Ana Maria Mirea

1. Echipa Triunghiul dreptunghic 30 - 60 - 90 Ana Maria Mirea Ştefan Călinescu Victor Vişan Marius Muşat vă prezintă Adriana Puşcaşu

2. Proprietăţile unghiurilor triunghiului dreptunghic

3. Ce trebuia să ştiţi! 1. Se numeşte triunghi dreptunghic triunghiul care are un unghi drept. 2.  Laturile care formează unghiul drept se numesc catete 3.  Latura opusă unghiului drept se numeşte ipotenuză. 4. Triunghiul dreptunghic isoscel are catetele congruente.

4. Trebuie să reţinem: Teorema1:Într-un triunghi dreptunghic isoscel unghiurile ascuţite au fiecare 450 . Reciproca T1:  Dacă un triunghi dreptunghic are un unghi ascuţit cu măsura de 450 atunci triunghiul este isoscel. Teorema 2: Într-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de 300 are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. ReciprocaT2: Dacă într-un triunghi dreptunghic o catetă are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei,atunci unghiul opus catetei respective este de 300.

5. A M 300 300 300 B C D Demonstrăm teorema 30- 60- 90 Considerăm ∆ ABC cu m (<A)=90 ◦ şi m (<B)=30 ◦ Vom demonstra că AC = ½BC. Fie [CM] bisectoarea <C. Cum (<B)=300 m (<C) = 1800-m(<A) – m(<B)=600  (<MCB)=30 ◦ Obţinem că ∆MBC este isoscel  MB=MC Fie MD ┴ BC ,D єBC şi cum ∆MBC isoscel avem BD=DC= ½ BC. În triunghiurile dreptunghice ∆CAM şi ∆BDM avem <ACM ≡ <MBD şi MC=MB  ∆ CAM ≡ cu (<BDM)  AC=BD=½BC.

6. Aplicaţii 1. Aflaţi măsurile unghiurilor ascuţite ale ΔABC dreptunghic în A, ştiind că: a) 3· m(<B) = 7· m(<C); b) m(<B) şi m(<C) sunt direct proporţionale cu numerele 4 şi 5; c) m(<B) şi m(<C) sunt invers proporţionale cu numerele 0,5 şi 0,(3); Rezolvare: Se ştie că în orice triunghi dreptunghic unghiurile ascuţite sunt complementare. Notăm m(<B) = x şi m(<C) = y şi deci x + y = 900 a) b) c)

7. A 600 300 C B 2. Fie ΔABC cu măsura unghiului A de 900 şi măsura unghiului B egală cu două treimi din măsura unghiului A. Aflaţi măsurile celorlalte două unghiuri ale triunghiului. Rezolvare:

8. A B C E D 3.Pe ipotenuza (BC) a ΔABC dreptunghic se consideră punctele D şi E astfel încât BD=AB şi CE=AC. Aflaţi m(<DAE). Rezolvare:

9. Thales din Milet Cugetări • Trecutul este sigur, viitorul este neclar • Nimic nu este mai agil ca gândul; el te poartă prin întregul univers. • Multe cuvinte nu reprezintă dovada unei minţi chibzuite. • Ce este greu? A se cunoaşte pe sine. Şi ce este uşor?A da altora sfaturi.

10. „Un sofist s-a apropiat de Thales şi a încercat să-l încurce, punîndu-i întrebările cele mai dificile. Dar înţeleptul din Milet a fost la înălţimea probei la care a fost supus. A răspuns la toate întrebările fără cea mai mică ezitare şi cu cea mai mare exactitate”. Cele 9 răspunsuri ale înţeleptului:

11. 1. Cine este cel mai batrin? Răspuns: Dumnezeu,pentru ca a existat dintotdeauna. 2. Ce lucru este cel mai frumos? Răspuns: Universul,pentru că este opera lui Dumnezeu. 3. Care este cel mai mare dintre toate lucrurile? Răspuns: Spaţiul,pentru că conţine toată creaţia. 4. Care este lucrul cel mai constant? Răspuns: Speranţa, pentru că omul continuă să existe şi după ce a pierdut totul.

12. 5. Care este cel mai bun lucru? Răspuns: Virtutea,pentru că fără ea nu ar exista nimic bun în lume. 6. Care este cel mai rapid lucru? Răspuns: Gândul,pentru că într-un minut ne permite să zburăm până la limitele universului. 7. Care este cel mai puternic lucru? Răspuns: Nevoia,pentru că din cauza ei, omul înfruntă cele mai mari pericole în viaţă. 8. Care este cel mai usor lucru? Răspuns: Să dai sfaturi.

13. ...Atunci când a ajuns la cea de-a noua întrebare, înţeleptul din Milet a dat un răspuns atât de neaşteptat care l-a contrariat pe interlocutorul său. ...probabil pentru că nu a înţeles semnificaţia sa profundă... 9. Care este lucrul cel mai greu? Şi înţeleptul din Milet a răspuns: Să te cunoşti pe tine însuţi.

14. Sfârşit