CONJUNTO

1. CONJUNTO es una Colección de objetos que se construye por medio de alguna o algunas Propiedades en Común ¡RECUERDA! Una proposición es una oración con sujeto, verbo y predicado, la cual puede ser falsa o verdadera. Ej.: * Los perros son mamíferos definidas por Proposiciones Primeramente, ¿Qué es un Conjunto?

2. DIAGRAMA DE VENN Es una Ilustración Utilizada por la Nota Teoría de Conjuntos Cada conjunto se representa mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. para Mostrar gráficamente La Relación Matemática Entre diferentes Conjuntos 1) A B 2) G 0* *1 Otra definición que es importante conocer, es la de Diagrama de VennEuler, puesto que las mismas son muy utilizadas en la Teoría de Conjuntos.

3. Por otra parte, se mostrará: “Los Tipos de Conjuntos” Tipos de conjuntos Infinito Universal Finito Vacío Unitario Es aquel cuyo Es el que Es aquel donde Es aquel la cual se Es aquel que Objeto de Estudio Contiene un Único Elemento Carecede Elementos No se pueden Contar Todos sus elementos Pueden Contar Todos sus elementos son los Ejemplo: Ø = { } Ejemplo: A = {5} Subconjuntos Del mismo Ejemplo: Los Conjuntos Numéricos: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales, Reales y Complejos Ejemplo: B = {1,3,5} Ejemplo:

4. ¿Qué es un Conjunto Vacio? El Conjunto vacío:Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo  (phi) o { }. Así, cada elemento que pertenece al universo no pertenece al vacío x [x U  x ]. Ejemplos: A = { Los perros que vuelan } A = { } A = Ø B = { x / xes un mes que tiene 53 días} B = { } B = Ø C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = Ø D = { x / xes un día de 90 horas } D = { } D = Ø

5. ¿Qué es un Conjunto Universal ? El Conjunto Universal: Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso.Es aquel conjunto dado explicita o implícitamente del cual se toman los elementos para describir un conjunto particular de interés. Se denota convencionalmente como U. Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves }, B = { peces }, C = { conejos }, D = { monos } Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es U = { animales } Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

6. Conjuntos Infinitos:Conjuntos Numéricos

7. ¿Cómo se determinan los Conjuntos? Los Conjuntos se determinan por: Extensión y Comprensión: • Por Comprensión: cuando se enuncian sus propiedades o reglas comunes. Ejemplos: • A = {x/x es una vocal} • B = {x/xЄZ^ x2+2x+1=0} • Por Extensión: cuando se enumeran cada uno de sus elementos. • Ejemplos: • A ={a, e, i, o, u} • B ={-1} Actividad Escriba por extensión los siguientes conjuntos: A= {x/xЄN^-2 ≤x ≤ 2} B = {x/xЄZ^-2 ≤x ≤ 2} C= {x/xЄR^-2≤x ≤ 2}

8. Subconjunto o Inclusión de Conjuntos es cuando Todos los Elementos xєA x єB del Primer Conjunto Pertenecen al Segundo A está incluido en B A B U U En adición, se debe saber que entre dos conjuntos puede haber una inclusión o una igualdad. Donde, la inclusión se define a continuación: Ejemplos: • Dados los conjuntos • A = { 0 , 3 } • B = { x / x (x – 3) = 0 } • C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 } Determinar los subconjuntos de conjuntos: • A  B porque 0 y 3 pertenecen a B • B  A porque 0 y 3 pertenecen a A • A  C porque 0 y 3 pertenecen a C • C  A pues 1  C y 1  A. • Ahora, Responde la siguiente interrogante: • ¿Es verdadero o falso que: C  B?

9. Propiedades de la Inclusión • 1)Reflexividad: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo • A A • 2) El vacío es subconjunto de todos los conjuntos • ø A • 3) Todos los conjuntos son subconjuntos de un Universo • A  U • 4) Dos conjuntos son iguales si se cumple la doble inclusión • A = B si A B ^ B  A

10. ¿En qué consiste la Igualdad de Conjuntos? . Igualdad de Conjuntos se da cuando Dos conjuntos Tienen los Mismos Elementos es decir: Todo Elemento del Primer Conjunto Todo Elemento del Segundo Conjunto y Pertenece al Segundo Pertenece al Primero Ejemplo: A= B A= {1,2,3} B= {1,2,3} En Símbolos: A= B A = B A  B ^B A U

11. Operaciones con Conjuntos Diferencia de Conjuntos A-B Complementación Ac = A` Diferencia Simétrica A∆B Unión AUB Intersección A∩B Conjunto Formado por Todos los Elementos Conjunto Formado Conjunto Formado por Elementos Conjunto Formado por Elementos Conjunto Formado por Elementos Unión de las Diferencias Pertenecen a cada uno Pertenecen a Ambos a la vez Pertenecen a A Y No Pertenecen a B Pertenecen a U Y No Pertenecen a A A∆B = {x/xє[(A-B) U (B-A)]} AUB = {x/xєA v x єB} A∩B = {x/xєA ^ x єB} A`= {x/xєU ^ xєA} A-B = {x/xєA ^ xєB} Ejemplo: A= {2,3,4,6,7,8} B = {1,3,5,7} A ∆ B = {1,2,4,5,6,8} Ejemplo: A= {1,2,3} B = {3,4,5} AUB = {1,2,3,4,5} Ejemplo: A= {1,2,3} B = {3,4,5} A ∩B = {3} Ejemplo: A= {1,2,3,4.5,6} B = {2,4,5} A-B = {1,3,6} Ejemplo: U= {1,2,3,4.5,6,7} A = {1,3,5,7} A` = {2,4,6} A B U A B U A B U U A B U A A` A-B B-A A-B A ∆ B

