Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt

1. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Kryptologie und Matrizenrechnung IFB Speyer 1. Februar 2005 Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt

2. Austausch des Schlüssels Austausch des Schlüssels Kryptologie und Matrizenrechnung (I) Alice (Sender) Alice (Sender) Bob (Empfänger) Bob (Empfänger) Klartext: Lieber Herr ... Klartext: Lieber Herr ... Geheimtext: XYRTRE WREE... Klartext: Lieber Herr ... Klartext: Lieber Herr ... Geheimtext: XYRTRE WREE... Folie1 Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt

3. Kryptologie und Matrizenrechnung (II) Internet Unterricht Public-Key-Kryptographie Polyalphabetische Verschlüsselung • öffentlicher Schlüsselaustausch • - Einwegfunktionen • Zahlentheorie • - Rechnen mit großen Primzahlen • (RSA: 124-Bit Zahlen) • Langzahlarithmetik • - Faktorisieren großer Zahlen • - Modulo-Rechnung • geheimer Schlüsselaustausch • Grundlagen der Matrizenmuliplikation Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie2

4. Kryptologie und Matrizenrechnung (III) Introduction Since this algorithm uses 2 x 2 matrices and ideas due to Purser it is called the Cayley-Purser Algorithm. The matrices used are chosen from the multiplicative group G = GL(2, Zn). The modulus n = pq, where p and q are both primes of 100 digits or more, is made public along with certain other parameters which will be described presently. Cayley-Purser-Algorithmus (1999) Der Cayley-Purser-Algorithmus soll 22 mal schneller sein als das RSA Verfahren, da er einfachere mathematische Funktionen verwendet. Flannery hat mit dem neuen Algorithmus den ersten Preis in einem Wettbewerb für irische Jungwissenschaftler gewonnen obwohl (oder weil) sie einen Schwachpunkt in ihrem Verfahren entdeckte und die Analyse dazu ebenfalls veröffentlichte. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie3

5. Austausch des Schlüssels Kryptologie und Matrizenrechnung (IV) 2x2 Matrix Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie4

6. Kryptologie und Matrizenrechnung (V) Buchtipp : Marcus du Sautoy - Die Musik der Primzahlen • Schritt der • Verschlüsselung Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie5

7. Kryptologie und Matrizenrechnung (VI) Zahlen in 2x2-Matrizen verteilen 2. Schritt der Verschlüsselung Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie6

8. Kryptologie und Matrizenrechnung (VII) 3. Schritt der Verschlüsselung = = = Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie7

9. Kryptologie und Matrizenrechnung (VIII) 109153111156085123112160204291031046 Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie8

10. Kryptologie und Matrizenrechnung (IX) Arbeitsauftrag 1: • Suchen sie sich als einen in dieser Gruppe und vereinbaren sie mit ihm eine geheime , diesmal aber von der Dimension 4x4 . • Überlegen sie sich einen Klartext und wandeln sie ihn in mit der Tabelle auf dem Arbeitsblatt 1 in einen Zahlencode um. • Verteilen sie den Zahlencode auf entsprechend viele 4x4-Matrizen und multiplizieren sie jede dieser Matrizen mit der geheimen Schlüsselmatrix. • Schreiben Sie die Zahlen der Multiplikationsmatrizen als „Geheimtextvektor“ auf den vorgesehenen Abschnitt des Arbeitsblattes und geben sie ihn „unauffällig“ an weiter. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie9

11. Kryptologie und Matrizenrechnung (X) Entschlüsseln des „Geheimtextvektors“ Mathematische Überlegungen Logische Konsequenz algebraisch gut ausgebildeter Schüler: Division von Matrizen bisher nicht behandelt, was sagt der TI-Voyage 200 dazu? Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie10

12. Kryptologie und Matrizenrechnung (XI) Entschlüsseln des „Geheimtextvektors“ Weitere mathematische Überlegungen: Die Existenz der Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrizen- multiplikation ist aus dem vorhergehenden Unterricht bekannt. Die Frage nach der Existenz eines inversen Elementes der Matrizen- multiplikation liegt nahe. ? Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie11

13. Kryptologie und Matrizenrechnung (XII) Entschlüsseln des „Geheimtextvektors“ Wenn ja, dann würde nämlich gelten: ! Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie12

14. Kryptologie und Matrizenrechnung (XIII) Entschlüsseln des „Geheimtextvektors“ ? Ausgangsgleichung : ! sm-1 Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie13

15. Kryptologie und Matrizenrechnung (XIV) Arbeitsauftrag 2: Ent- n sie die Nachricht, die sie von bekommen haben . Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie14

16. Kryptologie und Matrizenrechnung (XV) Weitere „Forschungsfragen“, die sich aus der bisherigen Arbeit ergeben : ? Ist jede Matrix als „Schlüsselmatrix“ geeignet ? Einfache Dimensionsüberlegungen zeigen, dass die Matrix notwendigerweise quadratisch sein muss. ? Ist diese Bedingung auch hinreichend ? Die Matrix muss regulär sein, d.h. die Determinante der Matrix ist ungleich 0. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie15

17. Kryptologie und Matrizenrechnung (XVI) Weitere „Forschungsfragen“, die sich aus der bisherigen Arbeit ergeben : ? Kann man dieses Verfahren knacken ? • Mit viel Geduld und mit Hilfe des Computers • Da dieses Verfahren von der Grundidee der klassischen • Verschlüsselung nach Vigenère ähnelt (Matrix entspricht dem • Schlüsselwort), könnte ein Angriff ähnlich dem Kasiski-Test • (Friedrich Wilhelm Kasiski 1805 – 1881)oder dem Friedmann- • Test (Colonel William Frederik Friedmann 1891 – 1969) • Erfolg versprechend sein. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie16

18. Kryptologie und Matrizenrechnung (XVII) Weitere „Forschungsfragen“, die sich aus der bisherigen Arbeit ergeben : ? Kann ich das „Knacken“ erschweren ? • Vigenère  Verlängerung des Schlüsselwortes • Matrizen  Erhöhung der Dimension • diese Tabelle nach einem der bekannten klassischen • Verfahren verschlüsseln (Cäsar/Polybios … ) • Da das Potenzieren von (quadratischen) Matrizen möglich ist, nicht • aber das Radizieren, wäre eine Erschwerung durch Quadrieren der • Klartextmatrizen denkbar, denn umgekehrt ist dabei eine zweifache • Anwendung der inversen Dekodiermatrix notwendig. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie17

19. Kryptologie und Matrizenrechnung (XVIII) Literatur und Hinweise links im Internet: • S.Flannery : In Code - A Mathematical Journey; • Algonquin Books of Capel Hill; New York 2002 • ISBN: 1-56512-377-8 • S.Singh : Codes – Die Kunst der Verschlüsselung • DTV (Reihe Hanser) München 2004 • ISBN: 3-423-62167-2 • J.Böhm: Matrizenrechnung mit dem TI-92 Url: http://www.acdca.ac.at/material/ • Weber/Opitz: SELMA (Stationenlernen zur Matrizenrechnung) • Url: http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/ Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht Speyer 2005 Jürgen Schmidt IGS Mutterstadt Folie18