第 8 章 位 移 法

1. 第8章 位 移 法 目的要求 1. 熟练掌握位移法基本未知量的确定和基本结构的建立、位移法的 典型方程及其物理意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意 义及其计算、弯矩图的绘制。 2. 熟记常用的形常数和载常数。 3. 熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。 4. 掌握利用对称性简化计算。 5. 重点掌握荷载作用下超静定结构的内力计算，了解其它因素下的 计算。 6. 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。要 求熟练掌握一种，另一种了解即可。 7. 知道位移法既能解超静定结构也能解静定结构。

2. §8-1 概 述 对一个结构来讲，当外因确定后，内力与位移就存在一恒定关系。解超静定问题时，先求力后求位移叫力法，若先求位移后求力则称位移法。力法的基本未知量是多余未知力，建立求解未知量的方程是根据变形协调条件，而位移法则是以某些结点的位移作为基本未知量，通过力的平衡条件建立求解未知量的方程。下面以图8-1(a)所示刚架来说明位移法的基本概念，在受弯杆件不计轴向变形的情况下，由变形协调条件可知，汇交于B结点的两杆BA及BC在B端均无线位移，只有角位移均为fB。假若把AB、BC梁视为图8-1(b)、(c)所示单跨梁，当AB梁的固定端发生转角fB时，内力可用力法求得，BC梁的内力可看作由fB及F分别引起的内力然后叠加而得，同样可由力法求出 .

3. 图8-1

4. (左侧受拉为正) (a) (下侧受拉为正) (b) 若取图8-1(a)中B结点为隔离体如图8-1(d)所示，则及必须满足B结点的平衡条件，于是有: (c)

5. 由图8-1(b)、(c)可得 : 有了杆端弯矩，则刚架的弯矩图即可求出，如图8-1(e)所示。 由以上分析可以看出，用位移法解题时，存在一个拆、合的过程，即先把原结构如图8-1(a)“拆”成若干个单跨超静定梁，计算出已知荷载及杆端位移影响下的内力，然后再把这些单跨梁“合”成原结构，利用平衡条件求出，这就是位移法的整个思路。 在介绍位移法时，还必须首先解决： (1) 各种单跨超静定梁在杆端位移及荷载作用下的内力计算； (2) 哪些结点位移可以作为位移法的基本未知量； (3) 怎样建立求解未知量的方程。

6. §8-2 等截面直杆的转角位移方程 1．杆端力、杆端位移的有关规定 为了计算方便，对杆端力及位移的正负号作一些新规定：杆端弯矩以顺时针方向为正，反之为负；杆端剪力的规定同以前规定，如图8-2(a)所示(最后内力图的绘制仍按第三章的规定不变)，支座处的反力应与杆端力的方向相反。杆端转角位移、也均以顺时针方向为正，两端相对线位移ΔAB则以使整个杆件顺时针转动为正，根据位移连续条件，支座(或结点)处的位移方向应与杆端力方向一样如图8-2(b)所示。

7. 由荷载或温度变化等外因引起的杆端弯矩及杆端剪力分别称为固端弯矩MF及固端剪力FSF。由荷载或温度变化等外因引起的杆端弯矩及杆端剪力分别称为固端弯矩MF及固端剪力FSF。 图8-2 2．公式推导 （1）两端固定梁。

8. 图8-3

9. 用力法计算图8-3(a)所示单跨梁，可取图8-3(b)为基本结构，由 于X3对梁的弯矩无影响，故在计算时可不予考虑，则力法方程 (a) 经力法计算多余未知力应为 (b)

10. (b)式中的 、为荷载F引起的固端弯矩。其中X1=MAB、 X2=MBA，并设 (称为线刚度)，则(b)式又可写为 (8-1) 式(8-1)称为AB梁的转角位移方程。 根据平衡条件又可得AB杆的杆端剪力为 (8-2)

11. 式(8-2)中的 为荷载F引起的杆端剪力，即上面提到 的固端剪力。 （2）一端固定一端铰支梁 在图8-4(a)中，AB梁除受到荷载作用外，A支座还有转角，A、B两端相对线位移为，仍用力法计算，基本结构为图8-4(b)所示。 (8-3)

12. 图8-4

13. 同样根据平衡条件可得 (8-4) 式(8-3)称为图8-4(a)所示单跨梁的转角位移方程。式(8-3)还可由式(8-1)推出，由MBA=0可得(荷载项单独考虑) (a)

