Dvoboj kod O. K. kocke

1. Dvoboj kod O. K. kocke iliti: grupa Rubikove kocke F. M. Brückler, listopad 2007.

2. Rubikova kocka • kocka podijeljena na 27 sukladnih kocki, srednja je fiksna i sadrži mehanizam koji omogućuje rotaciju pojedine strane čitave kocke • vjerojatno najprodavanija igračka svih vremena • Ernö Rubik, 1974. • masovna produkcija od 1980., puno kopija i varijanti • standard boja: • crvena nasuprot narančaste, • žuta nasuprot bijele, • plava nasuprot zelene

3. Potez vs. stanje kocke • ako smo krenuli od nekog stanja kocke svaki potez jedinstveno definira novo stanje: preraspoređene kockice • skup svih poteza na Rubikovoj kocki ćemo označavati s GR • uoči: potez je funkcija koja stanju pridružuje stanje

4. Singmasterova notacija • fiksiramo početni položaj (tj. pamtimo boje srednjih kvadratića) kocke • 6 osnovnih poteza su rotacije pojedinih strana za 90° u smjeru kazaljke na satu • F i B: prednja i stražnja • L i R: lijeva i desna • U i D: gornja i donja • potez = konačan niz osnovnih poteza

5. Još malo oznaka • XM = rotacija srednjeg sloja paralelnog strani X u smjeru kazaljke na satu • pomoću malih slova označavamo podkocki-ce: 3 slova za vrhove, 2 slova za bridne kockice • npr. urf je gornji desni prednji vrh, lb je stražnja lijeva bridna kockica • uzastopno izvođenje poteza označavat ćemo nadopisivanjem slijeva udesno

6. Ponavljanje poteza i neutralni potez • Xi = potez X ponovljen i puta zaredom • npr. umjesto FFF pišemo F3 • F9=F • ništa ne raditi je također potez: I

7. Inverzni potezi • ma kako da smo “izvrtili” kocku, ako se sjećamo tih poteza, možemo ju opet “izvrtiti” u početno stanje vrteći obrnutim redoslijedom • obrnuti potez od X zovemo inverznim i označavamo s X-1 • ako je X osnovni potez: X-1 = X3 • inverz poteza XY...Z je Z-1...Y-1X-1

8. Što je binarna operacija? • broj plus broj daje broj • potez pa potez daje potez • binarna operacija je pravilo koje dvama elementima nekog skupa pridružuje element istog skupa

9. Komutativnost • operacija je komutativna ako nije bitan redoslijed njene primjene, npr. zbrajanje brojeva • uzastopno izvođenje poteza nije: FR nema isti efekt kao RF • ako operacija nije komutativna, svejedno neki parovi elemenata mogu komutirati, npr. FB=BF • kad bi izvođenje poteza na Rubikovoj kocki bilo komutativno, bilo bi ju lako riješiti – samo bi trebalo pobrojiti koliko kojih osnovnih poteza se izvelo i izvesti ih do idućeg višekratnika od 4

10. Red poteza • ponavljamo potez X dobivamo poteze XX=X2, XXX=X3, ... • ako je X osnovni potez vidjet ćemo: X4=I tj. četverostruka primjena osnovnog poteza ima efekt kao ništa ne raditi • dogovor: X0=I • najmanji broj n>0 takav da je Xn=I zovemo red od X • odredi red od F2R2!

