Trysekcja odcinkowa Archimedesa 1/2

1. Trysekcja odcinkowa Archimedesa 1/2 k1. Tak jak na rysunku, od półosi dodatniej układu Oxy odkładamy kąt kąt o mierze równej . k2. Z początku O układu współrzędnych, będącego także wierzchołkiem danego kąta, zataczamy okrąg o dowolnym promieniu. Powiedzmy, że odcina on na ramionach kąta punkty A i B. Wykonanie trysekcji odcinkowej Archimedesa k3. Z punktu B kreślimy półprostą tak, że 1) jej punkt D przecięcia z osią Ox leży na lewo od okręgu, 2) odcinek, jaki wyznaczają punkt D i punkt C, w którym przecina ona okrąg, ma długość równą promieniowi tego okręgu. k4. Narysowana właśnie półprosta wraz z przedłużeniem ramienia OA wyznacza kąt, który oznaczamy litera . Zachodzi równość  = /3. Przechodzimy teraz do jej uzasadnienia.

2. Trysekcja odcinkowa Archimedesa 2/2 u1. Oznaczmy promień zakreślonego literą a (na rysunku jest a = 1). Na mocy konstrukcji są zatem równe a odcinki OB i CD. u2. Połączmy ze sobą punkty O i C. u3. |OC| = |CD|, więc trójkąt OCD jest równoramienny i dlatego D = (–2a·cos, 0). Uzasadnienie konstrukcji Archimedesa u4. Oznaczmy rzut punktu B na oś Ox literą E. Mamy zatem B = (a·cos, a·sin) i E = (a·cos, 0). u5. W trójkącie EBD jest tg = |BE|/|DE|. A że |DE| = |DO|+|OE|, więc (po podzieleniu przez a) tg = sin /{2cos + cos}. u6. Dlatego 2sin·cos+ sin·cos = sin·cos, czyli (po przeniesieniu składnika sin·cos na prawą stronę równości) sin(2) = sin(–). u7. Wobec nierówności i 0° <  <  < 90° związek powyższy implikuje równość 2 = –, tzn.  = /3.