14. 将(a)式代入式(8-1)第一式可得 (a) 考虑荷载时： (b) (b)式中的 为一端固定一端铰支梁在荷载F作用下的固端弯 矩，它即为式(8-3)的第一式。

15. 由以上分析可以看出，图8-4(a)所示单跨梁jB不是一个独立的未知量，而是jA、 DAB的函数，这对位移法中确定基本未知量有直接关系，应引以注意。 当杆端弯矩求出后，单跨梁的内力图就不难画出。为计算方便，常把各种单跨超静定梁在支座位移(或杆端位移)及荷载作用下的杆端弯矩及杆端剪力制成表格，参见李廉锟编结构力学教材表8-1。§8-3 位移法基本未知量及基本结构1．基本未知量 在位移法中，基本未知量是指结构中各结点的独立位移，什么样的位移是独立位移可用下面例子说明。图8-5(a)所示刚架在荷载作用下，刚结点C、D除产生角位移jC、 jD外，还有线位移

16. ΔC及ΔD。由于受弯杆件忽略轴向变形的影响，C、D结点无竖向线位移，只有水平位移，且ΔC=ΔD=Δ，Δ即为结点的独立线位移， jC、jD则为独立的角位移，该刚架结点的独立位移总数应为3。若用n j表示独立的角位移数目，用nl表示独立的线位移数目，即, 由上述分析可知，独立的角位移数目也就是刚结点的数目。图8-5(d)所示刚架，E为铰结点，汇交于E结点的三根杆件各杆端转角由上节可知不是独立的，故该刚架, 。

17. 独立的线位移数目，对于较复杂的结构无法直接观察而得，可采用下述“结点铰化”的方法进行判断：将结构所有刚结点和固定支座都改为铰结，从而得到一个相应的铰结图形，若此铰结图形为几何不变体系，则原结构所有各结点均无线位移。若铰结图形为几何可变体系，则视应在结点处加几个支承链杆才能保证其几何不变性时，所加链杆数目即为结点的独立线位移数，这种方法适用于任何有刚结点的结构。图8-5(b)、(e)分别为图8-5(a)、(d)对应的铰结图形。所加的链杆数与上述分析的线位移数目相同。结构中若有考虑轴向变形的杆件如图8-6(a)、(b)中的CD杆，则结点的独立线位移数目不能用以上方法判断。独立的线位移数目，对于较复杂的结构无法直接观察而得，可采用下述“结点铰化”的方法进行判断：将结构所有刚结点和固定支座都改为铰结，从而得到一个相应的铰结图形，若此铰结图形为几何不变体系，则原结构所有各结点均无线位移。若铰结图形为几何可变体系，则视应在结点处加几个支承链杆才能保证其几何不变性时，所加链杆数目即为结点的独立线位移数，这种方法适用于任何有刚结点的结构。图8-5(b)、(e)分别为图8-5(a)、(d)对应的铰结图形。所加的链杆数与上述分析的线位移数目相同。结构中若有考虑轴向变形的杆件如图8-6(a)、(b)中的CD杆，则结点的独立线位移数目不能用以上方法判断。

18. 图8-6 2．基本结构 由§8-1节可知，用位移法计算时，先把每杆件都看成一个单跨超静定梁，因此位移法的基本结构就是暂时将每根杆件看成两端固定或一端固定一端铰支或一端固定一端为定向支承的单跨梁的集合体，可假想地在每个刚结点上加一个“附加刚臂”以阻止该结点的转动(但不阻止该结点的移动)，在刚结点或铰结点处沿线位移方向加上一个

19. “附加链杆”阻止结点的移动。位移法中的基本未知量用Z表示，这是一个广义的位移，并用“ ⌒”及“→”分别表示原结点处的角位移、线位移的方向，加在附加刚臂及附加链杆处，以保证基本结构与原结构变形是一致的，如图8-5(c)、(f)。 对于图8-7(a)所示刚架，刚结点E、G的转角为基本未知量，分别用Z1、Z2表示，铰结点处的竖向线位移也是一个基本未知量用Z3表示，基本结构为图8-7(b)。图8-7(c)所示刚架，F为一组合结点，即BF、EF杆在F处为刚结,该结构 ，基本结构见图8-7(d)。

