1 / 33

AVL Tree

AVL Tree. เป็น binary search tree ที่มี. สำหรับแต่ละโนด ความสูงของ left กับ right subtree ต่างกันได้อย่างมากแค่ 1 ถ้า tree เป็น empty tree เราให้ height เป็น -1 ความสูงของ AVL tree จะเป็น log N ค่าจริงคือ 1.44log(N+2)-.328

rae-miranda
Download Presentation

AVL Tree

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. AVL Tree

  2. เป็น binary search tree ที่มี • สำหรับแต่ละโนด • ความสูงของ left กับ right subtree ต่างกันได้อย่างมากแค่ 1 • ถ้า tree เป็น empty tree เราให้ height เป็น -1 • ความสูงของ AVL tree จะเป็น log N • ค่าจริงคือ 1.44log(N+2)-.328 • เพราะว่าความสูงของ left กับ right subtree ต่างกันได้อย่างมากแค่ 1 • จำนวนโนดที่น้อยที่สุดของต้นไม้ที่มีความสูง h, s(h) = s(h-1)+s(h-2)+1 • เมื่อ h=0, s(h) =1 • เมื่อ h=1, s(h) =2 • คล้าย fibonacci

  3. 1 1 1 1 AVL Non-AVL

  4. 0 1 1 ใส่โนดใหม่เข้ามาทำให้เสียความเป็น AVL ฟังก์ชั่นต่างๆ • O(log(N)) หมด ยกเว้นการ insert กับ remove ซึ่งอาจทำให้เสียความเป็น AVL ไป

  5. แก้ด้วย single rotation แก้ด้วย double rotation แก้ความไม่เป็น AVL ด้วยการ rotate • จากการ insert • โนดที่อยู่บนทางจากจุดที่ใส่ถึง root เท่านั้นที่มีความสูงเปลี่ยน • ถ้าเราไล่ดูจากจุดที่ insert ขึ้นไป ก็จะพบโนดที่เสียความเป็น AVL ที่อยู่ลึกสุด เราจะแก้ที่โนดนี้ โนดนี้มีได้สี่แบบเท่านั้น

  6. ดึงขึ้น a b ย้ายที่เกาะ ไปเกาะโนดเจ้าปัญหา a b Z X X Y Y Z แก้ได้แล้วก็ไม่ต้อง rotate ที่ไหนต่ออีก Single rotation หลังจากการ insert

  7. 5 เสีย AVL จากโนดนี้ 5 2 8 2 7 0 1 1 4 7 1 4 6 8 1 3 6 3 ตัวอย่าง 1

  8. 3 3 3 rotate 2 2 2 1 1 3 ตัวอย่าง 2 • เริ่มจากไม่มีอะไร เรา insert 3,2,1 เสียความเป็น AVL To be continued

  9. 2 เสียความเป็น AVL 2 1 3 1 3 4 2 4 5 1 4 3 5 To be continued • ต่อไปเรา insert 4,5

  10. เสียความเป็น AVL rotate 4 2 5 2 1 3 1 6 4 6 3 5 • ต่อไปเรา insert 6 To be continued

  11. เสียความเป็น AVL 4 4 2 rotate 5 2 6 1 3 1 3 6 5 7 7 • ต่อไปเรา insert 7

  12. a b b a Z X Y X Y Z Double rotation • Single rotation ไม่ได้แล้ว Y ไม่เปลี่ยนระดับ

  13. โนดที่เจ๊ง a a b b Z Z X Y c X มีการ insert ดังนั้นต้องมีของแน่ๆ Y1 Y2

  14. a a c b Z Z c b X Y2 X Y1 Y2 Y1 หมุนครั้งแรก

  15. a c c b a Z b X Y2 Y1 Y2 Z X Y1 หมุนครั้งที่สอง

  16. ให้ c ปล่อย Y1,Y2 แล้วกระโดดขึ้นหิ้ว a กับ b แทน c a a b b Z c X X Z Y1 Y2 Y1 Y2 ส่วน Y1, Y2 ก็หาที่เกาะข้างๆ • ไม่รู้ว่าข้าง Y1 หรือ Y2 กันแน่ที่ทำให้เสีย แต่ก็ไม่เป็นไรเพราะในตอนจบก็ลดระดับกันหมด

  17. 4 4 2 6 เจ๊ง 2 6 rotate 1 3 5 7 1 3 5 15 16 7 16 15 ตัวอย่าง • Insert 16,15 เสียความเป็น AVL ตอน insert 15

  18. เจ๊ง 4 4 2 rotate 6 2 7 1 3 5 1 15 3 6 15 7 16 5 14 16 ต้องเป็นตัวกระโดด 14 • Insert 14

  19. เจ๊ง ขวาสองทีแบบนี้ใช้ single rotation 4 7 2 7 4 15 1 3 rotate 6 15 2 6 14 16 5 14 16 1 3 5 13 13 • Insert 13

  20. 7 4 15 2 6 14 16 1 3 5 13 7 4 • Insert 12 ก็ทำให้ต้อง single rotate อีก 15 เจ๊ง rotate 2 6 13 16 1 3 5 12 14 12

  21. 7 เจ๊ง 7 4 4 • Insert 11 ก็ทำให้ต้อง single rotate อีก 13 15 rotate 15 12 2 6 6 13 2 16 1 3 1 14 16 5 3 5 12 14 11 11

