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Instituto Tecnológico de Chihuahua. Análisis de Incertidumbre. Fuzzy. Contenido:. Introducción a la incertidumbre . Análisis de incertidumbre (fuzzzy). Conclusiones. Introducción al concepto de incertidumbre.
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Instituto Tecnológico de Chihuahua Análisis de Incertidumbre Fuzzy
Contenido: • Introducción a la incertidumbre. • Análisis de incertidumbre (fuzzzy). • Conclusiones.
Introducción al concepto de incertidumbre • El resultado de una medición esta completa únicamente cuando se acompaña por una declaración cuantitativa de su incertidumbre. • En octubre de 1992 una nueva política para expresar la incertidumbre en las mediciones. Fue instituida en el NIST. Esta política es de ahora en adelante "Declaración o declaraciones de incertidumbre asociadas con los resultados de medición". • IEC-ISO Guide to the Expression of Uncertainty in measurement, 1992.
Introducción al concepto de incertidumbre Ecuación de la medición. • En muchos casos una medición Y no es una medida directa, pero es determinada a partir de N cantidades X1, X2, ……., XN a través de una función de relación f: • Casi todas las cantidades Xi tiene u factor de corrección, también cantidades que toman en cuenta otras fuentes de variabilidad, tales como diferentes observadores, instrumentos, muestras, laboratorios, el tiempo en que las lecturas o mediciones se realizaron (ejemplo; diferentes días de observación). • La función f de la ecuación anterior deberá contener todas las cantidades que puedan contribuir a una incertidumbre significante en el resultado de medición.
Introducción al concepto de incertidumbre • Un valor estimado de una medida aleatoria o cantidad de salida Y, la denotaremos por y, que es obtenida a partir de la ecuación anterior usando valores estimados de x1, x2, ……., xN . La salida estimada de Y, el cual es el resultado de medición, esta dado por: • En general, el resultado de una medición es únicamente una aproximación o estimación del valor de la cantidad especifica sujeta a medición, esto es, la medida aleatoria (measurand). • Clasificación de los componentes de incertidumbre : • Componente de incertidumbre generado por un efecto aleatorio. • Componente de incertidumbre generado por un efecto sistemático.
Introducción al concepto de incertidumbre • Cada componente de incertidumbre que contribuye a la incertidumbre de un resultado de medición se representa por una desviación estándar estimada, llamada Incertidumbre estándar con el símbolo sugerido de ui, y es igual a la raíz cuadrada de la varianza estimada u2i . • Podemos deducir que un componente de incertidumbre de la categoría A es representado por una desviación estándar estimada estadísticamente si, igual a la raíz cuadrada de la varianza estimada estadísticamente s2i, y el número asociado de grados de libertad vi. Por lo tanto un componente incertidumbre estándar es ui=si . • La evaluación de incertidumbre por análisis estadístico de una serie de datos observados es llamada "Evaluación tipo A (de incertidumbre)".
Introducción al concepto de incertidumbre • El valor estimado de la entrada xi es usualmente el valor medio de la muestra: • La incertidumbre estándaru(xi) asociada con xies el valor estimado de la desviación estándar de la media. • La incertidumbre estándar combinada de el resultado de una mediciónY, designada poruc(y) es la raíz cuadrada positiva de la varianza estimadau2c(y) obtenida de la siguiente manera: • La ecuación anterior esta basada en la serie de Taylor de primer orden, de Y=f(X1,X2,…..,XN) y para nuestro caso es conocida como la ley de propagación de incertidumbre.
Introducción al concepto de incertidumbre Significado de incertidumbre: Si la distribución de probabilidad caracterizada por los resultados de medición y y su incertidumbre estándar combinada uc(y) es aproximadamente una distribución normal (Gauseana), y uc(y) es un valor estimado confiable de la desviación estándar de y. • Entonces el intervalo y - uc(y) a y + uc(y) es esperado que cubra o abarque aproximadamente el 68% de la distribución de valores que deberá ser atribuido a los valores de la cantidad Y del cual y es un valor estimado. • Esto es creíble con un nivel aproximado de confianza del 68% que Y es mayor o igual que y - uc(y) y menor o igual que y + uc(y), (y - uc(y) Y y + uc(y) ) Comúnmente expresado como: Y = y uc(y).
