Kapitola 4 ARIMA modely

1. Kapitola 4 ARIMA modely

2. 4. ARIMA modely 4.1. Úvod 4.2. Predbežná analýza 4.3. Výber vhodných modelov 4.4. Porovanie kvality modelov 4.5. Výpočet prognózy

3. Predkovia Počasie 4.1. Úvod • ARIMA modely • AutoRegressive Integrated Moving-Average models • sú konštruované iným spôsobom ako klasické modely • princíp • hodnota časového radu je lineárna kombinácia • jej vlastných historických hodnôt • historických hodnôt reziduálnych odchýlok tzv. náhodných šokov

4. 4.1. Úvod • ARIMA modely • vyžadujú náročnejšiu analýzu ako iné typy modelov • pre väčšinu ekonomických veličín poskytujú lepšie výsledky • proces analýzy má viacero fáz • identifikácia modelu • odhad modelu • verifikácia modelu • prognózovanie

5. 4.2. Predbežná analýza ČR • Predpoklad ARIMA modelov • ARIMA modely popisujú správanie časových radovs použitím minimálneho počtu parametrov • takéto úsporné opatrenie, ale niečo stojí • cenou za možnosti, ktoré poskytujú ARIMA modelyje splnenie konkrétneho predpokladu • predpokladu stacionarity • štatistické vlastnosti časového radu sa v čase nemenia • hovoríme potom, že časový rad je stacionárny

6. stacionárny časový rad 4.2. Predbežná analýza ČR • Definícia stacionarity ČR • priemer a štandardná odchýlka resp. rozptyl sú konštantné pre všetky pozorovania časového radu • sila závislosti (korelácia) medzi dvojicou pozorovaní je daná len ich vzájomnou vzdialenosťou v čase

7. 4.2. Predbežná analýza ČR • Zhodnotenie stacionarity • vychádza z vizuálnej posúdenia • grafu vývoja časového radu • grafu výberovej autokorelačnej funkcie - Sample Autocorrelation function (SACF)

8. Predaj výrobkov tabakového priemyslu v USA zmena variability ČR zmena úrovne ČR 4.2. Predbežná analýza ČR • Graf vývoja časového radu • hľadáme zmenu v úrovni ČR - zmenu v priemere • hľadáme zmenu vo variabilite ČR - zmenu v rozptyle

9. 4.2. Predbežná analýza ČR • Graf výberovej autokorelačnej funkcie • autokorelácia ČR • vzájomný lineárny vzťah - závislosť medzi pozorovaniami časového radu • koeficient autokorelácie • meria silu autokorelácie medzi pozorovaniami časového radu, ktoré sú v čase od seba vzdialené o k okamihov k=0, 1, 2 …. • k je tzv. lag - oneskorenie určuje poradie koeficienta autokorelácie • hodnoty z intervalu (-1 , 1) • blízko 1  silná pozitívna autokorelácia • blízko -1  silná negatívna autokorelácia • blízko +/-  slabá lineárna autokorelácia • blízko 0  lineárna autokorelácia neexistuje • graf autokorelačnej funkcie • zobrazuje hodnoty koeficientov autokorelácie • os x - poradie koeficienta autokorelácie • os y - hodnota koeficienta autokorelácie

10. SACF(1) - koeficient autokorelácies oneskorením o jeden časový okamih - meria silu lineárnej závislosti medzi pozorovaniami, ktoré sú od seba vzdialené o jednu časovú jednotku - ako objem predaja tento mesiac závisí od objemu predaja v minulom mesiaci SACF(12) - koeficient autokorelácies oneskorením o 12 časových okamihov - ako objem predaja tento mesiac závisí od objemu predaja pred rokom hodnota koeficienta autokorelácie oneskorenie - poradie koeficienta 4.2. Predbežná analýza ČR • Graf výberovej autokorelačnej funkcie

11. 4.2. Predbežná analýza ČR • Graf výberovej autokorelačnej funkcie • prítomnosť nestacionarity • postupný pokles koeficientov autokorelácie • systematická zmena znamienka koeficientov autokorelácie

12. zvolímetransformáciu určímepríčinu Nestacionarita ČR Transformácia ČR vo variabilite(v rozptyle) analytické transformácie (log) najskôrstacionarizujemevariabilitu 4.2. Predbežná analýza ČR • Odstránenie nestacionarity • pomocou stacionarizujúcich transformácií ČR • postup v úrovni(v priemere) jednoduchédiferencie (Yt-Yt-1)

13. dôležitý zápis v teórii ARIMA modelov 4.2. Predbežná analýza ČR • Stacionarizujúce transformácie • jednoduché diferencie • vypočítame nový časový rad • ako rozdiel hodnôt pôvodného časového radu • môžu byť rôzneho rádu d= 1, 2, … • jednoduché diferencie 1. rádu • Zt = Yt - Yt-1 • Zt = (1- B ) Yt • B je operátor spätného chodu (backshift operátor) • definuje sa ako BYt = Yt-1 • jednoduché diferencie 2. rádu • Wt = Zt - Zt-1 • Wt = (Yt - Yt-1) - (Yt-1 - Yt-2) • Wt = Yt - 2Yt-1 + Yt-2 • Wt = Yt - 2B Yt + B2 Yt • Wt = (1- B )2Yt

14. Zt = Yt - Yt-1 Zt = Yt - Yt-1 4.2. Predbežná analýza ČR • Stacionarizujúce transformácie • jednoduché diferencie

15. 4.2. Predbežná analýza ČR • Stacionarizujúce transformácie • analytické transformácie • hodnoty ČR prepočítame pomocou matematickej funkcie • ak variabilita rastie s rastúcimi hodnotami ČR • najčastejšie používame logaritmickú transformáciu • Zt = log( Yt) • po stabilizovaní variability pristupujeme k stabilizácii úrovne • Wt = Zt - Zt-1 = log( Yt) - log( Yt-1) • Wt = (1-B) Zt Zt = log( Yt) Wt = Zt - Zt-1

16. 4.2. Predbežná analýza ČR • Sezónnosť • všeobecne • hodnota ČR závisí od konkrétnej sezóny - mesiaca, štvrťroka, v ktorom bola zaznamenaná • ARIMA modely • hodnota ČR závisí od hodnoty v predchádzajúcich sezónach • od hodnoty ČR pred pred rokom a pod. • koeficienty autokorelácie pre k=dĺžka sezónny sú významne vysoké • sezónny ČR rad musí byť stacionárny aj zo sezónneho hľadiska • sezónna úroveň sa nemení • ak je stacionárna celková úroveň, sezónna úroveň nemusí byť stacionárna • sezónna variabilita sa nemení • ak je stacionárna celková variabilita, je stacionárna aj sezónna variabilita

17. SACF(12)SACF(24) 4.2. Predbežná analýza ČR • Sezónnosť v ARIMA modeloch • identifikujeme pomocou SACF • koeficienty autokorelácie pre pozorovania od seba vzdialené o násobky jedeného rokasú významne vysoké

18. Sezónna nestacionarita v úrovni ČR 4.2. Predbežná analýza ČR • Sezónnosť a stacionarita • ak je ČR stacionárny v celkovej variabilite, je stacionárny aj v sezónnej variabilite • o stacionarite v úrovni to neplatí • prítomnosť nestacionarity v sezónnej úrovni • sa prejaví v SACF • koeficienty autokorelácie so sezónnym oneskorením postupne klesajú

19. 4.2. Predbežná analýza ČR • Odstránenie sezónnej nestacionarity • použijeme sezónne stacionarizujúce transformácie • koriguje sezónnu nestacionaritu úrovne ČR • pri úprave jednoduchej nestacionarite v úrovni ČR sme použili jednoduché diferencie • pri sezónnej nestacionarite úrovne použijeme sezónne diferencie

20. Zt = Yt - Yt-P 4.2. Predbežná analýza ČR • Sezónne stacionarizujúce transformácie • sezónne diferencie • vypočítame nový časový rad • ako rozdiel hodnôt pôvodného časového radu, ktoré sú od seba vzdialené o jednu periódu (rok) • jednoduché diferencie 1. rádu sú väčšinou postačujúce • Zt = Yt - Yt-P • Zt = (1- BP ) Yt • P je dĺžka periódy • B je operátor spätného chodu (backshift operátor) • definuje sa ako BYt = Yt-P

21. 4.2. Predbežná analýza ČR • Prestacionarizovaný ČR • ČR bol diferencovaný viac ako bolo treba • stáva sa nepoužiteľným • poskytuje horšie výsledky ako nestacionárny ČR • skontrolujeme pomocou vizuálneho posúdenia • grafu výberovej inverznej autokorelačnej funkcie • SIACF - Sample Inverse Autocorrelation Function stacionarizovaný ČR koeficienty SIACF rýchlo klesajú k nule koeficienty SIACF pomaly klesajú k nule prestacionarizovaný ČR

22. SIACFstacionarizovaného radu Zt SIACF prestacionarizovaného radu Wt 4.2. Predbežná analýza ČR • Prestacionarizovaný ČR a SIACF

23. 2. overte stacionarituoverte sezónnosť 3. transformujte ČR 4. log transformácia - variabilitajednoduché diferencie - základná úroveňsezónne diferencie - sezónna úroveň 5. overte prestacionarizovanosť pomocou SIACF 4.2. Predbežná analýza ČR • Zhrnutie predbežnej analýzy 1. graf vývoja časového radugraf autokorelačnej funkcie

24. Ukážka Predbežná analýza ČR