Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística

1. Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) Programa de Pós-Graduação em Ciëncia da Computação (PPGCC) Reconhecimento de PadrõesRevisão de Probabilidade e Estatística David Menotti, Ph.D. www.decom.ufop.br/menotti

2. Conceitos Básicos • Estamos realizando um evento aleatório (pegar um peixe no mar) • Espaço amostral S • Conjunto de todas a possibilidades • Um evento A • Um subconjunto de S • Lei da probabilidade • Regra que atribui uma probabilidade aos eventos de um experimento S A

3. Axiomas Básicos da Probabilidade • P(A) >= 0 • P(S) = 1 • P(AUB) = P(A)+P(B) se A e B forem mutuamente exclusivos • Eventos que não ocorrem simultaneamente, ou seja A∩B = ø • Caso contrário • P(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B) • P(A) + P(~A)= 1

4. Probabilidade Condicional • A probabilidade de ocorrer um evento, na condição de que outro evento já tenha ocorrido. • Considere o seguinte exemplo: • 250 alunos estão matriculados no primeiro ano • 100 homens e 150 mulheres • 110 cursam física e 140 química

5. Probabilidade Condicional • Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química dado que seja mulher.

6. Probabilidade Total • Uma sequência finita de experimentos na qual cada experimento tem um número finito de resultados com uma determinada probabilidade é chamada de processo estocástico finito. • Árvore Bayesiana é uma boa ferramenta para visualização do problema. • A probabilidade final é calculada pela lei da probabilidade final.

7. Probabilidade Total: Exemplo • Considere 3 caixas • Caixa 1 tem 10 lampadas, das quais 4 com defeito • Caixa 2 tem 6 lâmpadas, das quais 1 com defeito • Caixa 3 tem 8 lâmpadas, das quais 3 com defeito. • O problema consiste em saber a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa P(A), ao selecionar uma caixa aleatoriamente e depois selecionar uma lâmpada aleatoriamente. 4/10 Defeito 1 6/10 Ok 1/3 1/6 Defeito 1/3 Baseado no conceito de probabilidade total, temos como probabilidade P(A) 2 5/6 Ok 3/8 1/3 Defeito 3 5/8 Ok

8. Eventos Independentes • Dois eventos são ditos independentes se P(A∩B) = P(A) * P(B) • Logo, pela regra da probabilidade condicional, se A e B são independentes,

9. Exemplo • Suponha que uma urna contenha 4 bolas brancas e 6 vermelhas. Vamos sortear duas bolas (sem reposição) em momentos distintos. Qual a probabilidade de sair uma bola branca seguida de uma vermelha P(B) = 3/9 P(B) = 4/10 P(V) = 6/9 P(B) = 4/9 P(V) = 6/10 P(V) = 5/9

10. Exemplo (cont) • Agora considere o exemplo anterior com reposição, ou seja, eventos independentes. • P(B,V) = P(B) X P(V) = 4/10 X 6/10 = 0.24

11. Teorema de Bayes • Basicamente o teorema de Bayes mostra como rever as crenças sempre que novas evidências são coletadas. • Ou seja, atualizar a probabilidade a posteriori utilizando para isso a probabilidade a priori e as verossimilhanças e as evidências. Verosimilhanças (likelihood) priori Prob. a posteriori Evidências

12. Teorema de Bayes: Exemplo • Um médico sabe que a meningite causa torcicolo em 50% dos casos. Porém, o médico sabe que a meningite atinge 1/50000 e também que a probabilidade de se ter torcicolo é de 1/20. • Usando Bayes pra saber a probabilidade de uma pessoa ter meningite dado que ela está com torcicolo P(T|M) = 0.5 P(M) = 1/50000 P(T) = 1/20

13. Teorema de Bayes: Exercício • Considere o sistema de classificação de peixes visto anteriormente. Para essa época do ano, sabe-se que a probabilidade de pescar salmão é maior que pescar robalo, P(salmão) = 0.82 e P(robabo) = 0.18. • Suponha que a única característica que você pode contar é a intensidade do peixe ou seja, se ele é claro ou escuro. Sabe-se que 49.5% dos salmões tem intensidade clara e que 85% dos robalos tem intensidade clara. • Calcule a probabilidade de ser salmão dado que o peixe amostrado tem intensidade clara. Probabilidade total

14. Variáveis Aleatórias • Na prática, muitas vezes é mais interessante associarmos um número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que a probabilidade do evento. • Exemplo: Lançam-se três moedas. Seja X o numero de ocorrências da face cara. Determinar a distribuição de probabilidade de X • S = {ccc,cck,ckc,ckk,kcc,kck,kkc,kkk} • Se X é o número de caras, X assume os valores 0,1,2, e 3.