12. Unión de Conjuntos La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x  A x  B }. Mediante un diagrama de Venn-Euler • Cuando no tienen elementos comunes (Disjuntos) • Cuando tienen elementos comunes (Solapados) • Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto A B

13. Propiedades de la Unión de Conjuntos 1.- Idempotencia A U A = A 2.- Conmutativa A U B = B U A 3.- Asociativa A U ( B U C ) = ( A U B ) U C • 4.- Absorción A U ( A ∩ B ) = A • 5.- Distributiva A U ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C ) • 6.- Complementariedad A U A' = U • 7.- Identidad A U Ø = A A U U = U

14. Intersección de Conjuntos • Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes en el conjunto A y en el conjunto B. Se denota por A ∩ Bque se lee: A intersección B. También se puede definir: • A ∩ B = { x / x  A  x  B }. • Cuando no tienen elementos comunes (Disjuntos) • Cuando tienen elementos comunes (Solapados) • Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto A B

15. Propiedades de la Intersección de Conjuntos • 1.- Idempotencia A ∩ A = A • 2.- Conmutativa A ∩ B = B ∩ A • 3.- Asociativa A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C • 4.- Absorción A ∩ ( A U B ) = A • 5.- Distributiva A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C ) • 6.- Complementariedad A ∩ A' = Ø • 7.- Identidad A ∩ Ø = Ø A ∩ U = A

16. Intersección de Conjuntos Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A – B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como: A – B = {x / x  A x  B }. Mediante un diagrama de Venn-Euler • Cuando no tienen elementos comunes (Disjuntos) • Cuando tienen elementos comunes (Solapados)

17. Intersección de Conjuntos • Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto B  A Propiedad de la diferencia de conjuntos • A – B = A ∩ BC

18. Complemento de Conjuntos Para cualquier conjunto A, tal que A  U, el complemento de A, denotado por A, A, AC, A', se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A. • Simbólicamente se expresa: AC = { x/x  U x  A } • Expresado de otra forma: x [x  A  (x  U  x  A)] Mediante un diagrama de Venn-Euler

19. Propiedades del Complemento de Conjuntos • Involutiva ( AC )C = A • UC = Ø • ØC = U • Complementariedad A ∩ AC = Ø y A U AC = U • Morgan (A U B)C = AC ∩ BC y (A ∩B)C = AC U BC

20. Diferencia Simétrica o Suma Booleana • La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, es otro conjunto formado por la unión de los elementos que están en A y no están en B, con los que están en B y no están en A. • Se denota A + B o A ∆ B y se define matemáticamente • A∆ B= {x / x (A – B) U (B – A)} o también se puede definir como • A∆ B= {x / x  (A  B)  x  (A  B)}. Expresado de otra forma: x [x  (A  B) (x  A  x  B)  (x  A  x  B)] Es decir: x [x  (A  B)  (x  A  x  B) (x  A  x  B)] Mediante el uso del diagrama de Venn-Euler Otras definiciones: A  B = (A  B)  (A  B) A  B = (A  B)  (A  B)C A  B = (A  B)  (B  A) A  B = (A  BC)  (B  AC)

21. Propiedades de la Diferencia Simétrica o Suma Booleana • Conmutativa A  B = B  A • Asociativa (A  B)  C = A  (B  C) • Identidad A Ø = A Elemento neutro • Identidad A A = Ø Elemento inverso

22. Ejercicios Resueltos • Dados los conjuntos A = [2,4) y B = (3,8). Hallar: • A U B • A  B • A – B Solución • A U B = [2,8) • A  B = (3,4) • A – B = [2,3]

23. ¡RECUERDA! Este símbolo (≤) de menor e igual que, quiere decir que se toma a el número y cuando está definido en los números reales se coloca entre corchetes [] Ejercicios Propuestos Observaciones Debes tener presente el Universodonde está definido el conjunto. Porque, si está en los naturales, enumeras solo a los enteros positivos, pero si está en los reales tienes que hacer un: “Intervalo” Determine por extensión a los conjuntos definidos por comprensión: Comprensión: A= {x/xЄN^-3 ≤x ≤ 3} Extensión: A= {0,1,2,3} Comprensión: B= {x/xЄR^-3 ≤x ≤ 3} Extensión: B= [-3,3] Comprensión: C= {x/xЄN^-3 <x < 3} Extensión: C= {0,1,2} Comprensión: D= {x/xЄR^-3 <x < 3} Extensión: D= (-3,3)

24. Ejercicios Propuestos Actividad • Dados los conjuntos • A = { 0 , 4 } • B = { x / x (x – 4) = 0 } • C = { x / x (x – 4) (x – 5) = 0 } • Responde las siguiente preguntas: • ¿Es verdadero que: C=B? • ¿Es verdadero que: A=B?