Algoritmos de Busca em Prolog

1. Algoritmos de Busca em Prolog Introdução a Prolog

2. Histórico de Prolog • Desenvolvida de 1970 em Marselha/França • Objetivo inicial: integrar uma técnica de prova automática de teoremas (Princípio de Resolução de Robinson) numa linguagem de programação para processamento de linguagem natural • Recebeu melhoramentos teóricos e uma implementação eficiente ainda na década de 70 na Universidade de Edimburgo/Escócia.

3. Características de Prolog • Programação Declarativa ao invés de Procedimental • Deve-se buscar objetos e relações entre estes objetos que ocorrem dentro da definição de um problema. Ex. ‘Maria gosta de João’ • Relações também podem ser expressas através de regras. Ex. Duas pessoas A e B se gostam mutuamente se A gosta de B e B gosta de A. Duas pessoas são irmãs se são ambas do sexo feminino e têm os mesmos pais.

4. Características de Prolog • Programação Prolog consiste em: • Declarar alguns fatos sobre objetos e suas relações • Definir algumas regras sobre objetos e suas relações • Fazer consultas sobre objetos e suas relações

5. Declarando Fatos • gosta(maria,joao). • Os nomes de todas as relações e objetos devem começar com minúsculas • A relação (gosta) vem em primeiro lugar, seguida pelos objetos entre parêntesesis e separados por vírgula • Deve-se colocar um ponto “.” ao final do fato • A ordem de apresentação dos objetos é arbitrária, mas uma vez escolhida deve ser respeitada para evitar inconsistências. • O exemplo acima significa “Maria gosta de João”

6. Declarando Fatos • O nome de uma relação é chamado de predicado • Os nomes dos objetos dentro dos parêntesis são chamados de argumentos • A aridade de um predicado é o número de argumentos que possui • Fatos em Prolog permitem expressar relações arbitrárias entre objetos • Uma coleção de fatos em Prolog é denominada de base de dados

7. Fazendo Consultas • Uma consulta é semelhante a um fato, exceto que se coloca um símbolo especial “-?” antes dela. Ex. ?- pai(jose,joao). • Uma consulta desencadeia uma busca na base de dados tentando-se casar o fato contido na questão (objetivo) com um daqueles contidos na base de dados. Se um fato é encontrado, a resposta é sim “yes”, caso contrário não “no”. • Dois fatos casam se seus predicados são os mesmos e se cada um de seus argumentos correspondentes são os mesmos.

8. Exemplos de Consultas gosta(maria, joao). gosta(jose, cristina). gosta(teresa,jose). Consultas: ?- gosta(joao,maria). no ?-gosta(teresa,jose). yes

9. Mais Exemplos de Consultas nasceu(jose,paraiba). nasceu(joao,pernambuco). brasileiro(paulo). brasileiro(joao). ?-nasceu(jose,paraiba). yes ?-brasileiro(joao). yes ?-brasileiro(jose). no • Em Prolog, a resposta negativa é utilizada com o significado de “nada casa com a questão” e não com o significado que a questão é falsa!

10. Variáveis • “X é filho de Pedro?”: neste caso Prolog deve apresentar todas as possibilidades para o significado de X • Nomes de variáveis representam objetos a serem determinados por Prolog • Instanciadas: quando assumiram o valor de um objeto • Não Instanciadas: caso contrário

11. Variáveis: um Exemplo gosta(paulo,teresa). gosta(joao,natureza). gosta(maria,chocolate). gosta(maria,natureza). gosta(pedro,ana). gosta(joao,maria). ?- gosta(joao,X). X=natureza • Para concluir a consulta, basta pressionar RETURN • Para tentar re-satizfazer a questão, pressiona-se “;” (ponto-e-vírgula) seguido por RETURN. X=natureza; X=maria; no

12. Conjunções • A consulta “Maria gosta de João e João gosta de Maria?” pode ser expressa por: ?-gosta(joao,maria), gosta(maria,joao). no • A vírgula “,” é lida como “e”, servindo para separar qualquer número de objetivos diferentes. • Todos os objetivos precisam ser satisfeitos para que a conjunção de objetivos também seja.

13. Conjunções e Variáveis • Existe um objeto tal que João e Maria gostam? ?- gosta(maria,X), gosta(joao,X). • A base de dados é pesquisada para o 1o objetivo. X é instanciada com chocolate. • Agora a base de dados é pesquisada para gosta(joao,chocolate). • Como não existe tal fato, o último objetivo falha e tenta-se re-satisfazer o anterior. • Parte-se do ponto em que X foi instanciada pela última vez. X é instanciada desta vez com natureza. • Prolog tenta satisfazer o 2o objetivo na forma gosta(joao,natureza), o que é possivel. • Neste ponto como ambos os objetivos puderam ser satisfeitos, Prolog responde então com X=natureza.