11. Permutacije • permutacija konačnog skupa (npr. kockinih podkoc-kica) je preraspoređivanje elemenata tog skupa • skup svih permutacija n-članog skupa: Sn • taj skup ima n!=1·2·3·... ·n elemenata • svaki potez daje novi raspored kvadratića na kockinim stranama – svaki potez je element iz S54 (zapravo, od S48) • pazi: nije rečeno da se svaki potez može jedinstveno zapisati – dva zapisa predstavljaju isti potez ako imaju isti efekt

12. Permutacije na kocki • kako potezima ne možemo vršnu kockicu pretvoriti u bridnu ni obrnuto, razumno je istovremeno, ali odvojeno razmatrati skup permutacija vršnih kockica SVS8 i skup permutacija bridnih kockica SES12 • svako stanje kocke možemo opisati uređenim parom permutacije vrhova i permutacije bridova tj. GR S8×S12

13. Parne i neparne permutacije • permutacija je parna/neparna ako parno/ne-parno mnogo puta promijeni redoslijed dva elementa skupa kojeg permutira

14. Kompozicija permutacija • uzastopno izvođenje permutacija na istom skupu • uzastopno izvođenje dva poteza je kompozicija dvije permutacije • kompozicija je binarna operacija na Sn • npr. skup {1,2,3}, permutacija f zamjenjuje prva dva elementa, a permutacija g zamjenjuje zadnja dva elementa  f iz 1,2,3 napravi 2,1,3, a onda g to preuredi u 2,3,1 tj. fg prevodi 1,2,3 u 2,3,1 • oprez: po redoslijedu obrnuta notacija nego je inače koristimo za kompoziciju funkcija • inverzni potez = inverzna permutacija

15. Ciklusi • ciklus (a b c ... z) je permutacija koja a pošalje u b, b u c, c u d itd. i na kraju z šalje u a (ostali elementi skupa se ne miču) • ciklus duljine n je reda n • npr. potez RDR-1URD-1R-1U-1 je ciklus (brdurbulb) • važno: svaka permutacija je kompozicija ciklusâ kocka se može srediti ciklusima!

16. Kompozicije ciklusa • p=(1 3)(2 6)(4 5 7) znači: 1 se zamijeni s 3, 2 sa 6, 4574; ako ponovimo istu permutaciju dobit ćemo efekt p2=(4 7 5); ako ju još jednom ponovimo: p3=(1 3)(2 6) • znači: ako znam da potez X zamijeni dva para vrhova i napravi 3-ciklus bridnih kockica, onda X2 fiksira vrhove i napravi 3-ciklus tih bridova (ne isti), a X3 fiksira bridove, a zamijeni ta dva para vrhova

17. Komutatori • komutator je izraz [X,Y]=XYX-1Y-1 • [X,Y]=I znači XY=YX • npr. [F,R-1]=FR-1F-1R, [F,R]=FRF-1R-1 (Y- i Z-komutator) • XY obavi pola onog što želimo, uz nusefekte • X-1Y-1 radi drugu polovinu posla uz micanje tih nusefekata • najčešće: • za 3-cikluse vrhova • za zakretanje vrhova

18. Primjer • recimo da potezom X dovodimo neki donji vrh (koji je dobro orijentiran, a želimo ga prebaciti na drugu poziciju donjeg sloja) u gornji sloj • kako ćemo ga željeti vratiti dolje, samo na pravilno mjesto, a dobro je orijentiran, znači da će nam za vraćanje natrag trebati X-1 • recimo da potez Y dovodi donji sloj u poziciju da se s X-1 naš vrh vrati na pravilnu poziciju • XYX-1 će dići vrh, pomaknuti dno i vratiti vrh na dno • na kraju treba zaokrenuti dno natrag – eto komutatora [X,Y]

19. 3-ciklus vrhova i zakret para vrhova • (brd bru blu) • [RDR-1,U] • zakretanje dva vrha u suprotnim smjerovima: bru++ fru+ • [DRDF,U]

20. Još nešto zanimljivo... • ako su X i Y dva osnovna poteza koji zahvaćaju susjedne strane, onda: • [X,Y]2 permutira točno 3 bridne kockice i fiksira sve vrhove • [X,Y]3 zamjenjuje točno dva para vrhova i ne dira bridove

