : Velocidad en la dirección i, ft/s Fji : J-esima fuerza en la dirección i La conservación del momentum dice que la rata de cambio del momentum en la dirección i, es igual a la suma neta de las fuerzas pulsantes actuando en la dirección i. Ejemplo: En el caso del sistema del tanque, es un ejemplo de aplicación de las ecuaciones de movimiento en un sistema macroscopico. Si el flujo es turbulente: M = AP Lρ La velocidad del fluido: La parte del proceso que es modelado por un balance de fuerzas es el liquido que fluye en la tubería. Ante un cambio en la rata del flujo de salida entonces la velocidad del liquido debe cambiar, y el momentum del liquido debe ejercer una fuerza sobre el liquido.

18. 18 La fuerza de presión hidráulica es la fuerza pulsante en dirección de izquierda a derecha: La fuerza que se opone a la fuerza pulsante es la fuerza de fricción debido a la viscosidad del fluido. Si el fluido es turbulento: Ecuaciones de estado En el momento matemático de procesos, se necesita saber como las propiedades físicas, densidad, entalpía, cambia con la temperatura, presión y composición. Densidad liquido = Densidad vapor = Entalpía liquido = Entalpía vapor =

19. 19 En muchos casos se hacen simplificaciones sin sacrificar mucho la precisión global. Tal caso entalpía: En un segundo nivel de complejidad se haría CP como función de la temperatura: La ecuación de entalpía: Si los efectos del calor de la mezcla son despreciables, las entalpías del componente puro puede ser promediada: xj: Fracción molar del J – componente Mj: Peso molecular del J – componente hj: Entalpía del J – componente puro

20. 20 • Densidad de los líquidos puede ser asumido constante en muchos sistemas a menos que grandes cambios en la composición y la temperatura ocurran. • Las densidades del vapor usualmente no puede ser considerada invariante y es requerida alguna clase de relación PVT. Frecuentemente se usa la ley de los gases perfectos: PV = MRT Donde, P = presión absoluta ( lbf/ft2 o kilo pascal ) V = volumen ( ft3 o m3 ) n: numero de moles ( lb mol o Kg mol ) R: constante = 1545 lbf.ft/lb.mol.oR ó 8.3/4 Kpa.m3/Kg mol.K T: temperatura absoluta ( oR ó oK ) En el caso de expresar una ecuación para la densidad De un gas perfecto con peso molecular M,

21. 21 Cinética química En el modelamiento de reactores químicos es necesario estar familiarizado con las relaciones básicas y la terminología que describe la cinética de las reacciones químicas. Dependencia de la temperatura de Arrhenius: Rata de reacción especifica Factor pre_exponencial Energía de activación ( Btu/lbmol ó cal/g.mol ) Constante de los gases perfectos ó 1.99 cal/g.mol k