Les grandes découvertes scientifique qui ont contribué à l’evolution de la société

1. Les grandesdécouvertesscientifique qui ontcontribué à l’evolution de la société L’algebre linéaire

2. Sommaire • Introduction: L’algébre linéaire • Histoire du algébre linéaire • Dates sur les mathématiques qui ont contribué au développement du algébre linéaire • Applications dans la vie quotidienne • Bibliographie et sitographie

3. L’algèbre linéaire •  est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformation linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).

4. Historique • L'histoire de l'algèbre linéaire commence avec René Descartes qui le premier pose des problèmes de géométrie, comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire. Il établit alors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'à présent séparées : l'algèbre et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel, il l'utilise déjà avec succès.

5. Historique • Au xixe siècle l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résout définitivement le problème de la réduction d'endomorphisme. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions.

6. Historique • Le début du xxe siècle voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omniprésente dans presque tous les domaines mathématiques.

7. Dates sur les mathématiques qui ont contribué au développement du algébre linéaire...

8. Les pricipales gens qui ont contribué à l’evolution d’algébrique sont: • Eugène Rouché • Joseph-Louis Lagrange • Évariste Galois • KroneckerCappelli

12. À la différence de ses prédécesseurs, il n'étudie pas une incarnation particulière comme les permutations de Lagrange ou les groupes cycliques de Gauss, mais une structure générale définie par un ensemble et une loi. • Cette démarche, particulièrement novatrice, est à l'origine de l'algèbre moderne. Liouville en parle dans les termes suivants : « Cette méthode, vraiment digne de l'attention des géomètres, suffirait seule pour assurer à notre compatriote un rang dans le petit nombre des savants qui ont mérité le titre d'inventeur

13. Théorie de Galois • La théorie de Galois voit ses origines dans l'étude des équations algébriques. Elle se ramène à l'analyse des équations polynomiales. Une approche par des changements de variables et des substitutions a permis à des mathématiciens comme Al-Khwarizmi (783 850),Tartaglia (1499 1557), Cardano(1501 1576) ou Ferrari (1522 1565) de résoudre tous les cas jusqu'au degré quatre. Cette approche ne permet pas d'aller plus loin et deux siècles seront necessaries pour apporter de nouvelles idées. • Un pentagone en théorie de Galois est une figure d'un espace vectoriel rationnel de dimension quatre.

14. Décomposition canonique • En arithmétique  • L'écriture, dite irréductible, d'un rationnel sous la forme d'un quotient de deux nombre entiers premier entre eux. • La décomposition canonique d'un élément d'un anneau factoriel est son écriture comme produit d'éléments irréductibles. • Dans l'anneau des entiers relatifs, la décomposition canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers.

15. En arithmétique  • L'écriture, dite irréductible, d'un rationnel sous la forme d'un quotient de deux nombre entiers premier entre eux. • La décomposition canonique d'un élément d'un anneau factoriel est son écriture comme produit d'éléments irréductibles. • Dans l'anneau des entiers relatifs, la décomposition canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers (voir Décomposition en produit de facteurs premiers).

16. Calcul numérique • En mathématiques, plus précisément en analyse, le calcul intégral est l'une des deux branches du calcul infinitésimal, l'autre étant lecalcul différentiel. • Le calcul intégral permet la démonstration de la formule de l'aire d'un cercle. Il permet aussi dans un ensemble plus général le calcul d'aire de forme quelconque.

17. Simulation numérique d'une collision d'une voiture dans un mur • On entend souvent par calcul numérique un ensemble de calculs qui sont réalisés sur un système informatique, encore appelé système numérique (ou ordinateur). On réalise généralement des calculs numériques pour simuler par exemple des phénomènes naturels tels que déformations de matériaux sous l'effet de contraintes extérieures, etc.; autant de domaines pour lesquels le calcul à la main (sur une simple feuille de papier) prendrait des heures et des milliers et des milliers de feuilles de papier (Voir aussi : Simulation informatique, Ingénierie numérique).

18. Algorithme du simplexe • L'algorithme du simplexe de George Dantzig est une technique à la fois fondamentale et très populaire pour les problèmes d'optimisation linéaire. Ainsi, étant donné un ensemble d'inégalités linéaires sur variables réelles, l'algorithme permet de minimiser (ou maximiser) une fonction objectif, qui est elle aussi linéaire.

19. L'algorithme • En termes géométriques, l'ensemble des inégalités linéaires définit un polytope dans l'espace à dimensions (polygone en 2 dimensions et polyèdre en 3 dimensions) et il s'agit de trouver le sommet optimal pour la fonction de coût donnée. En effet, la fonction que l'on cherche à minimiser étant linéaire sur le polytope, elle y est en particulier concave. Or une fonction concave et minorée sur un polytope admet un minimum en un des sommets du polytope. La recherche d'un point de minimum peut donc se restreindre aux sommets du polytope (qui peuvent être très nombreux néanmoins).

20. Applications dans la vie quotidienne

21. Aplications: • Il s'agit de déterminer un maximum en fonction de contraintes économiques, par exemple un profit. • 1/ Ecrire les inéquations de contrainte et la fonction économique2/ Transformer les inéquations de contrainte en équationsIntroduire des variables d'écart. Il y a autant de variables d'écart que d'inéquations de contrainte.3/ Mettre en forme matricielle : Base de depart PPT S10

22. Autresaplications:

23. Cryptage et décryptage :communiqueren toute sécurité • Dans le monde actuel, où les télécommunications occupent une place cruciale, la cryptographie est un enjeu majeur. • Elle est aussi devenue une science complexe, qui ne peut se passer de mathématiciens de haut niveau.