21. Što je grupa? • skup s binarnom operacijom koja ima lijepa svojstva: • asocijativnost (uvijek vrijedi ako su elementi skupa funkcije, a operacija kompozicija) • neutralni element (ništa ne raditi je također potez – oznaka I) • svaki element ima svoj inverz (svaki potez možemo napraviti unatrag i vratiti se u početno stanje) • grupa Rubikove kocke GR sastoji se od svih mogućih permutacija 54 kvadratića koje su kompozicije poteza na kocki (dakle, izostavljamo permutacije rastavljanjem kocke i preljepljivanjem naljepnica)

22. Cikličke grupe • ako je X reda n, skup {I,X,X2,...,Xn-1} uz kompoziciju čini tzv. cikličku grupu X, X se zove njenim generatorom • npr. 0h+4h=4h2=3h, 4h+4h=8h, 8h+4h= 4h3 =12h=0h  {0h, 4h, 8h}= 4h, 4h je reda 3 • oznaka: Cn je ciklička grupa s generatorom reda n • u konačnoj grupi svaki element je konačnog reda – dokaži!

23. Izomorfne grupe • ako se dvije grupe razlikuju samo u smislu/oznakama elemenata i operacije, kažemo da su izomorfne – smisao je: “u biti su iste” • kad bismo u tablici “množenja” prve grupe zamijenili svaki element s po jednim (odgovarajućim) elementom druge, dobili bismo tablicu “množenja” druge grupe

24. Tablica množenja cikličke grupe ב je izomorfna s C4

25. Podgrupa • podskup grupe takav da su rezultati primjene binarne operacije na njegove elemente opet njegovi elementi • npr. U={1,U,U2,U3} je podgrupa od GR koja je pak podgrupa od S48 • Lagrange: ako je G grupa s m elemenata, onda je broj elemenata bilo koje njene podgrupe H djeljitelj od m, a taj djeljitelj se zove indeks od H u G • dakle: |GR| je višekratnik od 4, a djeljitelj od 48!  • svi komutatori [X,Y] elemenata grupe G čine komutatorsku podgrupu G’

26. Može li biti više generatora? • može! ako se grupa sastoji od svih (i samo onih) elemenata koji se dobiju primjenom operacije na elemente a,b,c,... kažemo da je generirana s a,b,c,... i označavamo ju s a,b,c,... • GR= U,D,L,R,F,B • R2, U2 je podgrupa od GR, u njoj je koristan potez (R2U2)3 reda 2 koji istovremeno zamijeni fu s bu te fr s br:

27. Red grupe i podgrupe • red grupe je broj njenih elemenata • ako je on djeljiv prostim brojem p, onda u grupi postoji element reda p (Cauchy) • ako red grupe nije djeljiv brojem n, onda ne postoji element grupe tog reda • pokazuje se da je red od GR jednak 22731453721143·1018 • u grupi kocke postoje elementi redova 2,3,5,7 i 11, ali ne i većih prostih redova niti recimo reda 121 • dokazano je da je najveći red koji neki element u GR može imati 1260: RU2D-1BD-1

28. Konjugiranje • ako imamo dva elementa X,Y grupe G, onda za element XY=Y-1XY kažemo da je dobiven konjugiranjem elementa X elementom Y • skup svih elemenata koje možemo dobiti konjugiranjem elementa X drugim elementima zove se klasa konjugacije elementa X • recimo, RU je element reda 4

29. Čemu konjugiranje? • recimo da je Y neki potez koji za efekt ima 3-ciklus vrhova gornjeg sloja • recimo nadalje da je X potez kojim se postiže da se 3 vrha koje želimo permutirati 3-ciklusom nađu na gornjem sloju • tada će XY biti 3-ciklus željenih vrhova!

