Esercizio n.16

1. Esercizio n.16 Dare un limite massimo all’errore commesso: a) alla seconda iterazione col metodo Newton-Raphson per risolvere la x3 + 2x2 + 10x  20 = 0, partendo da x0= 1.5 b) alla quarta iterazione per risolvere la x3 + 2x2 + 10x  20 = 0,scrivendola come x = x/2 + (20 x3  2x2 )/20 e partendo da x0= 1.5 Si consideri che la radice esatta si trova in [1,1.5]

2. Soluzione n.16a Metodo di Newton-Raphson f (x) = x3 + 2x2 + 10x  20; f (x) = 0; x0= 1.5 Essendo f (x) = 3x2 + 4x + 10 (parabola senza inters. con l’asse x) ed f (x) = 6x+ 4 si ha che, in [1,1.5], (poichè f (x) ha il minimo assoluto in 2/3 e in [1,1.5] ha il minimo relativo in 1). Dunque m = |(13/17) h1| = 0.0037 < 1 per cui si può applicare il teorema sull’errore del metodo iterativo il quale afferma che Nel nostro caso n = 2 e l’errore d’arrotondamento in tutti i valori hnè  = 5105, dunque:

3. Soluzione n.16b Metodo iterativo F(x) = x/2 + (20 x3  2x2 )/20; x = F(x) ; x0= 1.5 Essendo,in[1,1.5], |F (x)|  |10 3x2  4x|/20 |F (1.5)|/20 = 11/80 = m ed essendo gli errori d’arrotondamento sulle F(xn),  = 5 105 possiamo applicare la diseguaglianza che per n = 3 fornisce: