Gráficos de Ligaduras de Sistemas Mecánicos

1. Veremos ahora con algo más de detalle el modelado de sistemas mecánicos 1D utilizando gráficos de ligaduras. En primer lugar, veremos el problema de las restricciones holonómicas en sistemas mecánicos. Luego, discutiremos como puede construirse una librería de gráficos de ligaduras envasados de sistemas mecánicos. Finalmente, veremos un algoritmo simbólico para la selección de estados. Gráficos de Ligaduras de Sistemas Mecánicos

2. Variables de estado en sistemas mecánicos Restricciones holonómicas Envase de gráficos de ligaduras de sistemas mecánicos Selección de estados Condiciones iniciales Variables protegidas Ejemplo Algoritmo de selección de estados Contenido

3. Ya hemos visto que las masas (inercias) pueden modelarse usando inductores de gráficos de ligaduras, mientras que los muelles pueden modelarse utilizando capacidades. Luego, las variables de estado naturales para una descripción en gráficos de ligaduras de sistemas mecánicos son las velocidades (angulares) absolutas de los cuerpos y las fuerzas (pares de torsión) en los muelles. En el modelo de un sistema mecánico descrito de esta manera, las posiciones (angulares) se pierden. Éstas no son necesarias para una descripción propia y completa de la dinámica del sistema. Variables de Estado en Sistemas Mecánicos

4. Esto causa problemas, ya que es relevante saber si dos cuerpos ocupan el mismo lugar en el mismo instante, es decir, si los cuerpos chocan entre sí. También, cuando dos cuerpos están conectados en un punto (por ejemplo a través de una articulación), no alcanza con decir que las velocidades de estos puntos son iguales. Debe decirse que las posiciones son idénticas. Tales restricciones posicionales, en la literatura de la mecánica, se denominan restricciones holonómicas. Las restricciones correspondientes en la velocidad (restricciones no holonómicas) no necesitan especificarse por separado ya que pueden derivarse automáticamente de las restricciones holonómicas. Restricciones Holonómicas I

5. Por esto, convendría encontrar una descripción alternativa que utilice velocidades y posiciones absolutas de los cuerpos como variables de estado, dejando de lado las fuerzas en los muelles. ¿Puede hacerse esto en el marco de la metodología de los gráficos de ligaduras? Sí, y así es como se construyeron las dos librerías de gráficos de ligaduras envasados de mecánica 1D (para movimientos de traslado y de giro). Restricciones Holonómicas II

6. Introduciremos dos conectadores de traslado de tipo brida. Estos son similares a los de la biblioteca estándar, pero no son idénticos ya que tienen una segunda variable de potencial: la velocidad, v. Por esto, nuestros modelos mecánicos serán incompatibles con los de la biblioteca estándar. Ambos modelos de brida son en realidad idénticos. Se ofrecen dos conectadores diferentes sólo por motivos visuales. Los Conectadores Mecánicos

7. También necesitamos un conectador para señales reales. Este es similar a los conectadores de entrada y salida de la biblioteca de bloques, pero la señal es bidireccional en vez de ser unidireccional. Los Conectadores Mecánicos II

8. Necesitamos modelos de envase que conviertan los conectadores mecánicos en conectadores de gráficos de ligaduras y viceversa. Dado que los conectadores de los gráficos de ligaduras no pueden incluir la información de la posición, ésta debe separarse en un segundo conectador de señal. Modelos de Envase

9. Dado que el conectador mecánico corresponde a un nodo mecánico, es decir, un punto donde la suma de las fuerzas (pares de torsión) es cero, corresponde a una unión 1 en gráficos de ligaduras en lugar de una unión 0. Consecuentemente, es aquí que la variable de esfuerzo deberá tener signo negativo. Modelos de Envase II

10. Ahora veremos el modelo de una masa deslizante. Modelo de la Masa Deslizante Las variables de estado son la variable f del modelo inductor y la salida del integrador interno del sensor q.