30. Neke podgrupe su normalne, a neke nisu... • podgrupa je normalna ako kad god neki njen element konjugiramo nekim elementom grupe, rezultat ostaje u toj podgrupi • ako je grupa komutativna, svaka podgrupa je normalna • važne za razne teorijske konstrukcije

31. Primjeri • podgrupa kocke koja se sastoji od onih permutacija koje imaju efekt samo na vrhovima je normalna: ako potez X fiksira bridova, onda i za sve Y XY fiksira bridove • podgrupa F nije normalna jer konjugiranje poteza Fi može dio gornje strane prebaciti na neku drugu stranu

32. Djelovanje grupe na skupu • grupa G djeluje na skupu S ako svaki element g od G možemo shvatiti kao funkciju koja elementu x od S pridružuje element g(x) od S i to tako da neutralni element od G djeluje kao identiteta, a djelovanje produkta dva elementa od G je kompozicija djelovanja tih elemenata • grupa Rubikove kocke djeluje na skupu S svih podkockica, skupu E svih bridova i skupu V svih vrhova • svaka grupa djeluje sama na sebe konjugiranjem

33. Tranzitivnost i orbite • ako djelovanjem grupe možemo za svaka dva zadana elementa skupa jedan prevesti u drugi, djelovanje je tranzitivno • npr. djelovanja GR na V i E su tranzitivna • orbita elementa x iz skupa je skup Gx svih elemenata koje iz njega možemo dobiti djelovanjem grupe

34. Algoritam određivanja orbite • G=a,b,c,... • xS • Gx={x} • for (yGx) do • for (z{a,b,c,...}) do • if (z(y)Gx) then (Gx=Gx{g(y)})

35. Centar grupe • podgrupa koja se sastoji od svih elemenata koji komutiraju sa svim ostalim elementima grupe • ako je grupa komutativna, centar je jednak njoj samoj • centar od GR je dvočlan: u njemu su samo I i “superflip” R-1U2BL-1FU-1BDFUD-1LD2F-1RB-1DF-1U-1B-1UD-1

36. Standardne oznake orijentacije • zamišljene oznake, recimo znakovi +, na kvadratićima kocke, i to: • na gornjem kvadratiću gornjeg prednjeg i gornjeg desnog brida i na prednjem kvadratiću prednjeg desnog brida te pozicije koje ti kvadratići mogu zauzeti rotacijom pripadnog sr. sloja • svi gornji i svi donji • kvadratići vrhova

37. Efekt osnovnih poteza na standardne oznake

38. Prvi fundamentalni teorem o kocki • podaci koji su nam potrebni za precizan opis stanja kocke: • permutacija vrhova • permutacija bridova • što je s oznakama bridnih kockica? • što je s oznakama vršnih kockica?

39. Drugi fundamentalni teorem o kocki • svaka pozicija Rubikove kocke može se opisati s 4 podatka: • permutacijom vrhova (S8) i permutacijom bridova (S12) koje su iste parnosti, • orijentacijom vrhova (uređena 8rka brojeva iz skupa {0,1,2} čiji zbroj je djeljiv s 3 – “sačuvanje zaokreta”) ... C38 • orijentacijom bridova (uređena 12orka brojeva iz skupa {0,1} čiji zbroj je djeljiv s 2 – “sačuvanje obrtaja”) ... C212

40. Direktni i semidirektni produkti grupa • direktni: kao obični Kartezijev produkt, a binarna operacija po koordinatama • npr. (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’) čini × grupom • semidirektni: G je H1 H2 ako su • H1,H2 podgrupe od G (H1 normalna) kojima je jedini zajednički element 1, • svaki element iz G se može napisati kao produkt elemenata iz H1 i H2

41. Posljedice... • ilegalna grupa kocke je izomorfna direktnom produktu C37 S8 i C211 S12 • GR je njena podgrupa (normalna, indeksa 2) u kojoj su oni elementi za koje je permutacija vrhova i permutacija bridova iste parnosti • komutatorska podgrupa GR’ je relativno velika tj. većina poteza u GR mogu se generirati komutatorima: • GR’ od GR se sastoji od elemenata za koje je su permutacija vrhova i permutacija bridova parne •  GR ima dvostruko elemenata koliko G’

42. Za kraj: i dvoboj može biti početak Evariste Galois, 25.10.1811.Bourg la Reigne, Francuska – 31.5.1832.Paris