Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – sčítací metoda

1. Název projektu: Moderní škola Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – sčítací metoda Mgr. Martin Krajíc 18.4.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – sčítací metoda Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do základního tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo -1. Lze ji ale výhodně samozřejmě použít i v případě, že tam jednička je. Sčítací metoda je univerzálnější a více používaná.

3. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – sčítací metoda Postup řešení: • rovnice vyjádříme v základním tvaru (na levé straně máme členy s neznámými – abecedně, na pravé straně číselné členy • jednu nebo obě rovnice vynásobíme tak, aby po jejich sečtení nám jedna neznámá vypadla • vznikne jedna rovnice o jedné neznámé, dopočteme ji • vrátíme se k rovnicím upraveným do základního tvaru a roznásobíme je tak, aby nám po jejich sečtení vypadla druhá neznámá • dopočteme druhou neznámou • ověříme zkouškou – dosazením řešení do původních rovnic

4. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – sčítací metoda Př: Řešte soustavu rovnic: 2(x - 3y) = 15 4x - y = -3 2x - 6y = 15 4x - y = -3 -4x + 12y = -30 4x - y = -3 -4x + 4x + 12y - y = -30 – 3 11y = -33 y = -3 Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem -2 a druhou necháme beze změn. Rovnice sečteme. Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany.

5. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – sčítací metoda Vrátíme se k rovnicím upraveným do základního tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. 2x - 6y = 15 4x - y = -3 2x - 6y = 15 -24x + 6y = 18 2x - 24x - 6y + 6y = 15 + 18 -22 x = 33 x = -1,5 Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3] Zkoušku provedeme dosazením výsledku za neznámé do obou původních rovnic. První rovnici ponecháme bez změny a druhou vynásobíme číslem -6. Obě rovnice opět sečteme.

6. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – sčítací metoda Někdy se soustava rovnic řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případe se jedná o metodu, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací. 2x + 3y = 1 3x + 2y = 9 -6x – 9y = -3 6x + 4y = 18 -5y = 15 y = -3 2x + 3(-3) = 1 x = 5 Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem -3 a druhou vynásobíme číslem 2. Rovnice sečteme. Výsledek zapíšeme: [x; y] = [5; -3] Nyní dosadíme do jedné ze základních rovnic za neznámou y číslo -3 a dopočteme x.

7. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – sčítací metoda Př: Řešte soustavu rovnic: = - /.36 = - /.30 12x – 18y + 6 = 27x – 72y – 4 10x + 15y + 10 = 15x – 3y – 2 -15x + 54y = -10 -5x + 18y = -12 /.(-3) 0 = 26 Rovnice nemá řešení. Výsledek zapíšeme: [x; y] = Ø

8. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – příklady Př: Řešte soustavy rovnic a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): VladimirArnol'd: „Důkazy jsou matematice tím, čím je hláskování, či dokonce písmo, poezii. Matematické práce se skládají z důkazů, stejně jako se …… skládají z písmen“. 1) - y = - a) T = [1; 2] x + 2y = 7 b) B = [3; 2] 2) 12x = -1 – 16y a) É = nekonečně mnoho řešení 4y = -2 -3y b) Á = nemá řešení

9. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – příklady 3) = a) S = [1; -1] = b) M = [-1; 1] 4) - = 2y - x a) N = [11; 6] - = b) P = [11; -6] 5) = - a) Ě= nemá řešení = - b) Í = [1; 3]

10. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – správné řešení VladimirArnol'd: „Důkazy jsou matematice tím, čím je hláskování, či dokonce písmo, poezii. Matematické práce se skládají z důkazů, stejně jako se …………..… skládají z písmen“. BÁSNĚ

11. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých – použité zdroje Použité zdroje: MOTTAK. Svatební oznámení: Citáty. [online]. [cit. 2013-04-18]. Dostupné z: http://www.mottak.cz/citaty/matematika.php