20. 图8-7

21. §8-4 位移法典型方程及计算步骤 以图8-8(a)所示刚架为例，说明位移法的计算思路。设原结构C结点的角位移为Z1，C、D结点的线位移为Z2，基本结构如图8-8(b)所示。基本结构的变形与原结构是相同的，要使它们受力也相同，则基本结构在荷载与Z1、Z2的共同作用下，附加联系(含附加刚臂及附加链杆)处的反力矩及反力应为零(因为原结构不存在这些约束)，假设附加刚臂处的反力矩为 R1，附加链杆处的反力为R2，则 (a) 设由Z1、Z2及荷载引起的附加刚臂上的反力矩为R11、R12、R1P，

22. 引起的附加链杆上的反力为R21、R22、R2P，如图8-8(c) (d)、(e)所示，根据叠加原理(a)式可写为 R11+R12+R1P =0 R21+R22+R2P =0 (b) (b)式中R的两个脚标含义是：第一个表示反力(或反力矩) 所属附加联系，第二个表示引起反力(或反力矩)的原因。若设r11、r12表示、时引起的附加刚臂反力矩，r21、r22表示、时引起的附加链杆反力，则(b)式又可写为 (c)

23. 图8-8

24. (8-5) 当结构有个独立的结点位移时，基本结构就有个附加联系，根据每个附加联系的反力或反力矩均应为零，则可写出个方程

25. 图8-9

26. 式(8-5)称为位移法的典型方程。其中主对角线上的系数rii称为主系数(主反力或主反力矩)，因的方向始终与的方向一致，故恒为正值且不会为零。位于主对角线两侧的系数rij称为副系数(副反力或副反力矩)，其值可能为正、或负、或零。根据反力互等定理， rij =rji。RiP称为自由项，它是由荷载或其它外因引起的，其值同样可能为正、或负、或零。 位移法典型方程的物理意义是：基本结构在荷载等外因和各结点位移Z1、 Z2、……Zn共同影响下，每个附加联系的反力或反力矩均为零。因此典型方程实质上就是力的平衡方程。由于每个系数都是单位位移引起的附加联系上的反力或反力矩，它与结构的刚度成正比，因此这些系数也称为刚度系数，上述典型方程也称为结构的刚度方程，位移法又叫刚度法。

27. 典型方程中的系数及自由项计算：仍以图8-8(a)为例，首先可利用表8-1绘出基本结构在 及荷载单独作用下的 图如图8-9(a)、(b)、(c)所示，然后取图8-9(d)、 (e)、(f)、(g)、(h)、(i)所示分离体，利用平衡条件求出系数及自由项。为使计算简化，各杆线刚度仍取相对值进行计算，如本例设 则, , 。r11、r12、R1P表示附加刚臂上的反力矩，可分别由平衡方程ΣMC=0求出:

28. r21、r22、R2P表示附加链杆的反力，图中所示隔离体是沿链杆方向将柱顶切断，取上部分进行计算，柱子的杆端剪力仍由表8-1查得，根据作用力与反作用力方向相反而得图中隔离体所示方向，再利用ΣFx=0即可求出r21、r22、R2P表示附加链杆的反力，图中所示隔离体是沿链杆方向将柱顶切断，取上部分进行计算，柱子的杆端剪力仍由表8-1查得，根据作用力与反作用力方向相反而得图中隔离体所示方向，再利用ΣFx=0即可求出 将上述系数及自由项代入(c)式

29. 解联立方程得： 叠加而得，剪 最后弯矩图可由 力图及轴力图可按平衡条件求出，见图8-10(a)、(b)、(c)所示。内力图的校核仍包括平衡条件及位移条件的校核。由于位移法的基本结构建立时已考虑了位移连续条件，故M图校核的重点应为平衡条件。

30. FN图 M图 Fs图

31. 综上所述，位移法的计算步骤应为： (1) 确定原结构的基本未知量 nj、 nl (2) 加上相应的附加联系得基本结构。 (3) 列位移法典型方程 (4) 绘 、 ……MP图，利用平衡条件求系数及自由项。 (5) 解典型方程，求出Z1、Z2……Zn。 (6) 由 绘M图，并进行校核。再根据平衡条件求各杆杆端剪力和轴力，绘FS、FN图。

32. 例8-1求图8-11(a)所示刚架的内力图。E为常数。 解： 本题的特点是承受结点荷载，在计算自由项时，隔离体上勿忘该荷载。 （1） (2) 确定基本结构如图8-11(b)所示。 (3) 列典型方程。 (4) 绘 图，如图8-11(c)、(d)、(e)所示。取相应的隔离体见图8-11(f)、(g)、(h)，利用平衡条件得

33. (5) 解典型方程。 (→)