14. Regras • São utilizadas quando se deseja afirmar que um fato depende de um grupo de outros fatos. • As regras também são utilizadas para expressar definições. Ex.: “Um indivíduo X é avô de outro indivíduo Y se existe um indivíduo Z que é filho de X e pai de Y” • Outro exemplo: “X é um um cachorro de X é um animal e X late”

15. Regras • Em Prolog uma regra consiste de uma cabeça e um corpo. A cabeça e o corpo são separados pelo símbolo “:-” (dois pontos e hífen), que se pronuncia “se”. • Os dois exemplos de regras anteriores podem ser expressos em Prolog como: avo(X,Y) :- filho(Z,X0, pai(Z,Y). cachorro(X) :- animal(X), late(X).

16. Regras • O escopo de uma variável é definido como sendo toda a regra (da cabeça até o ponto) na qual a variável se encontra. • Sempre que uma variável X está instanciada, todos os outros Xs dentro do escopo da variável também devem estar instanciados com este mesmo objeto. • A variável X que aparece na regra “avo” não tem qualquer relação com o X que aparece na regra do “cachorro”.

17. Exemplo de Regra homem(joao). homem(jose). homem(pedro). mulher(maria). mulher(ana). mulher(paula). mulher(joana). mulher(alice). pais(joao,maria,jose). pais(paula,alice,pedro). pais(ana,maria,jose). pais(joana,alice,pedro). irma_de(X,Y) :- mulher(X), pais(X,M,P), pais(Y,M,P).

18. Exemplo de Regra • Como Prolog responde a consulta: ?- irma_de(joana,paula).

19. Processamento de Listas em Prolog • Construção de Listas cons(X,Y,[X|Y]). ?-cons(a,b,Z). Z=[a,b] ou Z=[a|b] ?-cons(a,[],Z). Z=[a]. ?-cons(a,X,[a,b,c]). X=[b,c]. ?-cons([a,b,c],[d,e],Z).

20. Elementos de uma Lista • membro(X,L). membro(b,[a,b,c]). membro([b,c],[a,[b,c],d]). membro(b,[a,[b,c]]). X é membro de L se • X é a cabeça de L, ou • X é membro do corpo de L Falso!

21. Elementos de uma Lista membro(X,[X|C]). membro(X,[_|C] :- membro(X,C). ?-membro(a,[a,b,c]). yes ?-membro(´Natal´, [´Recife´, ´Natal´, ´Campina´]. yes ?-membro(1,[[1,2],3,4]). no

22. Concatenação de Listas • conc(L1,L2,L3), onde L1 e L2 são duas listas e L3 é a concatenação resultante. conc([a,b],[c,d],[a,b,c,d]). • Dois casos devem ser considerados para a definição de conc/3: • Se o primeiro argumento é uma lista vazia, então o segundo e oterceiro devem ser a mesma lista. • Se o primeiro argumento não for uma lista vazia então pode ser denotado por [X|L1]. A concatenação de [X|L1] com L2 é uma terceira lista com a mesma cabeça X da primeira e um corpo L3 que é a concatenação do corpo de L1 com L2.

23. Concatenação de Listas conc([],L,,L). conc([X|L1],L2,[X|L3]) :- conc(L1,L2,L3). ?-conc([a,b,c],[1,2,3],L). L=[a,b,c,1,2,3] ?-conc([a,[b,c],d],[a,[],b],L). L=[a,[b,c],d,a,[],b] X L1 L2 X L3

24. Concatenação de Listas • Apesar de muito simples o programa conc/3 pode ser usado em inúmeras aplicações: • Decomposição: ?-conc(L1,L2,[a,b,c]). L1=[a,b,c] L2=[]; L1=[a,b] L2=[c]; L1=[a] L2=[b,c]; L1=[] L2=[a,b,c]; no

25. Concatenação de Listas • Apagando de uma lista todos os elementos que se seguem a um determinado padrão: ?-conc(T,[sex|_],[seq,ter,qua,qui,sex,sab,dom]). T=[seg,ter,qua,qui,sex] • Definindo a relação membro/2 em função de conc: membro1(X,L):-conc(_,[X|_],L).

26. Remoção de Elementos de uma Lista • remover(X,L,L1), onde L1 é a mesma lista L com o elemento X removido. Existem novamente 2 casos a estudar: • Se X é a cabeça de L, então L1 será seu corpo. • Se X está no corpo de L, então L1 é obtida removendo X desse corpo. remover(X,[X|C],C). remover(X,[Y|C],[Y|D]):-remover(X,C,D).

27. Exemplos de remoção ?-remover(a,[a,b,a,a],L). L=[b,a,a]; L=[a,b,a]; L=[a,b,a]; no ?-remover(a,L,[b,c,d]). L=[a,b,c,d]; L=[b,a,c,d]; L=[b,c,a,d]; L=[b,c,d,a]; no

28. Outros usos de remover/3 inserir(X,L,L1):- remover(X,L1,L). membro2(X,L) :- remover(X,L,_). ?-inserir(a,[b,c],L). L=[a,b,c]; no ?-membro2(a,[c,b,a]). yes

29. Inversão de Listas inverter([a,b,c],[c,b,a]). inverter([],[]). inverter([a,[b,c],d],[d,[b,c],a]). • Inversão ingênua (O(N2)) • Tomar o primeiro elemento da lista • Inverter o restante • Concatenar o inverso do restante à lista formada pelo primeiro elemento inverter([],[]). inverter([X|Y],Z) :- inverter(Y,Y1), conc(Y1,[X],Z).

30. Inversão de Listas • Inversão eficiente (O(N)) inverter(X,Y):-aux([],X,Y). aux(L,[],L). aux(L,[X|Y],Z) :- aux([X|L],Y,Z).

31. Sublistas • S é uma sublista de L se: (1) L pode ser decomposta em duas listas L1 e L2 (2) L2 pode ser decomposta em S e L3 sublista(S,L) :- conc(L1,L2,L), conc(S,L3,L2). ?-sublista(S,[a,b,c]).

32. Somatório e Produtório soma([],0). soma([X|Y],S):- S is R+X, soma(Y,R). produto([],0). produto([X],X). produto(L,P):- prod(L,P). prod([],1). prod([X|Y],P) :-prod(Y,Q)., P is Q*X.

33. Resolução de Problemas • Primeiros problemas por computador: prova automática de teoremas e jogos • Capacidade de cálculo e memória dos computadores: insuficientes perante o enorme número de caminhos de solução • Exemplo: jogo de xadrez • Um dos objetivos de IA: resolver problemas que o homem não sabe resolver facilmente ou num tempo razoável, desde que sejam completamente formalizados

34. Exemplos de Problemas • O fazendeiro, o lobo, a cabra e o couve: como fazer para atravessar um rio num barco? • Os baldes: balde de 5 litros com água e um vazio de 2 litros. Pode-se despejar água fora ou de um balde para o outro. Como obter 1 litro de água? • O quebra-cabeças 3x3 • A moeda falsa. Dispõe-se de 12 moedas idênticas em aparência, sendo uma falsa de peso diferente. Aual o número mínimo de pesagens para isolar a moeda falsa?

35. Mais Exemplos de Problemas • O caixeiro viajante • Cálculo integral formal • Empilhamento de blocos: a partir de uma configuração de blocos iniciais, qual a seqüência de movimentos para se chegar a uma configuração final? • As oito rainhas • As torres de hanoi

36. Espaço de Estados do Problema • Um problema pode ser visto como uma tripla: {I,O,B} • I=estados iniciais • O=conjunto de operações • B=estados objetivo • Uma solução para o problema é uma seqüência finita de operações que permite sair de um elemento em I e chegar a um elemento em B.

37. Espaço de Estados do Problema • Assim um sistema de resolução de problemas comporta: • Um conjunto de estruturas de dados organizada em um grafo • Um conjunto de operadores caracterizados por suas condições de aplicação e sua ação • Uma estrutura de controle implementando a estratégia de resolução

38. Exemplo • Mundo dos blocos

39. Métodos de Busca • Existem basicamente 2 abordagens de busca num espaço de estados • Busca cega: coleção de procedimentos utilizados para pesquisar um espaço de estados, o princípio é examinar a árvore inteira de uma forma organizada • Profundidade • Largura • Busca heurística: é uma busca cega com alguma guia ou orientação

40. Busca Cega • Busca em Profundidade • Começa na raiz e avança paar baixo em níveis cada vez mais profundos • Um operador é aplicado a um nó para gerar o próximo nó mais profundo na seqüência • O processo continua até que uma solução é encontrada ou um retrocesso é forçado ao atingir-se um nó terminal que não é solução

