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Periodic solution of van der Pol differential equation.

Periodic solution of van der Pol differential equation. Seminar at Kitami Institute of Technology January 8, 2009, By Akio Arimoto ( 武蔵工業大学）. van der Pol Equation. 概略. Van der Pol の微分方程式 がリミットサイクルをもつということ ２．微分方程式から導かれる積分方程式 （いくつかの基本公式）. ３．　周期解の様子 （円、半径が決まってくる） ４．周期　. 簡単な例. 両辺に　　　をかけると.

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Presentation Transcript

  1. Periodic solution of van der Pol differential equation. Seminar at Kitami Institute of Technology January 8, 2009, By Akio Arimoto (武蔵工業大学）

  2. van der Pol Equation

  3. 概略 • Van der Pol の微分方程式がリミットサイクルをもつということ ２．微分方程式から導かれる積分方程式（いくつかの基本公式）

  4. ３．　周期解の様子（円、半径が決まってくる）３．　周期解の様子（円、半径が決まってくる） ４．周期　

  5. 簡単な例

  6. 両辺に　　　をかけると 相空間　　　　　で円をなす

  7. 両辺に　　　　を掛ける Limit Cycle の存在の可能性

  8. 行列形式

  9. 解の積分方程式

  10. のスペクトル表現

  11. 基本行列のスペクトル表現

  12. Theorem 1.2

  13. 定理１．２からの帰結（１） • 2つの時点　　, 　　の関係

  14. 定理１．２からの帰結（２） • 初期時点を　

  15. Theorem1.2 の証明(1)

  16. Theorem1.2 の証明(2)

  17. Ｔｈｅｏｒｅｍ１．３

  18. Ｔｈｅｏｒｅｍ１．３の証明

  19. Theorem1.4 周期条件

  20. Ｔｈｅｏｒｅｍ１．５　周期条件

  21. Ｔｈｅｏｒｅｍ１．６周期条件

  22. に同等な積分方程式

  23. 同等な積分方程式

  24. 周期条件　　　

  25. 周期条件

  26. Limit cycle から決まる円 • 　　　　　　　の解は任意の半径を持つ円　　　

  27. Limit cycle の様子

  28. Another Aproach

  29. is a period of the solution

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