2.3.1 等比数列

1. 2.3.1等比数列 中国人民大学附属中学

2. 生活中的数列 １．放射性物质镭的半衰期为１６２０年，如果从现有的１０克镭开始，每隔１６２０年，剩余量依次为 • ２．某人年初投资１００００元，如果年收益率为５％　，那么按照复利，５年内各年末的本利和依次为 • 10000 ×1.05 , 10000 × 1.052 , 10000 × 1.053， ……， 10000 × 1.055

3. 再看两个数列： 3，9，27，81，……； 它们的共同特点是： 从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，

4. 等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母 q (q≠0)表示。

5. 等比数列的定义 1. 2. 或

6. 例1．已知数列{an}的通项公式为an=3×2n，试问这个数列是等比数列吗？例1．已知数列{an}的通项公式为an=3×2n，试问这个数列是等比数列吗？ 解：因为当n≥2时， 所以数列{an}是等比数列。

7. 等比数列的通项公式 如果等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q,那么根据等比数列的定义得到 当n≥2 时： 等比数列的通项公式为

8. 如果G是x和y的等比中项，那么 等比中项 如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项. 即G2=xy， 显然两个正数(或两个负数)的等比中项有两个，它们互为相反数， 一个正数和一个负数没有等比中项。

9. an=a1qn－1 在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。 等比数列的通项公式还可以写成 当q是不为1的正数时，它是一个非零常数与一个指数函数的乘积.

10. 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 等比数列的图象 ● （1）数列：1，2，4，8，16，… ● ● ● ●

11. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 等比数列的图象 ● （2）数列： ● ● ● ● ● ●

12. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 等比数列的图象 （3）数列：4，4，4，4，4，4，… ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

13. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 等比数列的图象 （4）数列：1，－1，1，－1，1，… ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

14. 例2．已知等比数列{an}的公比为q，第m项为am，试求其第n项。例2．已知等比数列{an}的公比为q，第m项为am，试求其第n项。 解：由等比数列的通项公式可知 两式相除得 因此

15. 例3．已知等比数列{an}中，a5=20，a15=5，求a20. 解：由a15=a5q10，得 所以 因此 或

16. 例4．在4与 之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。 解：依题意，a1=4， 因此插入的3个数依次是2，1 ， 或－2，1，－ 由等比数列通项公式得 所以

17. 练习： 1. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.

18. 2．数列1，37，314，321，……中，398是这个数列的（ ） （A）第13项 （B）第14项 （C）第15项 （D）不在此数列中 C

19. 3.若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列命题中是真命题的是（ ） （A）若q>1, 则an+1>an （B）若0<q<1, 则an+1<an （C）若q=1, 则Sn+1=Sn （D）若－1<q<0, 则 D

20. 4．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（ ） （A） （B） （C） （D） C

21. 5．若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续三项，则x的值为（ ） （A）－4 （B）－1 （C）1或4 （D）－1或－4 A

22. 6．三个正数a,b,c成等比数列，且 a+b+c=62, lga+lgb+lgc=3, 则这三个正数为. 50，10，2或2，10，50 7．在正项数列{an}中，(an+3)2=an+1an+5, 且a3=2, a11=8, 则a7= . 4