11. El modelo está dividido en una parte superior (un gráfico de ligaduras) que opera con velocidades y fuerzas, y una parte inferior (señal) que trata con la información posicional. La posición s calculada por el sensor es la posición del centro de masa de la barra. La posición del conectador izquierdo está a una distancia de L/2 hacia la izquierda del centro, y el derecho a una distancia L/2 hacia la derecha. Estos valores posicionales están distribuidos hacia la izquierda y la derecha a través de los conectadores mecánicos. Modelo de la Masa Deslizante II modelo en gráfico de ligaduras (v,f) modelo gráfico de señal (s)

12. Las variables de estado naturales de este modelo son las internas I.f y sAbs.Integrator1.y. Esto no es conveniente. El usuario podría preferir usar las variables locales v y s del modelo de la masa como variables de estado. Se le puede indicar a Dymola que modifique, si es posible, las variables que se utilizan como estados, o sea, las que aparecen en el código de simulación con el operador der(). Discutiremos más adelante en esta clase como puede lograrse esto. Modelo de la Masa Deslizante III

13. Una pregunta que nos queda es para que variables debemos especificar condiciones iniciales. ¿Lo hacemos para las nuevas variables de estado s y v, o lo hacemos para las variables de estado naturales? Resulta que podemos hacerlo para cualquiera, pero no para ambas. Dymola utilizará los valores especificados como valores iniciales de iteración e iterará para obtener los valores de los nuevos estados desconocidos hasta que encuentre un conjunto de condiciones iniciales consistente con la información especificada por el usuario. Modelo de la Masa Deslizante IV

14. Veremos ahora el modelo de un muelle. Modelo del Muelle El muelle se modela como una fuente de esfuerzo modulada, o sea, sin un integrador propio. Éste toma la información posicional a través de sus dos terminales.

15. El muelle puede describirse utilizando la ecuación: o bien usando la forma derivada: Hasta ahora, siempre usamos la segunda representación, es decir, una capacidad, pero ahora estamos utilizando la primera. En principio, ambas funcionan igualmente bien. Modelo del Muelle II fx = k · (xleft – xright ) dfx/dt = k · (vleft – vright )

16. Hay un problema, sin embargo. El nuevo modelo de muelle toma la información posicional necesaria a través de sus dos terminales. Como la información posicional se calcula únicamente en las masas y marcos inerciales, este modelo puede ser colocado sólo entre dos masas o entre una masa y la tierra. En particular, no es posible conectar en serie un muelle y un amortiguador. Modelo del Muelle III

17. El modelo anterior (con una capacidad) no tiene esta limitación. Por esto, nuestro nuevo modelo de muelle explota un pequeño truco. … el mismo truco que de hecho usa la biblioteca estándar, aunque sin ofrecer una interpretación en gráficos de ligaduras. Modelo del Muelle IV

18. La capa de las ecuaciones no ofrece ninguna sorpresa. La posición y velocidad relativa del muelle se calculan aquí, ya que estas son variables que el usuario podría querer graficar. Modelo del Muelle V El resto de los modelos de la biblioteca son lo que esperaríamos que fueran, y por lo tanto no hace falta discutirlos aquí.

19. Veamos ahora la vista expandida de la capa de ecuaciones del modelo del muelle. Coloqué manualmente la palabra protected delante de las declaraciones de variables hacia el interior de los modelos de envase. El objetivo es evitar que dichas variables se muestren en la ventana de simulación. De esta manera, los parámetros del modelo se verán de la misma forma en la ventana de simulación que usando la librería estándar. Este modelo fue envasado ajustada-mente. Envase Ajustado – Variables Protegidas

20. Dado el siguiente sistema mecánico: Ejemplo

21. Usando la biblioteca de traslado que forma parte de la biblioteca mecánica de la BondLib, el sistema puede modelarse como sigue: Ejemplo II

22. Las condiciones iniciales fueron calculadas correctamente. Debido a la ocultación de información (variables protegidas), sólo las variables externas a los modelos de envase son visibles. Ejemplo III

23. Hasta ahora siempre usamos los voltajes a través de una capacidad y las corrientes a través de una inductancia como variables de estado. Si tratamos con sistemas multicuerpos, importa mucho la selección de las variables de estado, porque influye fuertemente la eficacia del código de simulación obtenido. Si seleccionamos las variables de estado bien, el número de ecuaciones de simulación de un sistema multicuerpos estructurado como un árbol crece de forma lineal con el número de grados de libertad. Si seleccionamos mal las variables de estado, el número de ecuaciones de simulación crece con la cuarta potencia del número de grados de libertad. Selección de las Variables de Estado

24. Para esto tendríamos que usar las posiciones y velocidades relativas de las articulaciones como variables de estado preferidas. Dymola soporta el concepto de elegir variables de estado diferentes de aquellas que el sistema usaría normalmente. Para ello, el usuario puede declarar variables de estado deseadas de la forma siguiente: Dymola cumplimenta esta instrucción por medio de una versión modificada del algoritmo dePantelides. Selección de las Variables de Estado II Real x(stateSelect = StateSelect.prefer)

25. Si la variable de estado deseada ya aparece de forma derivada, úsala si es posible como variable de estado. Si la variable de estado deseada no aparece aún de forma derivada, se debe derivar la ecuación que evalúa la variable deseada, añadirla al conjunto de las ecuaciones y generar un nuevo integrador para ella. Ahora tenemos una ecuación superflua. Si hay variables algebraicas adicionales que se derivan en el proceso de la diferenciación, se derivan las ecuaciones que definen estas variables también y se añaden al conjunto de ecuaciones sin introducir nuevos integradores para ellas. Selección de las Variables de Estado III

26. En el proceso de estas diferenciaciones adicionales, las nuevas variables y ecuaciones se añaden al conjunto de tal manera que al final del proceso todavía nos queda una ecuación superflua. Si la variable de estado deseada es legítima, aparece al menos una de las variables de estado seleccionadas antes en el conjunto de las ecuaciones derivadas. Se elimina el integrador asociado con esta variable del sistema. Ahora tenemos de nuevo el mismo número de ecuaciones y variables. Selección de las Variables de Estado IV

27. Dado nuestro circuito eléctrico “estándar”. Ya sabemos como puede obtenerse un conjunto de ecuaciones del mismo. 1:U0 = f(t) 2:v2 = uC 3:uR2 = uC 4:uL = U0 5:v1 = U0 6:iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9:iC = iR1 – iR2 10:i0 = iL + iR1 11:diL/dt = uL / L1 12:duC/dt = iC / C1 Selección de las Variables de Estado V 

28. Queremos obtener un conjunto modificado de ecuaciones de simulación que use la variable uR1 como variable de estado, eliminando una de las variables de estado naturales del conjunto. Para mostrar el método aplicaremos manualmente el algoritmo de selección de las variables de estado. Selección de las Variables de Estado VI

29. Continuar con esta ecuación. 1:U0 = f(t) 2:v2 = uC 3:uR2 = uC 4:uL = U0 5:v1 = U0 6:iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9:iC = iR1 – iR2 10:i0 = iL + iR1 11:diL/dt = uL / L1 12:duC/dt = iC / C1 dv1 = dU0 Derivar ahora estas dos ecuaciones. dv2 = duC Derivar esta ecuación mientras se introduce una nueva derivada para uR1, pero no para v1 ni para v2. Eliminar este integrador. Selección de las Variables de Estado VII duR1/dt = dv1 – dv2 dU0 = df(t)/dt

30. Ahora se aplica el algoritmo de Tarjan al nuevo conjunto. duR1/dt = dv1 – dv2 duR1/dt = dv1 – dv2 1:U0 = f(t) 2: v2 = uC 3: uR2 = uC 4: uL = U0 5: v1 = U0 6: iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8: iR1 = uR1 / R1 9: iC = iR1 – iR2 10: i0 = iL + iR1 11: diL/dt = uL / L1 12: duC = iC / C1 1:U0= f(t) 2: v2 = uC 3: uR2 = uC 4: uL = U0 5: v1 = U0 6: iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9: iC = iR1 – iR2 10: i0 = iL + iR1 11: diL/dt = uL / L1 12: duC = iC / C1 dv1 = dU0 dv1 = dU0 dv2 = duC dv2 = duC dU0 = df(t)/dt dU0 = df(t)/dt Selección de las Variables de Estado VIII 

31. duR1/dt = dv1 – dv2 duR1/dt = dv1 – dv2 1:U0= f(t) 2: v2 = uC 3: uR2 = uC 4:uL = U0 5:v1 = U0 6: iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9: iC = iR1 – iR2 10:i0 = iL + iR1 11: diL/dt = uL/ L1 12: duC = iC / C1 1:U0= f(t) 2: v2 = uC 3: uR2 = uC 4: uL = U0 5: v1 = U0 6: iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9: iC = iR1 – iR2 10: i0 = iL + iR1 11: diL/dt = uL / L1 12: duC = iC / C1 dv1 = dU0 dv1 = dU0 dv2 = duC dv2 = duC dU0 = df(t)/dt dU0 = df(t)/dt Selección de las Variables de Estado IX 

32. duR1/dt = dv1 – dv2 duR1/dt = dv1 – dv2 1:U0= f(t) 2:v2 = uC 3: uR2 = uC 4:uL = U0 5:v1 = U0 6: iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9: iC = iR1 – iR2 10:i0 = iL + iR1 11:diL/dt = uL/ L1 12: duC = iC / C1 1:U0= f(t) 2: v2 = uC 3: uR2 = uC 4:uL = U0 5:v1 = U0 6: iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9: iC = iR1 – iR2 10:i0 = iL + iR1 11: diL/dt = uL/ L1 12: duC = iC / C1 dv1 = dU0 dv1 = dU0 dv2 = duC dv2 = duC dU0 = df(t)/dt dU0 = df(t)/dt Selección de las Variables de Estado X 

33. duR1/dt = dv1 – dv2 duR1/dt = dv1 – dv2 1:U0= f(t) 2:v2 = uC 3:uR2 = uC 4:uL = U0 5:v1 = U0 6:iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9:iC = iR1 – iR2 10:i0 = iL + iR1 11:diL/dt = uL/ L1 12:duC = iC/ C1 1:U0= f(t) 2:v2 = uC 3: uR2 = uC 4:uL = U0 5:v1 = U0 6: iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9: iC = iR1 – iR2 10:i0 = iL + iR1 11:diL/dt = uL/ L1 12: duC = iC / C1 dv1 = dU0 dv1 = dU0 dv2 = duC dv2 = duC dU0 = df(t)/dt dU0 = df(t)/dt Selección de las Variables de Estado XI 

34. Finalizamos con 16 ecuaciones y 16 incógnitas en lugar de las 12 ecuaciones y 12 incógnitas que había originalmente. Esta solución es un poco menos eficiente en cuanto al tiempo de ejecución. Sin embargo, las variables que aparecen derivadas en el modelo son la corriente del inductor iL y el voltaje en la resistencia uR1. duR1/dt = dv1 – dv2 1:U0= f(t) 2:v2 = uC 3:uR2 = uC 4:uL = U0 5:v1 = U0 6:iR2 = uR2 / R2 7:uR1 = v1 – v2 8:iR1 = uR1 / R1 9:iC = iR1 – iR2 10:i0 = iL + iR1 11:diL/dt = uL/ L1 12:duC = iC/ C1 dv1 = dU0 dv2 = duC dU0 = df(t)/dt Selección de las Variables de Estado XII