Définition #1: Champ vectoriel

2. Définition #1: Champ vectoriel • Vectorfield. Champ vectoriel Équivalent à une fonction vectorielle Point Vecteur Si f est un champ vectoriel « smooth » f est différentiable un nombre infini de fois

3. Définition #2: Dérivée de Lie… • …de h par rapport à f (Lie derivative). Fonction scalaire Champ vectoriel Scalaire Semblable à la dérivée de h dans la direction de f Gradient de h Produit scalaire

4. Définition #2: Dérivée de Lie… • … à répétition.

5. Pertinence de la dérivée de Lie par rapport aux systèmes dynamiques • Soit le système suivant: • Alors: • Et ainsi de suite…

6. Définition #3: « Lie bracket »… • …de f et g. Champ vectoriel Champ vectoriel Jacobiennes

7. Définition # 3: « Lie bracket »… • … à répétition.

8. Pertinence des « Lie brackets » par rapport aux systèmes dynamiques • Soit le système suivant: Directions du mouvement instantané Aussi directions de la vitesse instantanée Combinaison linéaire de f et g

9. La contrôlabilité en question • Étant donné l’état initial x0 et l’état final désiré xd, tel que: • Existe-t-il une séquence d’entrées u1 et u2 qui va faire en sorte que l’état du système passe de x0 à xd? Oui, mais seulement si [f,g](x0) ≠ 0

10. Lemme 1 • Considérez la séquence de commande suivante: • Alors: Petit Termes d’ordre élevés

11. Preuve • Utilisant les séries de Taylor…

12. Preuve • Suite … • Puis:

13. Preuve • Et enfin: • Donc x(4h) ≠ x0.

14. Définition #4: Difféomorphisme • Diffeomorphism Région ouverte est « smooth » Fonction vectorielle Telle que: existe est aussi « smooth »

15. Lemme 2 • Supposons: • une fonction « smooth »; • non singulière; • Alors: • Il existe une région Ω (dans laquelle x0 est inclus) tel que est un difféomorphisme local. A un certain point Jacobienne

16. Pertinence des difféomorphismes par rapport à la linéarisation entrée-état • Soit le système suivant: • … et un difféomorphisme donné: Transformation algébrique d’état

17. Cela mène à… • … une équation équivalente dans le nouvel espace d’état: Le travail à faire, c’est de trouver un difféomorphismeφ tel que les nouvelles équations d’état soient sous la forme compagnon d’un système non-linéaire. (NSCF)

18. Forme compagnon d’un système non linéaire • Voici ce que l’on désire: • Pourquoi ???

19. Forme compagnon d’un système non linéaire • Soit la commande linéarisante suivante: • Alors: Nouvelle commande

20. Forme compagnon d’un système non linéaire • C’est la forme compagnon d’un système linéaire. • Et on aura: n-ième dérivée Ce système correspond à une chaine de n intégrateurs avec l’entrée v sur le premier et la sortie x sur le n-ième…

21. Linéarisation entrée-états

22. Procédure • Point de départ: • Avoir une fonction non-linéaire: • Exemple:

23. Procédure – étape 1 • Construire: • Exemple:

24. Procédure – étape 2 • Vérifier la contrôlabilité et l’involutivité. • Exemple: • Et, il est maintenu tant que –a cos x2 ≠ 0. Pour assurer l’involutivité, il faut que x2 ne force jamais le cosinus à être à 0.

25. Procédure – étape 3 • Construire une fonction telle que: • Exemple:

26. Procédure – étape 3 • Essayons:

27. Procédure – étape 4 • Calculer le diffémorphisme: • Exemple:

28. Procédure – étape 5 • Définir la commande u comme étant: • Exemple:

29. Procédure – étape 5 • Donc:

30. Fin de l’exemple • Puisque: • Alors:

31. Fin de l’exemple • Le système équivalent est donc: • On peut alors concevoir une commande par retour d’état…

32. Linéarisation entrée-Sortie

33. Procédure • Point de départ: • Avoir une fonction non-linéaire: • Exemple:

34. Procédure – étape 1 • Dériver y jusqu’à faire apparaitre u dans la r-ième dérivé: • Traduction: • Exemple: Degré relatif  Degré relatif : r = 1

35. Procédure – étape 2 • Construire des fonctions telles que: • Exemple:

36. Procédure – étape 3 • Calculer: • Exemple:

37. Procédure – étape 4 • Dériver les équations du système: • Or:

38. Bilan • La forme obtenue ressemble à:

39. Commande • Choisir la commande équivalente suivante: • Exemple:

40. Mais, il faut vérifier la dynamique de η • Dynamique appelée la dynamique du 0 (zerodynamics). • Il faut vérifier que est asymptotiquement stable. • Si oui, notre design convient. • Si non, on a un grave problème… • Exemple: On a justement un problème !!!!