41. Busca em Profundidade • Exemplo 1 11 2 8 14 5 9 12 3 6 7 10 13 15 16 4

42. Busca em Profundidade • Problema • Garante uma solução, mas a busca pode ser muito demorada • Motivo: muitas ramificações diferentes podem ter que ser consideradas até o nível mais profundo antes de uma solução ser atingida

43. Busca em Profundidade • Para encontrar um caminho de solução Sol, de um dado nó para algum nó objetivo • Se N é um nó objetivo, então Sol=[N] • Se há um nó N1 sucessor de N, tal que há um caminho Sol1 de N1 para algum nó-objetivo, então Sol=[N|Sol1] • Em Prolog, a idéia acima pode ser traduzida para: busca_profundidade(N,[N]) :- objetivo(N). busca_profundidade(N,[N|Sol1]) :- s(N,N1), busca_profundidade(N1,Sol1).

44. Busca em Profundidade s(a,b). s(a,c). s(b,d). s(b,e). s(c,f). s(c,g). s(d,h). s(e,i). s(e,j). s(f,k). objetivo(j). objetivo(f). a b c d e g f i j k h ?-busca_profundidade(a,S). S=[a,b,e,j]; S=[a,c,f]; No

45. Busca em Profundidade com Limite • Um dos maiores problemas com a busca em profundidade é que ela pode conduzir a sub-árvores cada vez mais profundas. Exemplo: jogo de xadrez. • Pode-se minimizar este problema restringindo a busca até uma profundidade limite: busca_profundidade2(No,[No],_) :- objetivo(No). busca_profundidade2(No,[No|Sol],Prof_max):- Prof_max > 0, s(No,No1), Max1 is Prof_max – 1, busca_profundidade2(No1,Sol,Max1).

46. Busca em Largura • Os nós em cada nível da árvore são completamente examinados antes de se mover para o próximo nível • Uma busca em largura sempre encontrará sempre o menor caminho entre o estado inicial e o estado-objetivo • O menor caminho é o caminho com o menor número de passos (não confundir com o caminho de menor custo)

47. Busca em Largura • Não é tão fácil de programar em Prolog quanto a busca em profundidade • Motivo: é necessário manter um conjunto de nós candidatos alternativos e não apenas um nó candidato como na busca em profundidade • O conjunto de nós candidatos é constituído por todos os nós de um dado nível da árvore de busca • Entretanto, mesmo este conjunto de caminhos candidatos não é suficiente se deseja-se extrair um caminho de solução do processo de busca • Portanto, ao invés de manter-se um conjunto de nós candidatos, deve-se manter um conjunto de caminhos-candidatos

48. Busca em Largura • O predicado: busca_largura(Caminhos,Solucao). é satisfeito se algum caminho de um conjunto de Caminhos candidatos pode ser estendido até um nó objetivo. Solução é um destes caminhos estendido. • Na implementação que daremos a seguir, Caminhos será representado por uma lista e cada caminho candidato será uma lista de nós na ordem inversa • Em outras palavras, a cabeça de um caminho será o nó mais recentemente gerado e o último elemento será o nó inicial da busca • A busca é iniciada com um conjunto de candidatos com um único elemento: [ [NoInicial] ]

49. Busca em Largura • Dado um conjunto de caminhos candidatos: • Se o primeiro caminho contém um nó-objetivo como cabeça, estão este caminho é uma solução para o problema • Caso contrário, remove-se o primeiro caminho do conjunto de candidatos e gera-se o conjunto de todas as possíveis extensões de um passo deste caminho, acrescentando-se estas extensões ao final do conjunto de candidatos e executa-se a busca em largura neste conjunto de caminhos candidatos atualizado

50. a b c d e g f i j k h Busca em Largura • Conjunto de Candidatos inicial: [[a]] • Gera extensões de [a]: [ [b,a], [c,a] ] • Remove o 1o caminho candidato, [b,a], e gera extensões deste caminho, colocando-as no final do conjunto: • [ [c,a], [d,b,a], [e,b,a] ] • Remove [c,a] e acrescenta sua extensão ao final do conjunto de candidatos, produzindo: • [ [d,b,a], [e,b,a], [f,c,a], [g,c,a] ] • Em passos posteriores, [d,b,a] e [e,b,a] são estendidos e o conjunto de candidatos torna-se: [ [f,c,a], [g,c,a], [h,d,b,a], [i,e,b,a], [j,e,b,a] ] • Agora o processo de busca encontra [f,c,a] que contém o nó-objetivo f. Portanto, este caminho é apresentado como uma solução.