Mestrando: Darcson Capa dos Santos Orintadora: Drª Helena Noronha Cury

1. Mestrando: Darcson Capa dos Santos Orintadora: Drª Helena Noronha Cury Santa Maria, Junho de 2011

2. Introdução Sumário Construção das Maquetes Problema da Pesquisa Problemas Questão de Pesquisa Produto Objetivos Atividades Complementares Metodologia da Pesquisa

3. INTRODUÇÃO A Trigonometria é um conteúdo presente no Ensino Médio. Possui, ainda, grande aplicabilidade, tanto na Física como também na própria Matemática. Os livros didáticos para o Ensino Médio dedicam muitas de suas páginas ao ensino da Trigonometria. Entretanto, não fica claro, nem para o aluno, nem para o professor, para que serve esse conteúdo. Diante da grande dificuldade dos alunos em compreender a Matemática é necessário que tenham a oportunidade de aprender interagindo e refletindo, evitando assim, uma aprendizagem mecânica, repetitiva, sem saber o que está fazendo e porque está resolvendo um determinado problema.

4. Entre as possibilidades de emprego de recursos diversificados, encontra-se o uso de materiais manipuláveis; esses recursos, por si só, não levam a uma aprendizagem com significado para o aluno, mas vale lembrar que o professor é o mediador da ação do estudante.

5. PROBLEMADAPESQUISA Com a experiência desenvolvida no estágio, consolidou-se um problema para a pesquisa que vim a desenvolver neste curso de Mestrado: Como o uso de materiais manipulativos pode auxiliar o professor no trabalho com problemas de Trigonometria?

6. O problema desencadeou, a seguir, as seguintes questões de pesquisa: QUESTÃODEPESQUISA Como os alunos resolvem problemas de Trigonometria utilizando materiais manipulativos? Quais habilidades são desenvolvidas pelos alunos ao trabalhar com a construção de maquetes, na resolução de problemas trigonométricos?

7. OBJETIVOS OBJETIVO GERAL Avaliar o uso de materiais manipuláveis como ferramenta para a exploração de conteúdos matemáticos, na resolução de problemas trigonométricos. OBJETIVOS ESPECIFICOS Avaliar a possibilidade de construir maquetes para aprendizagem de Trigonometria; Avaliar as habilidades de questionar, hipotetizar e desenvolver resoluções autônomas de problemas, a partir do uso de materiais manipuláveis em aulas de Matemática.

8. METODOLOGIADAPESQUISA A presente pesquisa é qualitativa e a metodologia adotada no seu desenvolvimento envolveu pressupostos da observação participante, visto que o pesquisador esteve presente no contexto observado. Foi escolhida essa abordagem porque o trabalho foi realizado dentro do ambiente escolar, tendo como fonte de dados as ações dos alunos nas resoluções das atividades propostas. Conforme Lüdke e André (1986, p.11), “a pesquisa qualitativa supõe o contato direto e prolongado do pesquisador com o ambiente e a situação que esta sendo investigada, via de regra,através do trabalho intensivo de campo”.

9. CONSTRUÇÃODASMAQUETES Entre os materiais manipuláveis que podem ser empregados no ensino de Matemática, especialmente em aulas de reforço, estão as maquetes. Conforme Houaiss e Villar (2001, p.1844), “maquete” tem, entre outras, as seguintes acepções: “Representação em escala reduzida de uma obra de arquitetura ou engenharia a ser executada; reprodução em miniatura de edifícios, meios de transporte, paisagens, etc; modelo reduzido.” Dessa forma, são objetos que podem ser tocados e movidos pelos estudantes e podem ser empregados no ensino, para ilustrar determinada situação ou problema matemático. A finalidade da construção das maquetes, nesta pesquisa, é a de utilizar esse tipo de material manipulável como auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, mostrando que a resolução de problemas trigonométricos pode ser trabalhada de forma atrativa, construtiva,interessante e motivadora.