24. En France, le secret des cartes à puce était protégé depuis 1985 grâce à une méthode de cryptage faisant intervenir un grand nombre N, constitué de 97 chiffres. Ce nombre N doit être le produit de deux grands nombres premiers, c’est-à-dire de nombres qui, comme 7 ou 19, ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. Le secret d’une carte bancaire est constitué précisément par ce couple de nombres premiers ; les calculer à partir de N était pratiquement impossible dans la décennie 1980. Mais avec l’augmentation de la puissance des ordinateurs et l’amélioration des méthodes mathématiques, la taille des nombres N dont on peut calculer les facteurs premiers en un temps raisonnable a dépassé la centaine de chiffres dans les dernières années du siècle (le record actuel, 158 chiffres).

25. La cryptographie moderne,au croisement des mathématiqueset de l’informatique • Cette péripétie illustre l’importance considérable que revêt aujourd’hui la science du cryptage, c’est-à-dire du codage de messages en vue de les rendre illisibles par des personnes indiscrètes. Crypter et décrypter des messages secrets est une activité vieille de plusieurs siècles, voire millénaires. Et cette activité a largement débordé du cadre strictement diplomatique ou militaire pour investir des pans entiers de l’univers des communications civiles: procédures d’authentification, transactionsbancaires, commerce électronique, protectionde sites et fichiers informatiques, etc.

26. Les dessousdu téléphone portable

27. Qui n’a jamais vu un portable ou téléphoné avec ? Mais rares sont ceuxqui ont une pensée pour la science et la technologie mises en jeu. • Le téléphone mobile est aujourd’hui d’un usage très courant dans beaucoup de pays. • En 1985, existaient un grand nombre de systèmes de téléphonie sans fil,maisilsétaientmutuellement incompatibles. Pour les rendrecompatibles, il fallait donc se mettre d’accord surunenorme commune de specifications qui s’appele GSM (Global System for Mobile communications).

28. En particulier, les mathématiqueset l’algorithmique jouent un rôle fondamental dans la conception et le bon fonctionnement des mécanismes internes des réseaux radio-mobiles. Les mathématiquesfournissentle substrat théorique sur lequel s’appuient presque toutes les étapes fondamentales de traitement de l’information nécessaires à la gestiond’une communication téléphonique à partir d’un portable. • L’algorithmique, elle, permet de transformer ces résultats fondamentaux en protocoles effectifs et efficaces, pouvant être mis en oeuvre concrètement au sein d’un réseau radio-mobile.

29. Une antenne relais pour la téléphonie mobile GSM, en campagne, sur exploitation agricole. (Cliché REA)

30. Des algorithmes pour numériserl’information, la découper enpaquets, la crypter, etc. • Tout d’abord, toutes les données transmises au sein d’un réseau radio-mobile sont uniquement numériques : elles sont en effet constituées de « paquets », c’est-à-dire de suites de 0 et de 1 de longueur fixe, émis tous les quarts de seconde, qui contiennent l’ensemble des informations (parole, identification du portable, qualité de réception telle que la mesure le mobile, etc.) liées à une communication téléphoniquedonnée.

31. La grande différence entre la téléphonie mobile et la téléphonie fixe classique réside bien entendu dans le fait que les paquets d’information numérique sont transmis par ondes hertziennes et non par câbles ; cela a nécessité la mise au point d’un ensemble de techniques algorithmiques et mathématiquestrèsspécifiques. Celles-ci font intervenir à la fois de l’algorithmique répartie, de l’optimisation combinatoire, du traitement numérique du signal, de la géométrie algorithmique ou du codage correcteur d’erreurs, pour ne citer que quelques domaines parmi beaucoup d’autres.

32. Les paquets d’information ne sont en effet pas transmis de manière brute. Pour assurer la confidentialité des communications, chaque paquet est crypté à l’aide d’un protocole cryptographique spécifié par la norme et utilisant des clefs secrètes propres à chaque opérateur (et l’on sait que les méthodes cryptographiques reposent sur des techniques et concepts algébriques ou géométriques souvent très élaborés).

33. De la théorie des graphes pourallouer convenablement lesfréquences • L’apport de l’algorithmique et des mathématiques ne se limite pas à la chaîne de traitement de l’information numérique que nous venons (très rapidement) d’esquisser. Les techniques algorithmiques sont en particulier fondamentales pour gérer efficacement les fréquences radio dont dispose chaque opérateur. • Deux communications réaliséesen même temps par deux portables différents, mais géographiquement proches, ne peuvent être acheminées sur des fréquences voisines sous peine d’interférences affectant la qualité des transmissions.

34. Il estdoncnécessairede savoir répartir de façon optimale les fréquences disponibles parmi tous les utilisateurs — qui sont bien plus nombreux que les fréquences. On peut démontrer qu’un être humain n’est pas capable de résoudre exactement ce type de problème en un temps raisonnable. Les méthodesalgorithmiques, fondéessur des modèles mathématiques tels que la théorie des graphes, ont ici été déterminantes pour réaliser des logiciels de planification qui permettenteffectivement de résoudre — de manière approchée — ces problèmes d’allocation de fréquences.

35. Bibliographie • “Îmblânzirea infinitului- povestea matematicii”, Ian Stewart, Humanitas • La brochure “L’explosiondesmathématiques” • http://www.wikipedia.org • http://www.astrofiles.net • http://www.cosmovisions.com/calculdifferentiel.htm • http://villemin.gerard.free.fr