Diseño y análisis de algoritmos

1. Diseño y análisis de algoritmos Técnica de diseño Programación Dinámica II

2. Temario • Técnica de diseño Programación Dinámica • Introducción • Aplicaciones • Multiplicación de Matrices • Caminos mas cortos en grafo • Arboles de búsqueda óptimos

3. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema multiplicación de matrices en secuencia • Problema: • Se desea calcular el producto matricial: • Por cada par de matrices pxq y qxr, se reqieren pqr multiplicaciones escalares • Al ser el producto asociativo, se tienen varias fomas de realizar una multiplicación de una cadena de matrices. • Ejemplo: se quiere calcular el producto de ABCD, de las matrices • Se pueden asociar de cinco formas distintas: El orden no es despreciable, pues el caso más eficiente es casi 19 veces más rápido que el peor.

4. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema multiplicación de matrices en secuencia • Problema: • El problema consiste entonces • Insertar los paréntesis de todas las formas posibles • Calcular la cantidad de productos necesarios • Obtener el menor entre todos ellos • La cantidad de formas posibles T(n) de insertar paréntesis para n matrices, se puede deducir: • Cortando la secuencia en dos subsecuencias, entre la i – ava y la (i+1)- ésima matriz: • Entonces se tienen T(i)T(n-i) formas distintas • Como i puede tomar valores entre 1 y n-1, la cantidad está dada por la siguiente recurrencia Números llamados de Catalán.

5. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema multiplicación de matrices en secuencia • Problema: • Los números de Catalán crecen exponencialmente • De hecho puede demostrarse que; • Por ejemplo: • n 1 2 3 4 5 10 15 • T(n) 1 1 2 5 14 4862 2674440 • Aplicación del principio de optimalidad: • Si el mejor modo de realizar el producto exige dividir inicialnente entre las • matrices i e (i+1)-ésima, los productos deberán ser realizados de forma óptima, para que el total también sea óptimo.

6. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema multiplicación de matrices en secuencia • Método • Construir una matriz , 1<=i<=j<=n, (triangular superior) donde • corresponde a la mínima cantidad de productos necesarios para la parte • del producto total. Por lo que la solución viene dada en • Para construir la matriz, se deben guardar las dimensiones de las Mi 1<=i<=n en un arreglo d, [0..n], de forma que Mi tiene dimensiones • La diagonal s de contiene los tales que j-i=s: • Este último caso representa que para calcular , se intentan todas las posibilidades y se escoge la mejor.

7. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema multiplicación de matrices en secuencia • De forma más compacta si i<>j y i <j • Para el ejemplo anterior: ,d=(13,5,89,3,34)

8. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema multiplicación de matrices en secuencia • Implementación Funcion parentOpt(d[0..n];salida m[1..n,1..n],mk[1..n,1..n]) {m contiene el número de multiplicaciones, mk[i,j] guarda el índice k para el que se alcanza el mínimo al calcula m[i,j]} Variables i,j,r,k,q:entero Inicio Para i:= 0 a n hacer m[i,i]:=0; Fin-Para Para r:= 2 a n hacer Para i:= 1 a n-r+1 hacer j:=i+r-1 m[i,j]=max; {infinito} Para k:= i a j-1 hacer q:=m[i,k]+m[k+1,j]+d[i-1]*d[k]*d[j] si q< m[i,j]entonces m[i,j] := q mk[i,j]:=k FIN-SI FIN-para FIN-para FIN-para fin

9. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema multiplicación de matrices en secuencia • Solución en tiempo razonable , al menos polinomial, aunque necesita tres loops anidados, por lo que • Queda abierto el problema de hacer un nuevo algoritmo, basado en la matriz mk, indicar en qué orden se multiplican las matrices.

10. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema caminos mínimos en un grafo • Problema: • Calcular los caminos de costo mínimo o mínima longitud entre todos los pares de nodos de un grafo dirigido, sin ciclos y pesos positivos. • Principio de Optimalidad: • Si es un camino de costo mínimo o largo mínimo del nodo • a , entonces: • es un camino de costo mínimo o largo mínimo del nodo a • es un camino de costo mínimo o largo mínimo del nodo a • Aplicación del Principio : • Si k es el nodo intermedio de mayor índice en el camino óptimo de i a j, entonces el subcamino de i a k es un camino óptimo, que además, sólo pasa por nodos de índice menor que k . Lo mismo sucede con el subcamino de k a j

11. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema caminos mínimos en un grafo • Sea C(i,j) el costo o largo de un arco (i,j) . Si no existe, infinito. Sea C(i,i)=0; • Sea Dk(i,j) la longitud o distancia del camino más corto o de costo mínimo del nodo i al j que no pasa por ningún nodo mayor que k • Sea Dk(i,j) la longitud del camino más corto de i a j. Entonces:

12. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema caminos mínimos en un grafo • En resumen: • Se tiene la siguiente ecuación recursiva que define el método de PD. • Ejemplo: 25 0 5 -- 25 50 0 15 5 30 35 0 15 15 20 5 0 0 5 2010 50 0 15 5 30 35 0 15 15 20 5 0 0 5 -- 25 50 0 15 5 30 40 0 15 15 -- 5 0 1 4 15 5 15 5 50 5 30 15 2 3 0 5 2010 45 0 15 5 30 35 0 15 15 20 5 0 0 5 1510 20 0 10 5 30 35 0 15 15 20 5 0 40

13. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema multiplicación de matrices en secuencia • Implementación, algoritmo Foloyd, muy simple y conocido Funcion floyd(G[1..n,1..n]): [1..n,1..n] Variables i,j,k:entero; D[1..n,1..n] Inicio D:=G Para k := 1 a n hacer Para i := 1 a n hacer Para j := 1 a n hacer D[i,j]:=min(D[i,j], D[i,k]+ D[k,j]) FIN-para FIN-para FIN-para devolver D fin

14. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema multiplicación de matrices en secuencia • Solución en tiempo razonable , al menos polinomial, aunque necesita tres loops anidados, por lo que • El tiempo es comparable con n veces Dijsktra, pero por simplicidad se prefiere Floyd. • Este algoritmo sólo encuentra las distancias entre cada par de nodos. Para obtener los nodos que implementen esa distancia, es necesario recordar para cada (i,j) cuál es al k que proveyó la mínima distancia. • Ejercicio, implementar una solución en base a una matriz auxiliar P, que se modifica cada vez que se modifica D: • Cambiar línea min{}, por • si D[i,j] > D[i,k] + D[k,j] entonces • D[i,j]:=D[i,k]+ D[k,j] • P[i,j]:=k • finSi 0 0 4 2 4 0 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0

15. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos • Problema: • Se usará un recorrido “en orden” del árbol para realizar la búsqueda. La estructura cumple que todo nodo tiene una clave mayor que los de su subarbol izquierdo y menor que los de su subarbol derecho. • Se tiene un conjunto de claves distintas • Pueden ser claves alfanuméricas(orenadas ascendentemente), almacenadas en un arbol binario de búsqueda. • Se conoce la probabilidad , con la que se pide buscar la clave y su información asociada. • Se conoce también la probabilidad , de búsqueda de una clave inexistente situada entre y • Se tiene que • Por lo que el problema radica en construir un árbol binario de búsqueda para almacenar las claves, que minimice el número medio de comparaciones para encontrar una clave o garantizar que no está.

16. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos • Recordar que la profundidad de la raiz es 0, la de sus hijos 1, ... • Si se construye un árbol donde la clave está en un nodo de profundidad , 1<=i<=n, entonces se necesitan comparaciones para encontrarla. • Si con probabilidad , 0<=i<=n , se busca una clave que no está en el árbol, pero que en caso de estar , ocuparía un nodo de profundiadad , entonces se necesitan para asegirar que no está. • Por lo tanto el número medio de comparaciones necesarias para encontrar una clave o garantizar que no está (función a minimizar) es:

17. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos • Para el ejemplo:

18. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos • Solución de programación dinámica: • Principio de Optimalidad: • Todos los subárboles de un árbol óptimo son óptimos con respecto a las claves que continen. • Considerando un subárbol óptimo que contenga las claves • La probabilidad de que una clave buscada esté o debiera estar en ese subárbol es: • Se denotará al número medio de comparaciones efectuadas en un subárbol óptimo que contiene las claves durante la búsqueda de una clave en el árbol principal (por convención ). • Supongamos ahora que ocupa la raíz de ese subárbol. • Sea entonces el número medio de comparaciones efectuadas en ese subárbol durante la búsqueda de una clave en el árbol principal.

19. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos • Entonces: • , es el número medio de comparaciones en el subárbol izquierdo. • , es el número medio de comparaciones en el subárbol derecho. • ,es el número medio de comparaciones con la raiz. • Ahora se trata de escoger la raiz de manera que se minimice

20. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos

21. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos • Implementación Tipos probP= Arreglo [1..n] real probQ= Arreglo [1..n] real matC=matriz [0..n,0..,n] real matSol=matriz [0..n,0..,n] entero Funcion abbOPT(entrada p: probP;q: probQ; salida C:matC; rMatSol) {C es la matriz de comparaciones media. En cada componente i , j de r se guarda el k para el que C[i,j] resulta mínimo} Variables i,j,k,d:entero min,aux:real m:Matc Inicio Para i := 0 a n hacer C[i,i]:=0 m[i,i]:=q[i] Para j := i+1 a n hacer m[i,j]:=m[i,j-1]+p[j]+ q[j] Fin-para Fin-para .....

22. Técnica de diseño Programación Dinámica Problema Arboles binarios de búsqueda óptimos .... Para j := 1 a n hacer C[j-1,j]:=m[j-1, j] r[j-1, j]:=j Fin-para {ya están determinados los árboles de 1 nodo} Para d := 2 a n hacer Para j := d a n hacer i:=j-d min:=100000000; Para k := i+1 a j hacer aux:= C[i,k-1]+C[k, j] si aux < min entonces min:=aux;r[i, j]:=k fin-si Fin-para C[i,j]:=m[i, j]+min Fin-para Fin-para FIN.