Cinemática Directa

1. INTELIGENCIA ARTIFICIAL Cinemática Directa Mg. Samuel Oporto Díaz

2. Mapa Conceptual del Curso Robótica de Manipuladores Coordinación y Sincronización Robótica Móvil Inteligencia y Conocimiento Agentes Procesamiento de Imágenes Patrones Redes Neuronales

3. Tabla de Contenido • REPRESENTACIÓN POSICIÓN Y ORIENTACIÓN • TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS • Parámetros Denavit-Hartenber

4. Objetivos Al final del curso el alumnos estará en capacidad de: • Describir y analizar movimientos rígidos. • Describir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador y operar con los resultados de las ecuaciones. • Resolver problemas de cinemática inversa

5. REPRESENTACION DE POSICION Y ORIENTACION EN EL ESPACIO

6. Z Z Z Y X Y X Y X Orientación de los ejes en 3-D Regla de la mano derecha

7. Ejercicio 1 • Para los siguientes sistemas de referencia, indique la orientación de los ejes (el lado positivo). Y X Z X Y Z

8. x z y z x y Sistema de Referencia • Es el sistema de coordenadas con respecto al cual se realizan los cálculos. • Se hace uso del sistema de coordenadas cartesianas. {A} Xi I x Pf X’ {B} x Px β Pi Yi {C} Y’

9. z z y y x x Movimiento del efector final • La manipulación de piezas mediante un robot implica conocer la posición del efector final y la orientación que tiene, con respecto a la base del robot. POSICION ORIENTACION

10. POSICION • Una vez que se establece un sistema de coordenadas, podemos localizar cualquier punto en el espacio con un vector de posición (3x1). • Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al cual dicho vector es referido. px py pz AP =

11. ORIENTACION • Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente a este, otro sistema de coordenadas. • Luego se da la “descripción” de este sistema de coordenadas “relativa” al sistema de coordenadas de referencia. • Existen varios métodos para representar la orientación: • Matriz de Rotación. • Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ) • Roll, pitch y yaw. • Vector -ángulo (o par de rotación). • Cuaternios.

12. Giro en ángulo positivo Eje + θ +

13. ORIENTACION

14. ORIENTACION La orientación de B con respecto a A es representado por: Z θ Y θ

15. Coordenadas Homogéneas • Las matrices que indican la posición y orientación de un espacio no es suficiente para describir un espacio. • Por lo que es necesario incluir algunos conceptos adicionales. • La nueva matriz incluye la perspectiva y la escala. • T = = R3x3p3x1 f1x3w1x1 Rotación Traslación Perspectiva Escalado

16. TRANSFORMACION DE COORDENADAS

17. ZA ZB {A} {B} YA YB XA XB TRASLACION • Cómo expresar la traslación de sistemas de coordenadas: • Sea el espacio {B} que se desplaza P con respecto al espacio {A} P 1 0 0 px 0 1 0 py 0 0 1 pz 0 0 0 1 A B T =

18. Ejercicio 2 Sea el espacio {A} y el vector AP = [2 3 4]T. • Indique la matriz de transformación para trasladar el espacio {A} en una distancia dada por el ventor P. Esta matriz permite trasladar cualquier punto en el espacio {B} hacia el espacio {A}. • Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}. [1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T • Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}. [1 2 2]T, [3 3 5]T, [3 2 2]T

19. 3 5 7 1 5 7 9 1 5 5 5 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 3 4 5 1 1 2 3 1 3 2 1 1 = = = Ejercicio 2 • Matriz de transformación de B hacia A. 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 A B T =

20. 3 5 7 1 5 7 9 1 5 5 5 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4 0 0 0 1 3 4 5 1 1 2 3 1 3 2 1 1 = = = Ejercicio 2 • Matriz de transformación de A hacia B. 1 0 0 -2 0 1 0 -3 0 0 1 -4 0 0 0 1 B A T =

21. Ejercicio 3 • Cierto sistema, se traslada en P1, luego se traslada en P2 y luego en P3, para obtener finalmente el sistema {B}. P1 = [-3, 3, 2]T, P2 = [2, 4 -1]T, P3 = [0, -2, 4]T • Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}. [1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T • Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}. [-1 2 3]T, [2 2 2]T, [3 -2 1]T

22. ROTACION • Cómo expresar la rotación de coordenadas. • Se implementará la función R( eje, ángulo) • La función indica la orientación del nuevo sistema de referencia con respecto al primero, cuando se rota cierto eje en cierto ángulo. • La rotación positiva se considera tomando en consideración la regla de la mano derecha.