Introducción al concepto de incertidumbre • Una medida de incertidumbre que defina un intervalo acerca del resultado medido y dentro del cual el valor de la medida aleatoria Y se cree confiablemente. • La medida de incertidumbre que reúna estos términos es llamada incertidumbre expandida, U, y es obtenida de la multiplicación de uc(y) por un factor de cobertura (respaldo) k, así: k=2, nivel de Confianza aprox. 95%
Análisis de incertidumbre (fuzzzy). • La definición de incertidumbre del resultado de una medición es: “ Un parámetro.... que caracteriza la disperción de el valor que deberá razonablemente ser atribuido a la medición aleatoria”. • Esta disperción puede representarse por un intervalo de confianza dentro del cual la medición aleatoria se espera que caiga, con un nivle de confianza [1].
Análisis de incertidumbre (fuzzzy). • Este concepto puede ser reformulado, refiriendonos a la teoría de posibilidad, exprezando que la incertidumbre en el resultado de la medición cuando se asocia con su propio resultado, identifica un conjunto de valores, cuya asociación necesaria de la medición representa el grado de creencia, basado sobre evidencias disponibles, que la medición aleatoria pertenezca a ese conjunto[1].
Análisis de incertidumbre (fuzzzy). • La evidencia disponible puede basarse en datos disponibles o utilizando adecuadamente toda la información relevante sobre la posible variabilidad del resultado de la medición. • El resultado de una medición, junto con su asociada incertidumbre, puede ser representado por una variable fuzzy.
Análisis de incertidumbre (fuzzzy). • El uso de variables fuzzy para expresar resultados de medición ha sido propuesta en la literatura [6,7,13], aunque aún no este estructurado dentro de la teoría de posibilidades. • La principal ventaja de esta teoría es que es posible manejar intervalos de confianza sin hacer ninguna suposición de cómo los elementos pertenecen al intervalo y como estan distribuidos sobre el mismo intervalo. • No se requiere una suposición de la distribución de probabilidad sobre el intervalo. • Todos los efectos que contribuyen a la incertidumbre en la medición deben ser considerados como aleatorios. • Los efectos no aleatoerios, pueden ser tratados correctamente en forma matemática.
Análisis de incertidumbre (fuzzzy). La relación: Puede considerarse como una relación: Entre las variables fuzzyX1, X2,...XN que representan un simple resultado de medición. Si consideramos un número , 0 1, el -cut de la variable fuzzy X puede definirse como: El cual define un intervalo:
Análisis de incertidumbre (fuzzzy). • La suma de dos variables A y B, pueden definirse como la variable fuzzy C=A+B cuyo generico -cutC define un intervalo: • La derencia de dos variables A y B, pueden definirse como la variable fuzzy C=A-B cuyo generico -cutC define un intervalo: • La multiplicación de dos variables A y B, pueden definirse como la variable fuzzy C=AB cuyo generico -cutC define un intervalo:
El cosiente entre dos variables fuzzy puede definirse como el producto de la primer variable por el inverso de segunda: • B-1 puede definirse unicamente si los límites de sus genericos -cut tienen el mismo signo para cualquier . Lo que significa que ninguno de los posibles -cuts incluyen el valor cero. De forma generica el -cut de B-1 es:
Cada -cut, representa un intervalo de confianza y el grado de creencia o nivel de confianza, que la medición aleatoria caiga dentro del -cut es 1- . • El método para evaluar y expresar la incertidumbre en una medición derá ser capaz de proveer un intervalo de confianza, y define tal intervalo como: “un intervalo del resultado de medición dentro del cual los valores atribuidos a una medición aleatoria puede esperarse que caigan con un nivel alto de confianza” [3],[4].
Análisis de incertidumbre (fuzzzy). Como un ejemplo básico, consideremos la medición de una resistecia en C.D. • Suponga que dos multímetros digitales se utilizarón para medir el voltaje y la corriente. • La información de exactitud de los multímetros es la proporcionada por el fabricante. • Debemos de suponer que los resultados de la medión caen dentro de los valores especificados por el fabricante. Entonces el resultado de la medición estará afectada solo por efectos sistemáticos.