10. Como produção final da dissertação, foi proposto um conjunto de atividades para ser aplicado a turmas de 2º ano do Ensino Médio, durante sete aulas, de 50 minutos cada. Em cada aula, são indicados os objetivos da atividade, os materiais necessários para sua execução e sugestões de problemas para complementar as aulas. PRODUTO

11. Aplicação de um teste sobre conhecimentos prévios de Trigonometria Objetivo: Avaliar os conhecimentos dos estudantes, para detectar dificuldades e planejar atividades de recuperação. Aula 1 Material utilizado: Teste com questões sobre Trigonometria.

12. Aula 2 Exploração da semelhança de triângulos retângulos Objetivo: Revisar a noção de semelhança de triângulos e a proporcionalidade entre os lados. Materiais utilizados: Triângulos retângulos confeccionados em papel cartão, de diferentes cores;

13. Medição da altura de objetos pela sombra Objetivo: Determinar a razão de semelhança entre dois triângulos retângulos; calcular a medida desconhecida de um dos lados de um triângulo retângulo a partir da comparação com outro triângulo retângulo semelhante, cujos lados têm medidas conhecidas; representar, por meio de maquetes, situações-problema que envolvam semelhança de triângulos retângulos Aula 3

14. Materiais utilizados: Tesoura régua; lanterna ou luz. pedaços de borracha; Maquetes ilustrativas (isopor, palitos de churrasco);

15. Medição da altura de objetos com teodolito Objetivo: relacionar ângulos e lados de dois ou mais triângulos retângulos semelhantes; determinar a razão de semelhança entre dois ou mais triângulos retângulos; construir o teodolito; determinar a altura de objetos utilizando o teodolito. Aula 4

16. Materiais utilizados: cartolina ou cartão; palitos de churrasco; barbante; chumbadinha de pescar; tesoura; fita métrica (trena); materiais de desenho.

17. Aula 5 Determinação da razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro Objetivos: Compreender o número Pi (π), como razão aproximada entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro; determinar experimentalmente essa razão.

18. Materiais utilizados: latas de formato cilíndrico de diferentes medidas de diâmetro; rolo de barbante; tesoura ; régua .

19. Problema da escada PROBLEMAS Problema do caminhão Problema da casa

20. Gustavo encostou uma escada numa parede de sua casa de tal modo que o topo da escada ficou a uma altura de 3 m em relação ao chão.Considerando que a escada forma um ângulo de 30° com a parede e que a distância entre a base da parede e a base da escada é expressa por (x-1) m, calcule o valor de x.

21. Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se a um comprimento de 30 m, quando levantada a um ângulo de 70°. Sabe-se que a base da escada está sobre o caminhão em uma altura de 2 m do solo. Qual altura essa escada poderá alcançar em relação ao solo? (Use Sen 70° = 0,94; Cos 70° = 0,34; Tg 70° = 2,75.).

22. Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,6 metros do solo, pode-se concluir que, a altura do edifício, em metros é: (Use os valores: sem 30°=0,5, cos 30°= 0, 866 e tg 30°= 0, 577.

23. ATIVIDADESCOMPLEMENTARES Medindo a largura de uma rua Medição da altura de objetos pela sombra Resolvendo problemas trigonométricos com o auxilio de materiais manipuláveis É importante ressaltar que nessas atividades complementares devem ser exploradas situações-problema que levem os alunos a relacionarem os aspectos cotidianos, escolar e cientifico da Trigonometria. At. 1 At. 2 At. 3

