Théorie de Réseaux de Files d’Attente

1. Théorie de Réseaux de Files d’Attente Ramon Puigjaner Universitat de les Illes Balears Palma, Espagne Université Paul Sabatier. Toulouse

2. INDICE • Introduction • Types de réseaux • Méthodes analytiques exacts • Méthodes approchées Université Paul Sabatier. Toulouse.

3. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Introduction • Types de réseaux • Méthodes analytiques exacts • Méthodes approchées Université Paul Sabatier. Toulouse.

4. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Introduction • La performance des systèmes informatiques est caractérisée par plusieurs points de congestion à cause du partage des différentes ressources. • Il est trop restrictif et simpliste de représenter la performance du système par une seule station. • Il faut modeler explicitement les différents points de congestion du système. Le modèle résultant est un réseau de files d’attente. Université Paul Sabatier. Toulouse.

5. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Introduction • Formellement un réseau de files d'attente est un graphe orienté dont les nœuds sont les stations de service. Les arcs entre ces nœuds indiquent les transitions possibles des clients entre stations de service. • Les temps de transit entre stations sont toujours nuls. • Les clients que circulent à travers le réseau peuvent être de classes différentes. Université Paul Sabatier. Toulouse.

6. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Introduction • Types de réseaux • Méthodes analytiques exacts • Méthodes approchées Université Paul Sabatier. Toulouse.

7. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Types de réseaux • Réseau monoclasse: Tous les clients ont le même (aléatoire) comportement. Tous les clients sont (statistiquement) indistinguibles. • Réseau multiclasse: Les clients de différente classe ont différentes caractéristiques de temps de service et/ou de parcoure à travers le réseau. Tous les clients d’une même classe sont (statistiquement) indistinguibles Université Paul Sabatier. Toulouse.

8. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Types de réseaux • Réseaux ouverts. Elles sont caractérisées par: • l'existence d’une source de clients, au moins • l'existence d’un puits de clients, au moins • la possibilité de trouver un chemin que, à partir de chaque nœud, mène (éventuellement) hors du réseau. El nombre de clients est inconnu et varie avec le temps. La productivité ou débit (throughput) est connu et égal à la fréquence d’arrivée au système, si le système est stable. Université Paul Sabatier. Toulouse.

9. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Types de réseaux • Réseaux fermés. Les clients ni entrent ni sortent, et donc, son nombre est constant. On peut considérer comme si la sortie était connectée à l’entrée. Le débit de clients à travers la connexion "sortie-entrée'' définit la productivité du réseau fermé. • Réseaux mixtes. Dans un réseau avec multiples classes de clients, il est possible que la réseau soit ouvert pour un type de clients et fermé pour un autre. Université Paul Sabatier. Toulouse.

10. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Types de réseaux: réseau ouvert Université Paul Sabatier. Toulouse.

11. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Types de réseaux: réseau fermé Université Paul Sabatier. Toulouse.

12. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Types de réseaux: réseau mixte Université Paul Sabatier. Toulouse.

13. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Introduction • Types de réseaux • Méthodes analytiques exacts • Méthodes approchées Université Paul Sabatier. Toulouse.

14. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • N, stations de service. • C, classes de clients, que peuvent changer de classe quand ils passent d’une station à une autre. • Routage probabiliste pi,c;j,d: probabilité qu’un client de classe c quand il sort de la station i s’en aille à la station j en classe d. • La matrice P = [pi,c;jd] est la matrice de routage. Un client quitte la réseau avec probabilité Université Paul Sabatier. Toulouse.

15. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • (i,c), état du client. • L’ensemble des états des clients forme un ou plusieurs sous-ensembles disjoints (o sous-chaînes): deux états de client appartiennent à la même sous-chaînes s’il et a une probabilité non nulle qu’un client puisse passer par ces deux états pendant sa vie dans le réseau. • Sous-chaînes : E1,E2,…,EK(K³1): • ouvertes • fermées Université Paul Sabatier. Toulouse.

16. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • S état du réseau • M(S) nombre de clients dans l’état S • M(S,Ek) nombre de clients dans la sous-chaîne Ek, quand le réseau est à l’état S. Université Paul Sabatier. Toulouse.

17. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Arrivées externes générées par des processus de Poisson: • indépendants de l’état du système • dépendants de l’état du système à travers le nombre de clients qu’il y a dans le réseau, l[M(S)]. Une arrivée va à la station ien classe c avec probabilité p0,ic • dépendants de l’état du système par m processus de Poisson, un par sous-chaîne, de fréquence l[M(S,Ek)]. Une arrivée à la k-ème sous-chaîne va à la station i en classe c avec probabilité p0,ic Université Paul Sabatier. Toulouse.

18. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Quatre types de stations de service: • type 1. Un seul canal Temps de service réparti exponentiellement, de temps moyen 1/[miFi(mi)], identique pour toutes les classes, avec mi (mi = mi1 + mi2 + … + miC), nombre de clients Discipline de la file, FIFO. Fi(mi), capacité du serveur avec Fi(1) = 1 (nous pouvons réprésenter serveurs múltiples en faisant Fi(mi) = min(mi,ni), où ni est le nombre maximum de serveurs). Université Paul Sabatier. Toulouse.

19. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Quatre types de stations de service: • type 2. Un seul canal Discipline de service: serveur partagé Chaque classe de client a une distribution des temps de service, différente et arbitraire et avec transformée de Laplace rationnelle (ou avec distribution coxienne) La capacité du serveur peut être fonction du nombre de clients, Fi(mi). Université Paul Sabatier. Toulouse.

20. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Quatre types de stations de service: • type 3. Nombre de canaux plus grand ou égal que le nombre maximum de clients Chaque classe de client a une distribution des temps de service, différente et arbitraire et avec transformée de Laplace rationnelle (ou avec distribution coxienne) Université Paul Sabatier. Toulouse.

21. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Quatre types de stations de service: • type 4. Un seul canal Discipline de la file LIFO avec interruption provoquée par le dernier client en arriver Chaque classe de client a une distribution des temps de service, différente et arbitraire et avec transformée de Laplace rationnelle (ou avec distribution coxienne) La capacité du serveur peut être fonction du nombre de clients, Fi(mi). Université Paul Sabatier. Toulouse.

22. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Etat du réseau S défini par le vecteur (S1,S2,…,SN) Si = (mi1,mi2,…,miC) Université Paul Sabatier. Toulouse.

23. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Suposition que le système atteint un régime stationnaire de probabilités des états p(S) • Équations d’equilibre: • Équation de normalisation Université Paul Sabatier. Toulouse.

24. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Equations de l'équilibre du débit dans le réseau • Si le réseau est ouvert, on peut le résoudre sans difficulté puisque quelque p0,jd est non nulle. • Si le réseau est fermé, toutes les p0,jd sont nulles: système d’équations homogène; il faut trouver une des infinies solutions différente celle qui est identiquement nulle. Université Paul Sabatier. Toulouse.

25. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • G constante de normalisation pour que l'addition de toutes les probabilités d’état soit égal à 1. • Si le système est fermé, le nombre d’états du système est fini et le problème est numérique. • Si le système est fermé, le nombre d’états du système est infini et le problème est analytique. Université Paul Sabatier. Toulouse.

26. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • d(S) est une fonction telle que si la réseau est fermé elle vaut 1 et si la réseau est ouvert vaut • si la fréquence d’arrivée dépend de M(S), • si la fréquence de arrivée à chaque sous-chaîne dépend de M(S,Ek) Université Paul Sabatier. Toulouse.

27. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Les fonctions gi(Si) valent • si la station est de type 1 • si la station est de type 2 ó 4 Université Paul Sabatier. Toulouse.

28. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes analytiques exacts: Théorème de BCMP • Las fonctions gi(Si) valent • si la station est de type 3 Université Paul Sabatier. Toulouse.

29. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen • Réseau fermé • N stations • M clients, tous de la même classe • Etat du réseau: m=(m1,m2,…,mN), mi est le nombre de clients dans la station i m1+m2+…+mN=M • pij probabilité de routage Université Paul Sabatier. Toulouse.

30. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen • mi, capacité de service que peut dépendre du nombre de clients k, mi(k) si, temps moyen de service si le service est indépendant de la charge, si=1/mi. • Théorème de BCMP réduit à l'énoncé par Gordon et Newell Université Paul Sabatier. Toulouse.

31. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen • si la station i a un service indépendant de la charge Université Paul Sabatier. Toulouse.

32. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen • Equations de l'équilibre du débit dans chaque station • G(M) est la constante de normalisation Université Paul Sabatier. Toulouse.

33. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen • Nombre total d’états • fonction auxiliaire avec G(M)=gN(M) et G(m)=gN(m). Université Paul Sabatier. Toulouse.

34. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen Université Paul Sabatier. Toulouse.

35. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen • Si la capacité de service est indépendante du nombre de clients dans la station fn(k)=(ensn)k=Xnk=Xnfn(k-1) Université Paul Sabatier. Toulouse.

36. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen Université Paul Sabatier. Toulouse.

37. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithme de Buzen • Initialisation pour m=0,1,…,M, et gn(0)=1, pour n=1,2,…,N Université Paul Sabatier. Toulouse.

38. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Variables opérationnelles • Probabilités Université Paul Sabatier. Toulouse.

39. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Variables opérationnelles • Probabilités Université Paul Sabatier. Toulouse.

40. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Variables opérationnelles • Probabilités • Variables opérationnelles: Utilisation Université Paul Sabatier. Toulouse.

41. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Variables opérationnelles • Variables opérationnelles: Productivité Université Paul Sabatier. Toulouse.

42. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Variables opérationnelles • Variables opérationnelles: Longueur de file Université Paul Sabatier. Toulouse.

43. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Variables opérationnelles • Variables opérationnelles: Longueur de file Université Paul Sabatier. Toulouse.

44. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Variables opérationnelles • Variables opérationnelles: Temps de réponse Université Paul Sabatier. Toulouse.

45. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Algorithmes exacts • Méthode de convolution: est l'extension de l’algorithme de Buzen aux réseaux BCMP • Analyse de la valeur moyenne Université Paul Sabatier. Toulouse.

46. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne • vecteur del nombre total de clients de chaque classe • vecteur de zéros partout sauf à la c-ième composante • nombre moyen de clients dans la station i quand il y a de un client moins de classe c dans la réseau Université Paul Sabatier. Toulouse.

47. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne • Pour des stations de service de types 1, 2 et 4 • Pour des stations de service de type 3 • Vic le nombre moyen de visites à la station i des clients de classe c Université Paul Sabatier. Toulouse.

48. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne Université Paul Sabatier. Toulouse.

49. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne • Exemple Université Paul Sabatier. Toulouse.

50. THÉORIE DES RÉSEAUX DE FILES D'ATTENTE • Méthodes de calcul: Analyse de la valeur moyenne • Exemple 11 21 31 12 22 32 sic 11 0 0.5 0.5 0 0 0 1 21 1 0 0 0 0 0 1 31 1 0 0 0 0 0 2 12 0 0 0 0 1 0 2 22 0 0 0 1 0 0 1 31 0 0 0 0 0 0 2 Université Paul Sabatier. Toulouse.