  22. 7 4 13 เจ๊ง rotate 15 12 6 2 1 14 16 5 3 11 10 7 4 • Insert 10 ก็ทำให้ต้อง single rotate อีก 13 15 6 11 2 14 16 5 3 1 10 12

  23. 7 4 13 • Insert 8 ไม่มีอะไรเกิดขึ้น • Insert 9 ต่อเลย ง่ายๆ 6 15 2 11 เจ๊ง 5 3 1 10 12 14 16 8 9 10 8 9

  24. class AvlNode • { • // Constructors • AvlNode( Comparable theElement ) • { • this( theElement, null, null ); • } • AvlNode( Comparable theElement, AvlNode lt, AvlNode rt ) • { • element = theElement; • left = lt; • right = rt; • height = 0; • } • // Friendly data; accessible by other package routines • Comparable element; // The data in the node • AvlNode left; // Left child • AvlNode right; // Right child • int height; // Height • } เดี๋ยวต้องมีเมธอดที่รีเทิร์น height เพื่อเราจะได้ไม่ต้องวุ่นวายถ้าโนดที่ต้องการดูเป็น null

  25. ในหนังสือไม่มีการ remove • public class AvlTree • { private AvlNode root; • /** • * Construct the tree. • */ • public AvlTree( ) • { • root = null; • } • /** • * Insert into the tree; duplicates are ignored. • * @param x the item to insert. • */ • public void insert( Comparable x ) • { • root = insert( x, root ); • }

  26. เมธอดเหมือน binary search Tree เยอะ ข้ามละกัน • /** • * Find the smallest item in the tree. • * @return smallest item or null if empty. • */ • public Comparable findMin( ) • { • return elementAt( findMin( root ) ); • } • /** • * Find the largest item in the tree. • * @return the largest item of null if empty. • */ • public Comparable findMax( ) • { • return elementAt( findMax( root ) ); • }

  27. /** • * Return the height of node t, or -1, if null. • */ • private static int height( AvlNode t ) • { • return t == null ? -1 : t.height; • } • /** • * Return maximum of lhs and rhs. • */ • private static int max( int lhs, int rhs ) • { • return lhs > rhs ? lhs : rhs; • } ฟังก์ชั่นช่วย

  28. t Insert • /** • * Internal method to insert into a subtree. • * @param x the item to insert. • * @param t the node that roots the tree. • * @return the new root. • */ • private AvlNode insert( Comparable x, AvlNode t ) • { • if( t == null ) • t = new AvlNode( x, null, null ); • else if( x.compareTo( t.element ) < 0 ) • { • t.left = insert( x, t.left ); • if( height( t.left ) - height( t.right ) == 2 ) • if( x.compareTo( t.left.element ) < 0 ) • t = rotateWithLeftChild( t ); • else • t = doubleWithLeftChild( t ); • } ถ้า==2เป็นจริง x ต้องอยู่ต่ำกว่านี้

  29. t • else if( x.compareTo( t.element ) > 0 ) • { • t.right = insert( x, t.right ); • if( height( t.right ) - height( t.left ) == 2 ) • if( x.compareTo( t.right.element ) > 0 ) • t = rotateWithRightChild( t ); • else • t = doubleWithRightChild( t ); • } • else • ; // Duplicate; do nothing • t.height = max( height( t.left ), height( t.right ) ) + 1; • return t; • }

  30. k2 k1 k1 k2 • /** • * Rotate binary tree node with left child. • * For AVL trees, this is a single rotation for case 1. • * Update heights, then return new root. • */ • private static AvlNode rotateWithLeftChild( AvlNode k2 ) • { • AvlNode k1 = k2.left; • k2.left = k1.right; • k1.right = k2; • k2.height = max( height( k2.left ), height( k2.right ) ) + 1; • k1.height = max( height( k1.left ), k2.height ) + 1; • return k1; • }

  31. k1 k2 k2 k1 • /** • * Rotate binary tree node with right child. • * For AVL trees, this is a single rotation for case 4. • * Update heights, then return new root. • */ • private static AvlNode rotateWithRightChild( AvlNode k1 ) • { • AvlNode k2 = k1.right; • k1.right = k2.left; • k2.left = k1; • k1.height = max( height( k1.left ), height( k1.right ) ) + 1; • k2.height = max( height( k2.right ), k1.height ) + 1; • return k2; • }

  32. k3 k3 k1 k2 Z k2 Z k2 k1 k3 X k1 Y2 X Z Y1 Y2 X Y1 Y2 Y1 • /** • * Double rotate binary tree node: first left child • * with its right child; then node k3 with new left child. • * For AVL trees, this is a double rotation for case 2. • * Update heights, then return new root. • */ • private static AvlNode doubleWithLeftChild( AvlNode k3 ) • { • k3.left = rotateWithRightChild( k3.left ); • return rotateWithLeftChild( k3 ); • }

  33. k1 k1 k2 k3 Z k2 Z k1 k3 k2 X k3 Y2 X Y1 Z Y2 Y2 Y1 X Y1 • /** • * Double rotate binary tree node: first right child • * with its left child; then node k1 with new right child. • * For AVL trees, this is a double rotation for case 3. • * Update heights, then return new root. • */ • private static AvlNode doubleWithRightChild( AvlNode k1 ) • { • k1.right = rotateWithLeftChild( k1.right ); • return rotateWithRightChild( k1 ); • }

More Related