23. Rotación en el eje X • Definir las matrices de rotación para los ejes X, Y, Z

24. Ejercicio 4 • El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje Z, calcule la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado en el sistema {B}

25. Z Y X Ejercicio 4 Y 60º X 60º cπ/3 -sπ/3 0 0 cπ/3 cπ/3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 cπ/3 -sπ/3 0 0 cπ/3 cπ/3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Rot(z, π/3) =

26. Ejercicio 5 • El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje X, luego 60º alrededor del eje Y y luego 60º alrededor del eje Z. Calcule la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado en el sistema {B}

27. Parámetros Denavit-Hartenber

28. Conceptos de robótica • Cadena cinemática abierta formada por eslabones y articulaciones: • Rotación • Prismáticas • Estudio cinemático • Estudio dinámico

29. Conceptos de geometría espacial • Consideraremos como sistemas de referencia los formados por tres ejes rectilíneos (X,Y,Z): • Ortogonales (perpendiculares 2 a 2) • Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales) • Dextrógiros (el tercer eje es producto a vectorial de los otros 2)

30. Conceptos de geometría espacial • Las coordenadas de un punto P(x,y,z), son las proyecciones de dicho punto perpendicular a cada eje. • Utilización de las llamadas coordenadas generalizadas:

31. Traslaciones y Rotaciones

32. Matriz de Transformación T • Matriz de dimensión 4X4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. • relaciona el sistema de referencia solidario al punto terminal con un sistema de referencia fijo (mundo).

33. Cinemática directa • Encontrar la forma explicita de la función que relaciona el espacio de articulaciones del robot (dimensiones de los eslabones y giros relativos) con el espacio cartesiano de posiciones/orientaciones. (x, y, z, α, β, γ) = f (q1,q2,...,qn)

34. Resolución cinemática directa Sn = T . S0 • Sn es el origen del sistema de referencia del extremo del robot (pinza) en coordenadas generalizadas • S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

35. Cinemática inversa • Consiste en determinar la configuración que debe adoptar un robot para una posición y orientación del extremo conocidas. • No existe solución única. (q1,q2,...,qn) = f(x, y, z, α, β, γ)

36. Obtención de la matriz T • Sencillo para cadenas cinemáticas abiertas de cualquier número de grados de libertad, pero complejo para el caso de cadenas cinemáticas cerradas. • Parámetros de D-H.

37. Algoritmo • Elegir un sistema de coordenadas fijo (X0, Y0, Z0) asociado a la base del robot • Localizar el eje de cada articulación Z: • Si la articulación es rotativa, el eje será el propio eje de giro. • Si es prismática, el eje lleva a dirección de deslizamiento.

38. Algoritmo • Situar los ejes X el la línea normal común a Zi-1 y Zi. • Si estos son paralelos, se elige la línea normal que corta ambos ejes • El eje Yi debe completar el triedro dextrógiro

39. Algoritmo • Parámetros de D-H: • αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular a Xi. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd). • ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi. • θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd. • di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

40. Algoritmo • αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular a X. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).

41. Algoritmo • ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi.

42. Algoritmo • θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd.

43. Algoritmo • di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.

44. Ejemplo

45. Obtención de T • Matriz de transformación desde el sistema i-1 hasta el i.

46. Resolución cinemática directa • Resolución cinemática directa Sn = T . S0 • Sn es el origen del sistema de referencia de la pinza en coordenadas generalizadas • S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.

47. Puma 560

48. Bibliografía • John Craig, “Introduction to robotics,” Addison Wesley. • G. Dudek and M. Jenkin, “Computational Principles of Mobile Robotics,” Cambridge University Press.

49. PREGUNTAS