24. ATIVIDADESCOMPLEMENTARES Atividade: Escolha uma árvore, arbusto ou prédio baixo do outro lado da rua como ponto de referência (A). Apóie três estacas de madeiras do lado da rua em que você se encontra, nos pontos B, C e D, formando um ângulo de 90° com A e B, sendo que C e D devem ter a metade de distância de B e C. Por exemplo, caminhe 30 passos a partir da estaca B e coloque a estaca C. Continue caminhando mais 15 passos em linha reta e apóie a estaca D. Caminhe para o longe da rua em ângulo reto de 90° com as linhas B e D, olhando para o ponto A. Quando você estiver alinhado com A e C, pare e coloque a estaca E. Agora é só medir as distâncias D e E, e você terá a metade da largura da rua. Sugestão: O professor poderá realizar essa atividade na quadra de esporte da escola ou ainda construindo maquetes ilustrativas, utilizando materiais manipuláveis ou problemas práticos ligados à trigonometria. Atividade nº1: Medição da largura de uma rua Objetivos: determinar a largura de uma rua; calcular o valor desconhecido de um dos lados de um triângulo a partir da comparação com outro triângulo retângulo semelhante; Materiais utilizados: estacas de madeiras; martelo; trena métrica; calculadora; lápis; caderno; Esta atividade foi adaptada de Mendes (2009, p. 170). Originalmente a proposta é para a medição da largura de um rio, mas, se não houver possibilidade na cidade em que a escola se localiza, pode ser medida a largura de uma rua ou avenida. Esta atividade foi adaptada de Mendes (2009, p. 170). Originalmente a proposta é para a medição da largura de um rio, mas, se não houver possibilidade na cidade em que a escola se localiza, pode ser medida a largura de uma rua ou avenida

25. ATIVIDADESCOMPLEMENTARES Atividade nº 2: Medição da altura de objetos pela sombra Desenvolvimento: Para a realização dessa atividade o docente deverá em primeiro lugar dividir a turma em grupos de cinco alunos, entregar e ler a atividade sem que haja dúvidas, em seguida o grupo deverá nomear um dos componentes para anotar os valores encontrados pelos demais. E ao final da tarefa cada grupo deverá entregar suas considerações sobre tudo que foi apresentado nesta aula, apontando o que foi aprendido, suas dúvidas e dificuldades, casos existam. Objetivos: Determinar a razão de semelhança entre dois triângulos retângulos; calcular a medida desconhecida de um dos lados de um triângulo retângulo a partir da comparação com outro triângulo retângulo semelhante, cujos lados têm medidas conhecidas; representar, por meio de maquetes, situações-problema que envolvam semelhança de triângulos retângulos. Materiais utilizados: Maquetes ilustrativas (isopor, palitos de churrasco) régua; lanterna ou luz. pedaços de borracha; tesoura.

26. ATIVIDADESCOMPLEMENTARES Resolução de problemas trigonométricos com auxílio de materiais manipuláveis 1. Uma bola rola sobre uma tábua de 2 metros de comprimento, conforme mostra a figura abaixo. Essa tábua está inclinada 20° em relação à horizontal e se apóia sobre uma haste, representada pelo segmento . Qual é a altura dessa haste? (Use sen 20° = 0,34 e cos20°=0,94). Problema retirado de Giovanni; Castrucci; Giovani Jr. , 2007, p. 290. 2. Uma rampa lisa com 10 m de comprimento faz ângulo de 15° com o plano horizontal. Quantos metros se eleva do solo uma pessoa que sobe toda a rampa? (Use: sen 15° = 0,26 ; cos 15° = 0,97; tg 15° = 0,27.)  Problema adaptado de Dante, 2005, p. 150.

27. ATIVIDADESCOMPLEMENTARES 3. Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até ficar com comprimento de 30 m, quando levantada sob um ângulo de 70°. Sabe-se que a base da escada está sobre o caminhão a uma altura de 2 m do solo. Qual altura o topo da escada poderá alcançar em relação ao solo? (Use sen 70° = 0,94; cos 70° = 0,34; tg 70° = 2,75.). Problema retirado de Giovanni; Castrucci; Giovani Jr. , 2007, p. 280. 4. Caio está distante 40 m da base de um obelisco de 30,4 m de altura. Os olhos de Caio estão a x metros do plano horizontal. Calcule o valor de x? (Use sen 36°=0,58; cos 36°=0,80 e tg36°=0,72). Problema retirado de Giovanni; Castrucci; Giovani Jr. , 2007, p. 278.

28. ATIVIDADESCOMPLEMENTARES 5. Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6 m de telhado e que a distância do chão até a laje do teto é de 3 m, determine a que altura do chão se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Use: sen 20° = 0,34; cos 20° = 0,94; tg 20° = 0,36). Problema adaptado de Dante, 2005, p. 152.