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Alessandra Zurita Cahill

Alessandra Zurita Cahill. La Integral definida y sus aplicaciones. Integral definida: definición. La integral definida se define como: Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una función continua y finita en el intervalo de integración [a; b].

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Presentation Transcript

  1. Alessandra Zurita Cahill La Integral definida y sus aplicaciones

  2. Integral definida: definición • La integral definida se define como: • Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una función continua y finita en el intervalo de integración [a; b]. • a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integración, respectivamente.

  3. Área como límite de una suma • Considere la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo[a; b]. • Para abordar el problema de hallar el área de dicha región, la relacionaremos con áreas de figuras conocidas, por ejemplo rectángulos

  4. Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la región cuya área se desea calcular El área de una región podrá plantearse por una integral definida: A = f(b) – f(a)

  5. Dividiremos dicha región en rectángulos verticales. Por ejemplo ... n = 3 rectángulos

  6. n = 6 rectángulos

  7. n = 12 rectángulos

  8. n = 24 rectángulos

  9. n = 48 rectángulos

  10. n = 99 rectángulos

  11. Interpretación geométrica de la integral definida La integral definida plantea el límite de una suma de áreas. Suma desde “a” hasta “b” altura ancho

  12. 0 2 Ejemplo 2 ¿De cuántas formas podemos calcular el área “R”? f(x) = 2x Forma 1: Base*altura/2 2*4/2=4 u2 Forma 2: integral definida R

  13. Como acaba de verse, el área de una región podrá plantearse como el límite de una suma de áreas. Este límite está dado por la integral definida: Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.

  14. ¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos?Analicemos los siguientes ejemplos…….

  15. La altura no puede ser negativa Ejemplo 3: área debajo del eje X Respuesta:

  16. La altura no puede ser negativa Ejemplo 4: área por encima y debajo del eje X Respuesta:

  17. Ejemplo 5: área entre dos curvas ¿Cómo podemos aplicar los conocimientos previos a este gráfico? Si se sabe que:

  18. Ejemplo 5 (recordando..) El área bajo la curva f(x) es… El área bajo la curva g(x) es…

  19. Ejemplo 5 Respuesta:

  20. Aplicaciones de la Integral Definida

  21. 1. Excedente del Consumidor Aplicaciones de la Integral Definida 2. El Excedente del Productor 3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la utilidad, ingresos y costos de unaempresa 4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de inversión, respecto de otro

  22. E 2,00$ F 1,00$ 0,50$ G 4 12 20 ANÁLISIS 1: Recordando el concepto de la demanda Precio de los alimentos Una curva de demandaresume la relación inversa existente entre precios y cantidades. Una curva de demandarefleja las cantidades que están dispuestos a comprar los consumidores, ante determinados precios. Demanda Una curva de demandarepresenta la disponibilidad marginal de gastar de parte del consumidor. Alimentos (unidades mensuales)

  23. P S/. por unidad Demanda q 0 1 2 3 4 5 6 ……. ANÁLISIS 2: La disponibilidad total a gastar de los consumidores En el ejemplo….DTG Generalizando: La disponibilidad total a gastar de los consumidoresrefleja la utilidad total que alcanzan los consumidores. La disponibilidad total a gastar de los consumidoresestá representada por toda el área de la región que está por debajo de la curva de demanda

  24. P Oferta S/. por unidad Demanda 4 3 2 q 0 1 2 3 4 5 6 ……. ANÁLISIS 3: El gasto de los consumidores Si se define al gasto como p.q.... ¿Cuál sería el gasto efectuado por los consumidores en este ejemplo? RTA: S/. 8 ¿Cuál sería el área respectiva? RTA…. E Gasto

  25. P P S/. por unidad S/. por unidad Demanda Demanda 4 3 2 4 3 2 q q 0 1 2 3 4 5 6 ……. 0 1 2 3 4 5 6 ……. ANÁLISIS FINAL: El excedente de los consumidores La disponibilidad a gastar en este caso es…. Análisis 2 El gasto efectivo (lo que realmente gastan) en este caso es…. Análisis 3 = 8u2 Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un precio mayor que el del mercado (S/.2 por unidad), se benefician El área que representa dicho “excedente” es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR :Área de Disponibilidad total – Área de Gasto Gasto

  26. p p = D(q) EC 2 0 4 q Resultado del ejemplo En este ejemplo… Generalizando:

  27. Ejercicio Matemático • La ecuación de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para 0 <q< 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dólares y q la cantidad de unidades demandadas. (a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9? (b) ¿Cuál es el EC?

  28. Ejercicios del libro • Problemas de texto : Haeussler, Jr; “Matemáticas para administración y economía”; páginas 672-674

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