15. Variáveis Aleatórias • Podemos associar a esses números eventos que correspondem a ocorrência de nenhuma, uma, duas ou três caras. • Desta forma temos • P(X=0) = 1/8 • P(X=1) = 3/8 • P(X=2) = 3/8 • P(X=3) = 1/8 Distribuição de Probabilidades

16. Variáveis Aleatórias • Portanto, podemos definir que variável aleatória é a função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real. • Variáveis podem ser discretas ou contínuas

17. Parâmetros de uma Distribuição • Existem características numéricas que são muito importantes em uma distribuição de probabilidades. São os parâmetros da distribuição • Esperança matemática e variância. • Esperança matemática

18. Esperança Matemática: Exemplo • Uma seguradora paga 30000 em caso de acidente de carro e cobra franquia de 1000. Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado. • Variável Aleatória: X E(X) = 1K * .97 + -29K *.03 = 100 Esperança (lucro médio) é de 100 por carro. Deve ser interpretada como valor médio Distribuição de Probabilidade

19. Variância • Conhecendo a média (esperança) de uma distribuição de probabilidades, podemos calcular o grau de dispersão em torno da média

20. Variáveis Aleatórias Contínuas • Podemos definir uma variável aleatória contínua como sendo a variável aleatória X em R se existir uma função f(x) tal que:

21. Calculando as probabilidades Caso discreto: - Probabilidades - P(peixe ter 2 ou 3 nadadeiras) = - P(2) + P(3) = 0.3+0.4 Use a soma • Caso contínuo: • Densidade e não probabilidades • Probabilidade do peixe pesar entre • 29 e 31 kgs. • - Integrar

22. Distribuições Teóricas • As distribuições teóricas associam uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento, ou seja, dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória. • Podem ter uma variedade de formas. • Simétricas e não simétricas. • Binomial, Poisson, Exponencial, Normal

23. Distribuição Normal (Gaussiana) • A distribuição normal é a mais importante das distribuições pois muitas variáveis aleatórias de ocorrência natural ou de processos práticos obedecem a esta distribuição. • Formato de sino • Simétrica • Unimodal

24. Distribuição Normal • A função densidade para esta distribuição é dada por • Como podemos perceber, a distribuição normal inclui dois parâmetros • μ – média populacional • σ – desvio padrão populacional. • Denotamos N(μ, σ) a curva normal com média μ e desvio padrão σ

25. Distribuição Normal • A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento (ou achatamento) da curva.

26. Distribuição Normal 68.27% 95.45% 99.73%

27. Exemplo • O peso de recém-nascidos é uma variável aleatória contínua. A Figura abaixo mostra a distribuição de freqüências relativas 5000 pesos de recém-nascidos.

28. Exemplo • Considerando μ = 2800g, σ = 500g, podemos concluir que • P(2300 <= X <= 3300) = 68.3% • P(1800 <= X <= 3800) = 95.5% • P(1300 <= X <= 4300) = 99.7% • Porém, na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes valores de μ e σ.

29. Distribuição Normal • Para isso, a variável X cuja distribuição N(μ, σ) é transformada numa forma padronizada Z, com distribuição N(0,1) (distribuição normal padrão), pois tal distribuição é tabelada. • A normalização se dá por

30. Utilizando a Tábua de Probabilidades • Primeiro é necessário decompor Z em duas parcelas • Por exemplo, Z = 1.39 • Primeira parcela = 1.3 • Segunda parcela = 0.09 • No cruzamento das duas parcelas encontra-se a probabilidade correspondente a área da curva entre 0 e Z.

31. Exemplo • Considere a seguinte distribuição • X -> N(30;4) • Calcule a probabilidade de X >= 40. Da tabela, temos 0.4938 Logo, P(X>=40) = 0.5 – 0.4938 2.5 0

32. Exercício • Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média 150 mil km e desvio de 5 mil. Qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso dure • a) menos de 170 mil • b) entre 140 e 165 mil

33. Exercício • a) P(X < 170) • Z = 4. Da tabela temos 0.4999968 • Logo P(X<170) = 0.5 + 0.4999= 0.999

34. Teorema Central do Limite • A medida em que o tamanho da amostra X cresce, a distribuição de X se aproxima da distribuição normal