Análisis de incertidumbre (fuzzzy). • Los posibles valores aleatorios del voltaje y la corriente pueden representarse por dos variables fuzzy V e I. Haciendo operaciones entre las variables fuzzy podemos obtener el valor de la resistencia y potencia con su asociada incertidumbre.
Análisis de incertidumbre (fuzzzy). • Los valores obtenidos son compatibles con los valores de incertidumbre evaluados de acuerdo a las indicaciones dadas por el IEC-ISO. • Las variables fuzzy son una herramienta efectiva en el procesamiento y expresión de incertidumbre cuando predominan fuentes sistemáticas de incertidumbre. • Cuando fuentes aleatorias de incertidumbre estan presentes, no se pueden expresar y procesar en términos simples de variables fuzzy. • Fenómenos aleatorios son manejados por la teoría de probabilid, el cual es una rama de la teoría de las diferentes evidencias de la teoría de posibilidades.
Variables aleatorias fuzzy y matemáticas asociadas). La función de membresía de una RFV A, definida sobre el conjunto de referencia X, puede definirse en términos de -cuts, pero ahora el -cut es representado por cuatro números: El intervalo representa un intervalo de confianza con Nivel de confianza 1-.
Variables aleatorias fuzzy y matemáticas asociadas). • Dentro del intervalo definido en la figura anterior, tres subintervalos pueden ser reconocidos. El cual difieren uno de otro en la forma en que estan distribuidos en el intervalo. • En el intervalo , nada podemos decir hacerca de la forma de los posibles valores de a. • Los valores dentro de los intervalos y 0 Suponemos que estan distribuidos aleatoriamente, de acuerdo a una función de densisdad de probabilidad normal. • Esto nos lleva a la necesidad de describir efectos puramente aleatorios que afectan el proceso de medición. • Estos efectos pueden representarse efectivamente por uan función de distribución normal.
Variables aleatorias fuzzy y matemáticas asociadas). • La distribución sobre el intervalo es por definición, la mitad del lado izquierdo de la distribución normal. Con su valor máximo de pico en y el valor tomado a 3 localizado en . • Similarmente, la mitad del lado derecho de la distribución normal esta distribuida sobre el intervalo , con valor de pico y el valor tomado a 3 localizado en . • Si y no existen efectos aleatorios y la RVF es una simple variable. • Si la variable RVF representa únicamente efectos aleatorios.
Variables aleatorias fuzzy y matemáticas asociadas). • Entonces el resultado de una medición asociada con su incertidumbre puede procesarse al mismo tiempo, con efectos aleatorios y no aleatorios, si existen. • Las RFV´s caen en la teoría de evidencias, en la que la teoría de posibilidades y la teoría de probabilidad son en particular dos casos distintiontos. • Las matemáticas de las RFV´s pueden definirse: • Matemáticas de intervalos, definidos en la teoría de posibilidad. • Y por estadística, definida en la teoría de probabilidad. y
Variables aleatorias fuzzy y matemáticas asociadas). • Consideremos dos RFV´s A y B, representadas por -cuts: • Ahora definimos la variable RFV C como: C=f(A,B): • Los intervalos están definidos de acuerdo a las matemáticas de intervalos: Si f+ si f-
Bibliografía. • Lefteri H. Tsoukalas and Robert E. Uhring, "Fuzzy and Neural Approaches in Engineering", Wiley 1997. • Alejandro Ferro and Simona Salicone, “The Random-Fuzzy: A New Approach to Expression of Uncertainty in Measurement”, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, VOL.53, No.5, p-p 1370-1377, October 2004. • Alejandro Ferro and Simona Salicone, “The Random-Fuzzy Variables: A New Approach to the Expression of Uncertainty in Measurement”. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, VOL.52, No.4, p-p 1174-1181, August 2003. • IEC-ISO Guide to the Expression of Uncertainty in measurement, 1992.