34. 图8-11

35. (6) 绘M、FS、FN图，如图8-11(i)、(j)、(k)所示。在画M图时应逐一对刚结点处的M值进行校核，勿需另列方程。

36. 例8-2用位移法求图8-12(a)所示刚架的M图。已知B支座下沉ΔB=0.5cm,EI=3×105kN·m2。 图8-12

37. 解： 本题的特点是外因为支座移动，在绘MΔ图时仍可查表8-1。 (1) (2) 确定基本结构，如图8-12(a)所示。设 (3) 列典型方程。 r11Z1+R1Δ=0 (4) 绘 图，见图8-12(c)、(d)，并计算r11、R1Δ。

38. 基本结构由于B支座下沉ΔB=0.005m时,由表8-1可得各杆的杆端弯矩为基本结构由于B支座下沉ΔB=0.005m时,由表8-1可得各杆的杆端弯矩为 由图中隔离体根据ΣMC=0可得 r11=38i, R1Δ=-0.009i (5) 解联立方程，求Z1。 38iZ1-0.009i=0 Z1=2.37×10-4(顺时针转)

39. (6) 绘M图。如图8-12(e)所示。 §8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 位移法解题，也可不通过基本结构，直接由原结构的平衡条件来建立位移法的基本方程。 如图（8-13a）所示刚架，位移法求解有两个基本未知量：刚结点1的转角Z1和结点1、2的水平位移Z2。根据结点1的力矩平衡ΣM1=0及横梁部分的投影平衡条件ΣFx=0，可写出两个方程： ΣM1=M13+M12=0 (a) ΣFx=FS13+FS24=0 (b) 利用转角位移方程（8-1）、（8-3）有：

40. 由表8-1，可得 将以上四式代入式(a)、(b)得

41. 图8-13

42. §8-6 对称性的利用 由力法计算可知，对称结构在正对称荷载作用下，其弯矩图、轴力图及变形图都是正对称图形，剪力为反对称图形；在反对称荷载作用下，弯矩图、轴力图及变形图都是反对称图形，而剪力图则为正对称图形。这些规律在位移法中仍将得到应用。 1．奇数跨对称结构 用位移法解图8-14(a)所示刚架，在正对称荷载作用下，如图8-14(b)所示，变形为正对称， ，结点C、D的线位移Δ=0，因此基本未知量只有一个 。在反对称荷载作用下，如图8-14(c)所示，由于变形为反对称，故 ，C、D两结点的线位移Δ≠0，基本未知数为2， 。若取半个结构作为计算简图见图8-14(d)、(e)，分别与图8-14(b)、(c)比较，基本未知量的数目并没改变，但由于杆件数目的减少而使计算工作量也得到相应的减少。

43. 图8-14

44. 2．偶数跨对称结构 图8-15(a)所示刚架，在正对称荷载作用下，如图8-14(b)，因变形为正对称，则 ，结点线位移Δ=0，即基本未知量只有一个 。用下如图8-15(c)，因变形为反对称，则 基本未知量为 若取部分结构进行计算，计算简图如图8-15(d)、(e)所示，基本未知量仍分别为1及3。

45. 图8-15

46. 例8-3用位移法求图8-16(a)所示连续梁的M图。 解：本题取1/2进行计算，计算简图，如图8-16(b)所示。 (1) (2) 确定基本结构，如图8-16(c)所示。设i=EI/12，则 , (3) 列典型方程。 r11Z1+R1P=0 (4) 绘 、MP图，见图8-16(d)、(e)，并计算r11、R1P。 r11=9i R1P=-15

47. (5) 解方程求Z1。 9iZ1-15=0 Z1=5/3i(顺时针转) (6) 绘M图。首先由 绘出AE部分M图，再根据对称性绘出ED部分M图，即得图8-16(a)所示连续梁的弯矩图，见图8-16(f)所示。

48. 图8-16

49. 例8-4用位移法计算图8-17(a)所示刚架M图。EI=常数。例8-4用位移法计算图8-17(a)所示刚架M图。EI=常数。 解： 由于该结构有两个对称轴，故可取1/4结构作为计算简图，如图8-17(b)所示。 (1) (2) 确定基本结构，如图8-17(c)所示。设 (3) 列典型方程。 r11Z1+R1P=0 (4) 绘 MP图，见图8-17(d)、(e)，并计算r11、R1P。 r11=2i R1P=Fa/8 (5) 解方程求Z1。

50. 2iZ1+Fa/8=0 Z1=-Fa/16i(逆时针转) （6） 并根据对称性绘出图8-17(a)所示刚架M图，如图8-17(f)所示。