Scénario Mathématiques – Technologie autour de la démarche d’investigation Abdelkébir Assrir

1. Scénario Mathématiques – Technologieautour de la démarche d’investigation Abdelkébir Assrir Francis Bernard Académie de Rouen Université d’été de mathématiques « Mathématiques et technologies » 25 août 2011 abdelkebir.assrir@ac-rouen.fr / francis.bernard@univ-rouen.fr

2. Technologie Découverte de différentes structures dont la structure en treillis.

3. Observation d’un objet technique construit en structure treillis. Technologie

4. Mathématiques Étude d’une famille de cadres ayant une forme quadrilatère.

5. Mathématiques Modélisation mathématique de la situation.

6. Technologie Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?

7. Mathématiques Quel est le parallélogramme qui présente une aire maximale ?

8. Programme T Découverte de différentes structures dont la structure en treillis. T Observation d’un objet technique construit en structure treillis. M Étude d’une famille de cadres ayant une forme quadrilatère. M Modélisation mathématique de la situation. T Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ? M Quel est le parallélogramme qui présente une aire maximale ?

9. Technologie Découverte de différentes structures dont la structure en treillis.

10. Observation d’un objet technique construit en structure treillis. Technologie

11. Mathématiques Étude d’une famille de cadres ayant une forme quadrilatère.

12. Pré-requis Définition du parallélogramme: quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

13. Modélisation mathématique de la situation

14. Comment obtenir plusieurs parallélogrammes dont les côtés gardent toujours les mêmes longueurs ?

16. Pré-requis ● Définition du parallélogramme: quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. ● Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique. Exemple de construction  préalable: triangle dont les 3 longueurs sont données.

17. Modélisation mathématique de la situation Un exemple de construction. On construit un parallélogramme ABCD. On déplace un point (par exemple le point C) …

18. Modélisation mathématique de la situation

19. Modélisation mathématique de la situation Le quadrilatère ABCD n’est plus un parallélogramme !

20. Construction à l’aide du logiciel Géogébra

21. Quelques représentations de cette famille de parallélogrammes

22. Aides envisageables Vérification de la bonne compréhension de la situation et de la consigne: On pourra encourager les élèves à reformuler la consigne en leur demandant: quel travail doit-on effectuer ? Aide à la démarche de résolution: • Comment se nomme ce type de quadrilatère ? • Qu’est-ce qui reste inchangé ? Comment réaliser ceci avec le logiciel ? Apport de connaissances et de savoir-faire: • Définition et propriétés caractéristiques du parallélogramme. • Symétrie centrale. • Cercle.

23. Conclusions ♦Un quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés sont de même longueur deux à deux est un parallélogramme. ♦On ne peut obtenir un losange ou un carré que si toutes les côtés ont la même longueur. ♦On peut obtenir des parallélogrammes aplatis.

24. Travail de recherche à la maison Les élèves pourront rechercher dans leur environnement proche ou dans différents supports de documentation des exemples d’utilisations techniques du principe des parallélogrammes articulés.

25. Exercice Montrer que si l’on déplace les points C, D, E ou F, la position du réflecteur reste inchangée par rapport à la table de travail.

26. La balance de Roberval Photo ( Wikipédia - Original uploader was AntonyB at fr.wikipedia ) Certains manèges La plate-forme élévatrice

27. Technologie

31. Problème à résoudre : Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?

32. Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?

37. Les structures en treillis

38. Les structures en treillis

39. Mathématiques Quel est le parallélogramme de cette famille qui présente une aire maximale ?

40. Pré-requis ● Savoir calculer l’aire d’un triangle. ● Résultat admis (constaté auparavant): Dans un triangle rectangle, la longueur du côté opposé à l’angle droit est supérieure à la longueur de chacun des 2 autres côtés. ● Symétrie centrale.

41. Construction à l’aide du logiciel Géogébra

42. Aides envisageables Vérification de la bonne compréhension de la situation et de la consigne. Aide à la démarche de résolution: • Comment calculer l’aire du parallélogramme ABCD ? • Comment décomposer le parallélogramme pour calculer son aire ? • Repérer base et hauteur associée . Apport de connaissances et de savoir-faire: • Aire d’un triangle. • Aire d’un parallélogramme (si déjà vu) • Symétrie centrale et aire.

43. Conclusions ♦ Pour cette famille de parallélogrammes le périmètre reste inchangé, mais l’aire change. ♦ Plus les angles aigus sont petits, plus l’aire est petite. ♦ Dans cette famille de parallélogrammes, c’est le rectangle qui possède l’aire la plus grande.

44. Exercice On considère le cadre rectangulaire ci-dessous. Pour le consolider on a fixé deux tiges : - la première est représentée par la diagonale [BD], - la seconde est représentée par le segment [MN] où M est un point de [AB] et N un point de [CD]. Que peux-tu dire des aires de MID et NIB ?

46. Proposition pour une évaluation: des tubes qui coulissent.

47. Énoncé élève On considère le dispositif ci-dessous, dans lequel les deux tubes ont la même longueur, et peuvent se déplacer sur deux axes parallèles. On veut étudier ce dispositif pour savoir ce qui change et ce qui reste invariable. Quels quadrilatères obtient-on ? Que se passe-t-il si les supports des tubes sont des droites ? Que peut-on dire du périmètre et de l’aire des quadrilatères de cette famille ?

48. Compétences visées 1° Dans le programme de la classe de cinquième

49. 2°Pour l’acquisition des connaissances et des capacités du socle commun ► Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique.

50. 2°Pour l’acquisition des connaissances et des capacités du socle commun ► Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique.