Bylgjur í aflfræði

1. Bylgjur í aflfræði Eðlisfræði 1 V/R 18. fyrirlestralota 16. kafli í Benson og 15. kafli í Fylgikveri

2. 16. Bylgjur: Yfirlit B. 324 • Einkenni bylgna, útbreiðsla, summuregla, endurkast, framferð, bylgjubrot, öldubeygja • Hraði ákvarðast af eiginleikum “burðarefnis”, t.d. togkrafti og massaþéttleika í streng • Hreintóna (harmonic) bylgjur • Munurinn á hraða efnis og bylgju • Stæðar bylgjur, m.a. hermandi (resonant) • Orkuflutningur í bylgjum • Bylgjujafnan (diffurjafna)

3. Hvað er bylgja? B. 324-326 og víðar • Bylgja er truflun sem berst út frá e-s konar upptökum, án þess að efni flytjist verulega til • Bylgjur geta borist um fjaðrandi eða fljótandi efni skv. lögmálum aflfræðinnar, t.d. fjaðurbylgjur í streng eða stöng, hljóð í lofti eða öðru straumefni og yfirborðsbylgjur á vökva • Rafsegulbylgjur geta borist um tómarúm skv. lögmálum rafsegulfræðinnar (jöfnum Maxwells) • Smásæjar efniseindir hegða sér stundum eins og bylgjur, í samræmi við skammtafræðina

4. Stærðfræðileg lýsing á bylgjum Sbr. F. 64, B. 330-331 • Lýsum trufluninni með falli y = f (x,t) • Fyrir t = 0 er húnf (x,0) = g(x) • Eftir tímann t hefur truflunin færst til eftir x-ásnum: y = f (x,t) = f (x-vt,0) = g(x-vt) f(x,0) f(x,t) vt x x x - vt f kallast bylgjufall

5. Þverbylgjur og langsbylgjur 1 F. 64, B. 325 • Í þverbylgju er sveiflan (hreyfingin) þvert á útbreiðslustefnuna. • Ath: Svigrúmsvídd 2 • Dæmi: Þverbylgjur í streng, rafsegulbylgjur • Í langsbylgju er sveiflan í útbreiðslustefnuna • Dæmi: Hljóð, togspennubylgjur

6. Þverbylgjur og langsbylgjur 2 F. 64, B. 325 • Stundum getur sama efni flutt báðar tegundir • Eins getur bylgjan verið blönduð, sbr. jarðskjálftabylgjur

7. F. 64-65, B. 331-2 Hreintóna bylgjur 1: Harmónískt bylgjufall • Bylgja er hreintóna (harmonic) ef f (x,t) er á forminu y = A cos k(x – vt) • Þegar frumbreytan k(x – vt) breytist um 2p, endurtekur fallið sig. • Þarna mætti allt eins nota sínus.

8. Hreintóna bylgjur 2: Bylgjulengd og tíðni F. 64-65, B. 331-2 y = A cos k(x – vt) • Fyrir fast t fæst bylgjulengdin l, og fyrir fast x fæst sveiflutíminnT og tíðnin n: l = 2p/k, T = 2p/kv = l/v n = 1/T = v/l, w = 2pn = kv

9. Hreintóna bylgjur 3: Rithættir og framferð F. 65-66, B. 332 • Við getum skrifað y með tvennum öðrum hætti: y = A cos((2p/l)x – 2pnt) = A cos(kx-wt) • Skoðum betur framferðina á myndunum. • Takið eftir muninum á v og y/t

10. Hreintóna bylgjur 4:Bylgjujafnan F. 65-66, B. 331-332 y = A cosk (x - vt) = A cos(2px/l - 2pnt) = A cos(kx - wt) • Með því að diffra þetta tvisvar og bera saman við fyrri jöfnur um hraða o.fl. fáum við diffurjöfnu bylgjunnar, bylgjujöfnuna:  2y/t2 = v2  2y/2x • Þessi jafna gildir almennt um allar bylgjur í einni vídd, þ.e. sem lýst er með einu rúmhniti x. Hana má oft leiða út frá eðlisfræðilegum eiginleikum efnisins eða til dæmis út frá jöfnum Maxwells.

11. Bylgjur í streng F. 66-67, B. 327-8 og víðar • Með því að skoða massabút Dm eins og myndin sýnir má leiða út bylgjujöfnuna: 2y/ x2 = (m/T) 2y/  t2 • Með samanburði við alm. jöfnuna sjáum við að v = Ö(T/m) • Vaxandi fall af T, en minnkandi af m • Óháður sveifluvídd, bylgjulengd eða tíðni

12. Samlagning bylgna 1: Reglan • Bylgjur leggjast saman skv. bylgjuföllum (B. 326-327)

13. Samlagning bylgna 2: Bylgjuvíxl fyrir hreintóna bylgjur • Hreintóna bylgjur með fasamun (F. 67-8): y = A cos(kx - wt) + A cos(kx - wt + d)= 2A cos(kx- wt +d/2) cos(d/2) • Út kemur ein, ný hreintóna bylgja • Bylgjuvíxl eða samliðun (interference) • Eyðandi eða styrkjandi (eftir gildinu á d) • Einkennandi fyrir bylgjur

14. Samlagning bylgna 3: Hviður F. 68-69 • Höfum tvær bylgjur með svipaðri bylgjulengd: y = A (cos(k1x – w1t) + cos(k2x – w2t)) • Út kemur, t.d. fyrir t = 0: y = 2A cos(Dk x/2) coskmx Dk = k1 – k2, km = (k1+k2)/2 • Eiginlega löng bylgja sinnum stutt, sbr. mynd • Tíðni hviðna = mismunurinn

15. Samlagning bylgna 4: Setning Fouriers F. 69 • Sérhvert lotubundið fall má skrifa sem röð af sínus- og kósínusföllum: f(x) = ½ A0 + S (An cos nkx + Bn sin nkx) n = 1, 2, 3, ...; k = 2p/l, l er lotan • Þetta er ein undirstaða þess að hreinar sveiflur og hreintóna bylgjur (hljóð) eru svo mikilvægar í tilverunni • Einfaldir hlutir gefa frá sér hreinar sveiflur og nema þær

16. Stæðar bylgjur 1: Grunnur • Í F. (69-70; sbr. aðra túlkun í B. 333) er sýnt fram á að bylgjujafnan hefur lausnir eins og y = 2A cos kx cos wt • þar sem w = kv • og sin getur líka verið í stað cos; slíkt fer eftir svokölluðum randskilyrðum. • En í öllum tilvikum er bylgjan stæð og hnútar og bugpunktar skiptast á, sjá næstu glæru.

17. Stæðar bylgjur 2: Mynd • Myndin sýnir stæða bylgju á mism. tímum, frá t = 0 upp í t = T/2 með jöfnum millibilum. Þegar t = T/4 er útslagið 0 alla leið. Punktarnir x = np eru bugpunktar en x = (2n + 1)p/2 eru hnútapunktar. • Þetta gætu verið bylgjur í streng, orgelpípu osfrv.

18. Stæðar bylgjur 3: Eiginsveiflur F. 70-71, B. 336 • Strengur fastur í báða enda, y(0) = y(L) = 0 • Fyrra skilyrðið útilokar cos kx og hitt gefur sinkL = 0, kL = np, l = 2L/n f = n v/(2L) (eigintíðni) • Ef hægri endinn er hins vegar laus fæst þar að dy/dx = 0, kL = (2n+1)p/2

19. B. 333-336, vantar beina umræðu í F. Stæðar bylgjur 4: Sem hermisvörun • Stæðar bylgjur myndast oft sem hermisvörun, sbr. hermur í sveiflufræðinni

20. Endurkast, framferð, öldubrot 1 B. 328-330; vantar í F, því miður! • Þessi þrjú atriði eru líka einkenni á bylgjum, í rauninni velþekkt: • Bylgjur endurkastast t.d. á (skörpum) skilum milli efna • Hluti bylgjunnar fer líka inn í nýtt efni (framferð, transmission) • Ef bylgjan kemur á ská inn að skilum milli efna, þá “brotnar” hún, þ.e. framferðarbylgjan breytir um stefnu Sjá myndir á næstu glæru

21. Endurkast, framferð, öldubrot 2 B. 328-9, vantar í F. • Endurkastað bylgjuhögg er ýmist viðsnúið eða ekki

22. Endurkast, framferð, öldubrot 3 B. 330, vantar í F. • Endurkast frá skilum milli efna fer eftir ölduhraða í efnunum • Þetta á líka við um öldubrotið! • Á myndunum er það massaþéttleikinn á strengjunum sem ræður hraðanum og þar með hegðun endurköstuðu bylgjunnar.

23. Öldubeygja 1 Vantar í B. og F., og það er synd! • Bylgjur beygja fyrir horn (diffraction) • Það er þó háð öldulengd, í samanburði við opin sem bylgjan fer í gegnum, sbr. myndirnar

24. Öldubeygja 2 • Sbr. til dæmis hljóð fyrir utan dyr eða víðóma hljóð í stofum • Raufagler (öldubeygja og bylgjuvíxl) • Langar rafsegulbylgjur (langbylgjur í útvarpi) beygja fyrir jarðbunguna. • Stuttar rafsegulbylgjur (sjónvarp, farsími) beygja ekki fyrir bunguna og jafnvel ekki fyrir fjöll eða niður í dali. • Þess vegna þurfum við svo margar endurvarpsstöðvar og þess vegna eru fjarskiptatungl svo mikilvæg.