ÁLGEBRA

1. ÁLGEBRA Aula 4 _ Classificação das Funções Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora

2. FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquerdois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. Ouseja, “x” diferente tem “y” diferente !!! A B 0 -3 2 4 1 6 8

3. FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjuntoImagemdafunção for igualaoconjuntocontradomínio. ( Im = CD ) Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens, entãonão se podeterhomem solteiro!!! M -1 1 3 1 9 H

4. FUNÇÃO BIJETORA É uma funçãosimultaneamente injetora e sobrejetora. Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !! Injetora: “x” diferente tem “y” diferente M H 1 5 9 -1 3 7 Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.

5. 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 6 7 Testandoseusconhecimentos 1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas: a) b) é sobrejetora é injetora

6. 1 2 3 3 4 5 1 2 3 4 5 6 c) d) 1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: não é sobrejetora, nem injetora é bijetora

7. 2º) (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o conjunto dos números reais. Se f: B → R é a função que associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f: a) é injetora e não é sobrejetora. b) é injetora e é sobrejetora. c) não é injetora e é sobrejetora. d) não é injetora e não é sobrejetora. Existembrasileiros com a mesmaaltura, portanto , “ f ” não é injetora! Sobramelementos no conjunto contra domínio, portanto, “ f ” não é sobrejetora! B R 1,73 -2 1,75 10 1,70 -2,3 1,61 0 √2 π Eu Thiago Mailson Francisli Claúdia Dennys Resp. (d)

8. 3º) (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E → P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: a) f é uma função sobrejetora. b) f não pode ser uma função bijetora. c) f não pode ser uma função injetora. d) f é necessariamente uma função injetora. Resp. (a) 23 10 13 12 14 E IFRN “Empregad”éstica Maris”bela” Flo”foca” Over”dopping” Conte”râneo” P

9. R D f(x) x y f -1(x) FUNÇÃO INVERSA: A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento: 1º) Isola “x”; 2º) Troca “x” por “y” e vice versa. O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se “função inversa de f”. O símbolo “–1” em f -1não é um expoente; f -1(x) não significa 1 / f(x).

10. y ou f(x) y=x2 ou f(x)=x2 reta horizontal 4 x 0 2 -2 FUNÇÃO INVERSA: TESTE DA RETA HORIZONTAL Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal. EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa ? Conclusão: a função f(x)=x2não tem inversa.

11. 4º) (UFSE) Considere a funçãobijetora y = ( 3x – 1) : (x + 3), a expressão que define suainversa é: A) (x + 3) : ( 3x – 1) B) ( 3x + 1) : ( 3 – x) C) ( 2x – 1) : (x + 1) D) ( 3x – 1) : (x + 3) Vejamos: y = ( 3x – 1) : (x + 3) y = _3x – 1_ x + 3 1º) Isolando “x” ; _3x – 1_ = y x + 3 3x – 1 = y . (x + 3) 3x – 1 = y . x + 3.y Colocando x em evidência: x .(3 – y) = 3.y + 1 3x – y . x = 3.y + 1 x = _3.y + 1_ 3 – y 2º) Troca x por y. y = _3.x + 1_ = ( 3.x + 1) : ( 3 – x) 3 – x

12. FUNÇÃO PAR: y Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y. f(x) = x² f(x) = f(-x) x exemplo: f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4 FUNÇÃO ÍMPAR: f(x) = x³ y Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem. f(a) = - f(-a) x exemplo: f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³

13. Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7 Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7 Logo f(x) = 2x³ +5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x) ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7) 5º) a) Verifique se f(x) = 2x³ +5x é par ou ímpar: b) Mostre que f(x) = 3x² é par: Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3 Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3 Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x) ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

14. 6º)Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será : Lembre-se: Se f(x) = f(-x) Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”. Resp.:E

15. f(b) g(b) g f(b) g(b) g f f g(a) f(a) f(a) g(a) O a b O a b a b a b FUNÇÃO CRESCENTE ou DECRESCENTE: A função fé crescente A função g édecrescente A função f écrescente A função g édecrescente Diz-se que f é crescentef se para a < b, então f(a) < f(b). Diz-se que g é decrescente,se a < b então g(a) > g(b).

16. y -2 0 2 4 6 x 7º) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é: ]0, 4[ • Decrescente b) Crescente ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[

17. Função Composta Função composta Considere as funções f: A → B e g: B → C, então a função h: A → C é a função composta g(f(x)), com x Є A. B C A x f(x) g(f(x)) Se x = 3 Ex: f(x) = x+2 e g(y) = y2, então h(x) = g(f(x)) = (x+2)2

18. Função Composta Mais exemplos: • Sejam as funções f(x) = x2 – 1 e g(x) = 3x , calcule: • f(g(x)) • g(f(x)) • f(f(x)) • g(g(x))

19. TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 – Qual dos gráficos representa uma função injetora? 2 – Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.

20. TESTANDO OS CONHECIMENTOS 3 – Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento. 4 – Dadas as proposições: p: Existem funções que não são pares nem ímpares. q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y. r: Toda função de A em B é uma relação de A em B. t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta. Podemos afirmar que são falsas: a) Nenhuma b) Todas c) p,q e r d) t e) r e t

21. TESTANDO OS CONHECIMENTOS 5 – (PUC-RS) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é: a) 0 b) 2/5 c) -3 d) 3/4 e) 4/3 6 – A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3

22. TESTANDO OS CONHECIMENTOS 7 – (UFRJ) Considere a relação  de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que  seja uma função de M em N, basta: apagar a seta (1) e retirar o elemento s; B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k; C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k; D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.

23. TESTANDO OS CONHECIMENTOS 8 – (UNESP – SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) = 17h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é: A) 2970. B) 2875. C) 2770. D) 2601.

24. TESTANDO OS CONHECIMENTOS 9 – (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em m, de um medicamentoque uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose: A) 7 m B) 9 m C) 8 m D) 10 m

25. TESTANDO OS CONHECIMENTOS 10 – (UFRN) Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma data fixa, e Y representa medições feitas em laboratório, nesses dias, para estudo de um fenômeno. De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas são: A) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática. B) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função linear. C) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função linear. D) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.

26. TESTANDO OS CONHECIMENTOS 11 – (UFCE) Qual dos gráficos abaixo não pode representar uma função?

27. TESTANDO OS CONHECIMENTOS 12 – (UFRN) Determine o valor da expressão para a = – 1.

28. TESTANDO OS CONHECIMENTOS • 13 – Vimos que se uma função “ƒ” é bijetora então ela admite uma função inversa “ƒ -1”. Diante de duas funções, “ƒ” e “g”, podemos obter uma composição entre elas, ou seja, uma função h = ƒ(g(x)) ou j = g(ƒ(x)). • Dadas as funções ƒ(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x – 4, resolva a equação ƒ -1(g(x)) = 0, seguindo o procedimento em cada item: • a) Determine ƒ -1(x); • b) Na função ƒ -1(x) obtida no item (a), substitua “x” por “g(x)”, em seguida, iguale a zero e resolva a equação;

29. TESTANDO OS CONHECIMENTOS RELEMBRANDO: Resolva os exercícios do livro: P.89 _ 4 P.95 _ 9 P.99 _ 10 P.100 _ 11 P.101 _ 14 e 15 P.107 _ 17 e 19 P.112 _ 23 e 25 OBS: Foram selecionados 10 exercícios de um total de 36 exercícios do referente capítulo do livro.

30. F I M Site: www.professorlucianonobrega.wordpress.com Vá correndo acessar... Você só paga R$ 5,00 (Brincadeirinha... É de graça!)